Giới thiệu một số dạng bài tập phần cơ học vật rắn giúp học sinh thpt tiếp cận chương trình thi quốc gia và ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh

GIỚI THIỆU MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP PHẦN CƠ HỌC VẬT RẮN GIÚP HỌC SINH THPT TIẾP CẬN CHƯƠNG TRÌNH THI QUỐC GIA VÀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỬ DỤNG TÂM QUAY TỨC THỜI ĐỂ KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN
Chuyển động của trụ, đĩa đồng chất
Bài 1. Một xi lanh đặc, bán kính R khối lượng m, lăn không trượt trên sàn mặt phẳng nghiêng, có góc nghiêng so với phương nằm ngang. Tính gia tốc của vật trên mặt phẳng nghiêng. 
Giải
Phương pháp thông thường
Sử dụng tâm quay tức thời
Xét vật tại thời điểm t:
Đối với chuyển động tịnh tiến khối tâm: 
Ta có: Psin-Fms=m.a 
Đối với chuyển động quay quanh khối tâm Ta có: I 
Xi lanh lăn không trượt nên ta có: Suy ra: 
Xét chuyển động quay của Xi lanh quanh K
Ta có: 
mgsin.R=
 mà a=
 Suy ra: 
Bài 2. Một sợi dây vắt qua ròng rọc không khối lượng và không có ma sát , gắn với mép bàn. Một đầu day treo một vật, khối lượng m, còn đầu kia cuốn vào xilanh đặc, khối lượng M, bán kính R
a. Tính gia khối của tâm xi lanh nếu nó lăn không trượt trên bàn
b. Tìm độ lớn và hướng của lực ma sát nghỉ.
Giải
Phương pháp thông thường
Sử dụng tâm quay tức thời
Gia tốc của của A so với K
AAK=a=2a0K=2a0
Xét chuyển động của m: 
m..2a0=mg-T
Xét chuyển động của ròng rọc:
M.a0=T+Fms
I
a=2a0=
b.Độ lớn Fms và lực căng T
Fms=, T=
a, 
Xét vật m: 
mg-T=ma (1)
Xi lanh: Gọi K là tâm quay tức thời, ta có aA==a
Suy ra: , 
T.2R=(
T
Thay vào (1) ta được: a=2a0=
b.Giả sử lực ma sát có chiều như hình vẽ
Xét chuyển động tịnh tiến của xi lanh ta có: T-Fms=Ma0
Dấu (-) chứng tỏ lực ma sát có chiều ngược lại
Bài 3. Trong cơ hệ như hình vẽ, con lăn có khối lượng M, bán kính R, vật nặng có khối lượng m. Hệ chuyển động từ trạng thái nghỉ. Biết con lăn không trượt. Bỏ qua ma sát lăn. Xác định gia tốc của con lăn và lực căng của sợi dây.
 Giải
Phương pháp thông thường
Sử dụng tâm quay tức thời
Xét chuyển động của ròng rọc:
M.a0=T-Fms (1)
I
Con lăn không trượt nên: ,
Thay vào (1) ta được 
b.Lực căng T=
Xét vật m: 
mg-T=ma (1)
Xi lanh: Gọi K là tâm quay tức thời, ta có a0==a, Suy ra: ,
Mk=Ik
Bài 4. Một sợi dây vắt qua ròng rọc không khối lượng và không có ma sát , gắn với mép bàn. Một đầu dây treo một vật, khối lượng m, còn đầu kia cuốn vào hình trụ đặc , khối lượng M, bán kính R. Tìm gia khối của tâm hình trụ và gia tốc của vật trong hai trường hợp
Hình trụ lăn không trượt
Hình trụ lăn có trượt
Giải
Hình trụ lăn không trượt
Hình trụ lăn có trượt
Gia tốc của của A so với K
AAK=a=2a0K=2a0
Xét chuyển động của m: 
m..2a0=mg-T
Xét chuyển động của ròng rọc:
M.a0=T+Fms
I
a=2a0=
Độ lớn Fms và lực căng T
Fms=, T=
Gọi là hệ số ma sát trượt ( ma sát nghỉ cực đại) Fms=
Sự trượt xảy ra khi lực ma sát giảm làm cho 
chuyển động quay quanh C nhanh hơn chuyển động tịnh tiến: 
Khi đó: aM=R >a và a1=a+aM
Suy ra: aM=2a-4
Gia tốc của vật nặng m: 
a1=a+aM=
với điều kiện aM=R >a
b.Chuyển động thanh 
Bài 5. Một thanh đồng chất, khối lượng m, dài l được giữ sao cho A tựa vào tường, B tựa vào sàn. Bỏ qua ma sát với tường và với sàn. Thả cho thanh rơi xuồng trong mặt phẳng thẳng đứng. trong khi rơi đầu A luôn tựa vào tường
a.Xác định tâm quay tức thời K tại thời điểm khi thanh hợp với sàn một góc 
c.Tìm gia tốc của thanh khi thanh tạo với mặt phẳng ngang góc .
