Hướng dẫn Giải 10 bài toán về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

H D GIẢI 10 BÀI TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN
Sau khi học các khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN. 
Phương pháp chung để giải: 
1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số. 
2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là :
 ab = (a, b).[a, b]
 trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. 
Chứng minh hệ thức này không khó : 
Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n Î Z+; 
 (m, n) = 1 (*) 
 Từ (*) 
=> ab = mnd2; [a, b] = mnd 
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**) 
Chúng ta sẽ giải 1 số bài toán sau. 
Bài toán 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. 
H D giải: 
Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b. 
 Từ (*), do (a, b) = 16 nên c ó:
 a = 16m; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n Î Z+; (m, n) = 1. 
Theo định nghĩa BCNN: 
 [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 
=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80. 
Chú ý: Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này: ab = (a, b).[a, b] 
mn.162 = 240.16 è suy ra mn = 15. 
Bài toán 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. 
H D giải: Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. 
Do (a, b) = 6 => a = 6m; b = 6n với m, n Î Z+; (m, n) = 1; m ≤ n. 
Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn 
ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 
hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18. 
Bài toán 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. 
H D giải: 
Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. 
Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2. 
Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15. 
Chú ý: Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. 
Bài toán 4: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. 
Giải: Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n Î Z+ ; (m, n) = 1. 
Vì vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b = 25. 
Chú ý: phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1. 
Bài toán 5: Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. 
H D giải: Đặt (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5, mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d. 
Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. 
Bài toán 6: 
Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16. 
H D Giải: Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. 
Ta có: a = 16m; b = 16n với m, n Î Z+; (m, n) = 1; m ≤ n. 
Vì vậy: a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8
 Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 
 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80 
Bài toán 7: Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72. 
Giải: Gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n Î Z+; (m, n) = 1. 
 Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n. 
 Do đó: a + b = d(m + n) = 42 (1) 
    [a, b] = mnd = 72 (2) 
 => d là ước chung của 42 và 72 => d Î {1; 2; 3; 6}. 
 Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy 
 chỉ có trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4. (thỏa mãn các điều kiện của m, n). è Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 
Bài toán 8: Tìm a, b biết a – b = 7, [a, b] = 140. 
H D Giải: Gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n Î Z+; (m, n) = 1. 
 Do đó: a – b = d(m - n) = 7   (1’) 
   [a, b] = mnd = 140   (2’) 
 => d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1; 7}. 
Thay lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta được kết quả duy nhất: 
 d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4 
 è Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . 
Bài toán 9: Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45. 
H D Giải: (tương tự bài 4 )
có 7a = 11b => a/b = 11/7 mà (7,11) =1
 (a,b) = 45 => a = 45m ; b = 45n với m, n Î Z+ ; (m, n) = 1. 
m/n = 11/7 tương đương với m = 11 và n = 7 hay a = 495 và b = 315. 
Bài toán 10 : 
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 448, ƯCLN của chúng bằng 16 và chúng có các chữ số hàng đơn vị giống nhau. 
Giải
Đăt a, b là 2 số phải tìm (a,b Î Z) . có a + b = 448; (a,b)= 16
giả sử a ≤ b. Ta có: a = 16m; b = 16n với m, n Î Z+; (m, n) = 1; m ≤ n. 
Vì vậy: a + b = 448 tương đương 16(m + n) = 448 tương đương m + n = 28
 Có thể phân tích 28 = 3 + 25 = 5 + 23 = 9 + 19 = 11+ 17 = 13 + 15 để (m,n)=1 
 nhưng để a, b có các chữ số hàng đơn vị giống nhau thì m,n cần có các chữ số hàng đơn vị giống nhau. è chỉ nhận m = 9; n =19. 
 èVậy a = 9 x 16 =144; b = 19 x 16 = 304 (Đ S)
PHH sưu tầm đề & soạn Bài giải 31/1/2016