Giải
Xác định tâm quay tức thời K tại thời điểm khi thanh hợp với sàn một góc 
Tại thời điểm xét các véc tơ vận tốc của A, B có dạng như hình vẽ: , K được xác định như hình vẽ.
Bài 6. Cho một thanh có khối lượng m, chiều dài 2l, đặt nghiêng một góc với sàn. Một đầu thanh treo. Một đầu thanh treo vào dây, còn đầu kia tì lên sàn. Hãy xác định phản lực của sàn tác dụng vào thanh sau khi đốt dây. Bỏ qua ma sát với sàn.
Giải
Đối với trục quay đi qua G: MG=
Đối với tâm quay tức thời K. Vì tại lúc thả vG=0, 
2. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP BẢO TOÁN ĐỂ CHỨNG MINH VẬT RẮN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Bài 1. Một hình trụ đồng chất đặc khối lượng m thực hiện dao động bé dưới tác dụng của hai lò xo có độ cứng K. Tìm chu kì dao động. Biết hình trụ không trượt
Giải
Phương pháp bảo toàn
Phương pháp động lực học
Khi quả cầu lăn độ cao trong tâm C không đổi
Cơ năng của hệ: 
Đạo hàm hai vế ta có: 
Trong đó I=I0+mR2 =, 
Vậy hệ thống dao động điều hoà với chu kì T=
Gỉa sử quả câu lăn về bên phải một đoạn x bé
Đối với trục quay đi qua điểm tiếp xúc A (trục quay tức thời).
 Ta có: 
Trong đó I=I0+mR2 =, 
Vậy hệ thống dao động điều hoà với
chu kì T=
Bài 2: Một hình trụ đặc được gắn với một lò xo không khối lượng có độ cứng K=3N/m nằm ngang sao cho có thể lan không trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật đến vị trí để lò xo bị giản 0,25 cm rồi thả nhẹ
a. Tính động năng của trụ khi qua vị trí cân bằng
b. Chứng minh khối tâm trụ dao động điều hòa. Tính T
Giải
Phương pháp bảo toàn
Phương pháp động lực học
Xét khối tâm hình trụ ở vị trí có tọa độ x:
Cơ năng của hệ:
W=
Trong đó: , I=mR2/2
Đạo hàm hai vế ta có
Xét khối tâm hình trụ ở vị trí có tọa độ x:
Ta có: -Kx-Fms=ma0, =Fms.R
Trong đó: I=mR2/2, 
Suy ra: 
Bài 3. Một đĩa tròn đồng chất, khối lượng m bán kỉnh R có thể quay quanh trục cố định nằm ngang đi qua tâm O của đĩa, lò xo có độ cứng K một đầu cố định, một đầu gắn vò điểm A của vành. Khi OA nằm ngang thì lò xo có chiều dài tự nhiên. Xoay đĩa một góc nhỏ rồi thả nhẹ. Coi lò xo luôn có phương thẳng đứng và khối lượng không đáng kể. Bỏ qua ma sát. Chứng minh rằng đĩa dao động điều hòa. Tín chu kì dao động. Áp dung với K=10N/m m=300 gam
Giải
Phương pháp bảo toàn
Phương pháp động lực học
Đĩa quay một góc , lò xo giản một đoạn x=R
Cơ năng của hệ: W==
Đạo hàm hai vế ta có: =0
Hệ dao động điều hòa với 
Đĩa quay một góc , lò xo giản một đoạn x=R
Áp dụng phương trình động lực học vật rắn ta có: 
Hệ dao động điều hòa với 
Bài 4. Mộ quả cầu đặc, bán kính r lăn không trượt trên vành đai nhám, bán kính R (R>r). Hãy tính
Áp lực quả cầu lên vành đai tại li độ góc 
Chu kì dao động của quả cầu nếu góc nhỏ.
Chu kì dao động của quả cầu nếu nhỏ và không có ma sát giữa vành đai và quả cầu.
Giải
Áp lực quả cầu lên vành đai tại li độ góc 
Các lực tác dụng lên quả cầu bao gồm . Khối tâm O của quả cầu chuyển động tròn quanh tâm C. Theo hướng OC ta có: 
Áp dụng đinh luật bảo toàn cơ năng ta có: mgl(cos-cos)=
Thay , I= ta có: 
Chu kì dao động của quả cầu nếu góc nhỏ
Phương pháp bảo toàn
 Phương pháp động lực học
Chọn mốc thế năng tại vị trí I (vị trí tâm vành tròn tại vị trí cân bằng)
Tại vị trí của vành ta có: 
Thay , 
Ta có: W
Đạo hàm hai vế ta có
T=
Thay I= ta được
T==
Chọn tâm quay tức thời tại K 
 Ta có: 
-mgsin=(I+mr2) (1)
Vì O chuyển động quang C nên ta có: 
vo=(R-r)
Thay vào (1) ta được
=
Thay I= ta được
T==
c, Nếu không có lực ma sát thì không có chuyển động quay, vật rắn chuyển động 
Phương pháp bảo toàn
 Phương pháp động lực học
W
Thay 
Ta có: W
Đạo hàm hai vế ta có
 T=
quay, quả cầu chuyển động tịnh tiến giống như toàn bộ khối lượng tập trung tại tâm O : 
-mgsin=mat=m(R-r) 
Thay sin=
 T=
3. CHỨNG MINH CON LẮC VẬT LÝ, CON LẮC LIÊN KẾT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA THEO PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC
Bài 1. Một cái thước có chiều dài l, dao động nhỏ quanh trục O một cách trọng tâm G một đoạn x .
a.Tìm chu kì dao động của thước quanh x
b.Với giá trị nào của x/l thì chu kì dao động là cực tiểu
c. Nếu l=1m chu kì dao động cực tiểu bằng bao nhiêu?
Giải:
a.Chu kì dao động của thước theo L và x
Khi thước lệch một góc bé ta có: -mgxsin=
Ta có: 
Suy ra: (s)
b.Với giá trị nào của x/l thì chu kì dao động cực tiểu
Tmin khi ( suy ra x/L=
c.Nếu L=1m, g=9,8m/s2 tính chu kì cực tiểu: (s)
Bài 2. Quả cầu, lò xo và thanh OB ghép với nhau tạo thành cơ hệ như hình vẽ (H.2). Thanh nhẹ OB treo thẳng đứng. Con lắc lò xo nằm ngang có quả cầu nối với thanh. Ở vị trí cân bằng của quả cầu lò xo không bị biến dạng. Từ vị trí cân bằng kéo quả cầu trong mặt phẳng chứa thanh và lò xo để thanh OB nghiêng với phương thẳng đứng góc α0 < 100 rồi buông không vận tốc đầu. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản.Chứng minh quả cầu dao động điều hoà. Cho biết: l = 25cm, m = 100g, g = 10m/s2 . Tính chu kỳ dao động của quả cầu
Giải
Dùng định luật bảo toàn
Phương pháp động lực học
Tại thời điểm t, quả cầu có toạ độ x và vận tốc v, thanh treo OB có góc lệch α so với phương thẳng đứng. Biểu thức cơ năng cơ năng toàn phần của hệ: 	
Chọn gốc thế năng tại VTCB: 
Do nên .
Cơ năng toàn phần của hệ: Lấy đạo hàm bậc nhất của cơ năng E theo thời gian: Vì v = x’, v’ = x’’ nên : 
Vậy quả cầu dao động điều hoà với tần số góc: 	
- Ta lại có: k = mω2 = 0,1.400 = 40N/m
Vậy: 
Chu kì dao động: 
Xét thanh OB ở vị trí góc 
Lò xo bị nén một đoạn x=l
Vậy quả cầu dao động điều hoà với tần số góc: 
Chu kì dao động: 
Bài 3: Cho cơ hệ như hình vẽ, Thanh cứng có chiều dài l, khối lượng không đáng kể, đầu kia gắn với vật có khối lượng m. Tại vị trí cân bằng thanh thẳng đứng, các lò xo không biến dạng.
a. Chứng minh với những dao động nhỏ thì hệ dao động điều hòa với chu kì T
b. Nếu thanh có khối lượng M thì chu kì bằng bao nhiêu?
	Giải
a. Khi thanh không có khối lượng
Đặt OA=a, OB=l
Xét thanh OB tại vị trí lệch góc
Ta có: 
Thay sin = 
Ta có: =0
b. Khi thanh ó khối lượng M 
Xét thanh OB tại vị trí lệch góc như hình vẽ: 
Ta có: 
Thay sin = 
Ta có: =0
Bài 4: Một con lắc gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào thanh nhẹ có chiều dài l được liên kết với hai lò xo như hình vẽ. Khi con lắc ở vị cân bằng trì lò xo không biến dạng. Các lò xo có độ cứng K1, K2 và luôn nằm ngang. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng rồi thả nhẹ.
Chứng minh con lắc dao động điều hòa
Tính chu kì dao động
Giải
Xét thanh tại vị trí lệch góc 
Ta có: 
Chu kì dao động: T=
Bài 5: Một con lắc gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào thanh nhẹ có chiều dài l được liên kết với hai lò xo như hình vẽ. Các lò xo có độ cứng K1, K2 và luôn thẳng đứng. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng rồi thả nhẹ.
Chứng minh con lắc dao động điều hòa
Tính chu kì dao động.
Giải
Chứng minh con lắc dao động điều hòa
Khi hệ thống nằm cân bằng
Ta có: 
Khi thanh xuống một góc 
Ta có: 
Tính chu kì dao động.
Bài 6. Một đĩa tròn tâm O, đồng chất, tiết diện đều, bán kính R = 20cm, khối lượng m. Đĩa có thể quay không ma sát quanh trục nằm ngang đi qua điểm I ở mép đĩa. Tại điểm A ở mép đĩa, cách I một đoạn bằng R có gắn một vật nhỏ, cũng có khối lượng m. Lấy g = 10 m/s2.
 a. Khi đĩa cân bằng, đường thẳng IO tạo với đường thẳng đứng một góc . Tìm số đo ?
b. Đưa đĩa lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ. Chứng minh
đĩa dao động điều hòa? Tính chu kì dao động của đĩa?
	 	Giải
a. Điều kiện cân bằng của hệ: mgR.sin(600-) = mgR.sin= 300
b. Gọi là li độ góc xác định vị trí của hệ khi dao động
Xét khi hệ đang lệch khỏi vị trí cân bằng góc 
- Phương trình động lực học đối với hệ ta có: 
mgRsin(300 - ) – mgRsin(300+) = I. với I = mR2 + mR2 + mR2 = mR2.
Và rất nhỏ ta suy ra: 
Đặt ta có . Vậy hệ dao động điều hòa
Chu kì dao động là: T = s
Bài 7 (OL-tr108 ). Một đĩa tròn đông chất khối lượng m, bán kính R có thể quay quanh trục cố định đi qua tâm của đĩa. Người ta gắn vào vành đĩa một chất điểm m1=2m và cuốna vào đĩa đầu dây không dãn, đầu dây mang vật có khối lượng m.
Tính góc ứng với cân bằng của hệ
Chứng minh m dao động điều hoà với chu kí T
Giải
Đĩa nằm cân bằng: 
Khi Đĩa lệch thêm một góc 
Ta có: 
Với I=
Sin(
Chu kì dao động: T= 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1. Một vật rắn, bán kính r có mô men quán tinh I, lăn không trượt trên vành đai nhám, bán kính R (R>r). Hãy tính
a. Chu kì dao động của quả cầu nếu góc nhỏ.
b. Chu kì dao động của quả cầu nếu nhỏ và không có ma sát giữa vành đai và vật rắn.
Áp dụng với các trường hợp
-Vật rắn là một đĩa tròn khối lượng m
- Vật rắn là một đĩa tròn khối lượng m
- Vật rắn là vành tròn có khối lượng m
Bài 2. Cho cơ hệ như hình vẽ. Vật rắn có khối lượng m=1kg, bán kính r =1cm lăn không trượt trong máng có bán kính R =50cm. Máng đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang. Tìm chu kỳ dao động của vật trong các trường hợp sau:
1. Vật rắn là quả cầu 2. Vật rắn là hính trụ, đĩa tròn 
3. Vật rắn là vành tròn 4. Vật rắn là chất điểm
Bài 3. Một cái thước có chiều dài l, dao động nhỏ quanh trục O một cách trọng tâm G một đoạn x (Cơ hoc 2)
a.Tìm chu kì dao động của thước quanh x
b.Với giá trị nào của x/l thì chu kì dao động là cực tiểu
c.Nếu l=1m chu kì dao ddộng cực tiểu bằng bao nhiêu?
Bài 4. Một con lắc vật lí khi treo ở đầu A có chu kì dao động là T. lộn ngược lại khi treo nó vào điểm B cho đến khi con lắc lại có chu kì T khi ấy khoảng cách AB=l. Chứng minh gia tốc rơi tự do được xác định theo công thức .
Bài 4. Một vật rắn có khối lượng m, bán kính R, trục củ nó gắn vào một lò xo, có độ cứng K. Kéo hính trụ một đoạn a rồi thả nhẹ. Chứng minh hình trụ dao động điều hoà.Viết phương trình dao động
a.Vật rắn là hình trụ b. Vánh tròn c. quả cầu
Bài 5.(252-HSGNC3) Một cái đĩa nhắn nằm ngang có thể quay quanh trục thẳng đứng đi qua tâm O của đĩa . Trên đĩa có một thanh AB chiều dài l=20cm, đồng chất tiết diện đều có thể quay quanh trục đi qua A gắn vào đĩa cách trục quay O mật đoạn a=10cm. Vị tríban đầu của thanh AB hợp với OA một góc. Đĩa quay quanh O với tốc độ . Chứng minh rằng đối với đĩa thanh dao động điều hào với chu kì T. Tính T
Bài 6. Cho một cơ hệ như hình vẽ. ròng rọc kép có mô men qua tính I gồm một đĩa mỏng bán kính R, trên có một vành tròn bánkính r=R/2.
Xác định độ biến dạng của lò xo khi m nằm cân bằng
Từ vị trí cán bằng kéo m xuống một đoạn A bé rồi thả nhẹ. Chứng minh m dao động điều hoà. Tính chh kì, lấp phương trình dao động.
Áp dụng với M=3m=1.5kg, I=2kg.m2. R=2r=10cm
r
R
k
m
Bài 7. Con lắc đơn m1=100g, l=1m, con lắc lò xo vật có khối lượng m2=m1, K=25N/m
1.Tìm chu kì dao động của mỗi con lắc
2.Bố trí hai con lắc sao cho hệ cân bằng lò xo không bién dạng, dây treo thẳng đứng và hai quả cầu tiếp xúc nhau. Kéo m1 khỏi vị trí cân bằng một góc =0.1rad rồi thả nhẹ
a.Tìm vận tốc của m1 trước khi va chạm với m
b.Tìm vận tốc của m2 ngay sau va chạm với m1 và độ nén cực đại của lò xo sau va chạm
c. Tính chu kì của hệ. Coi va chạm là đàn hồi xuyên tâm. Bỏ qua ma sát lấy g=10m/s2.
Bài 8. Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m, bán kính R, có thể quay quanh trục cố định nằm ngang, đi qua tâm O của đĩa. Lò xo có độ cứng K, một đầu cố định một đầu gắn với điểm A của vành đĩa. Khi OA nằm ngang lò xo có chiều dài tự nhiên. Xoay đĩa một góc 
rồi thả nhẹ. Coi lò xo luôn có phương thẳng đứng và khối lượng lò xo không đáng kể . Bỏ qua mọi sức cán ma sát. Tính chu kì của đĩa.
Bài 9.(OLTự trọng-tr15-230). Một vật nhỏ khối lượng M nối với vòng có khối lượng m=4M bằng thanh nhẹ chiều dài L. Vòng trượt không ma sát trên thanh. ban đầu giữ vòng m cố định , kéo vật M theo phương nằm ngang, song song với thanh hình trụ và lệch một góc rồi thả không vận tốc ban đầu. Bỏ qua lực cản không khí
a. Xác định vị trí khối tâm của hệ
b.Chứng tỏ M dao động điều hoà. Tính T
	 THỰC HIỆN
Nguyễn Bá Tư