Giáo trình Giải tích lồi

GIẢI TÍCH LỒI
Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế
20/10/2005
1Mục lục
Mục lục 1
Chương 1 Tập lồi 3
1.1. Tập lồi - Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Nón lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4. Định lý Carathéodory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Định lý Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii. . . . . . 7
1.2.3. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Không gian tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn. . . . . . . 16
1.4.2. Các tính chất tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 21
2.1. Định lý tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Định lý Tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3. Định lý Tách mạnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
22.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1. Tôpô yếu trên X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2. Tôpô yếu* trên X∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4. Không gian Banach phản xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 3 Hàm lồi 28
3.1. Cấu trúc hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1. Định nghĩa hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2. Các phép toán trên hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine. . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4. Dưới vi phân hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi. . . . . . . . . . . . 37
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Chương 1
TẬP LỒI
1.1. Tập lồi - Đa tạp affine.
1.1.1. Đa tạp affine.
Cho X là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) lần lượt
là đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x
và y. Tức là
L(x, y) = {λx+ (1− λ)y | λ ∈ R},
[x, y] = {λx+ (1− λ)y | λ ∈ [0, 1]},
(x, y) = {λx+ (1− λ)y | λ ∈ (0, 1)},
[x, y) = {λx+ (1− λ)y | λ ∈ (0, 1]}.
Một tập M ⊂ X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọi
cặp điểm x, y ∈M ta có L[x, y] ⊂M . Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau
a) Giao của một họ bất kỳ các đa tạp affine là một đa tạp affine.
Nếu A ⊂ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao affine của A, ký hiệu
Aff(A), là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A. Từ tính chất a) Aff(A) là một
đa tạp affine và là đa tạp affine bé nhất chứa A.
Thật ra tập Aff(A) có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọi
véctơ có dạng
x =
m∑
i=1
λiai, với λi ∈ R thoả mãn
∑
λi = 1
là một tổ hợp affine của các véctơ {a1, a2, · · · , am}. Ta nhận được các tính chất sau
b) Aff(A) = {x | x là tổ hợp affine của các vectơ thuộc A}.
4c) A là đa tạp affine khi và chỉ khi A = Aff(A), tức là
A =
{ m∑
1
λiai | m ∈ N∗; ai ∈ A; λi ∈ R :
∑
λi = 1
}
d) M là đa tạp affine khi và chỉ khi với mọi m ∈M ta có M −m ≤ X, tức là
M = m+ V, với V là một không gian con của X.
Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V :
dimM := dimV ; codimM := codimV.
Nếu codimM = 1 ta nói M là một siêu phẳng.
Bây giờ nếu Y cũng là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không gian
các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Đặc biệt nếu Y = R, ta đặt X# := L(X,R), là
không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X.
e) M ⊂ X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X# \ {0} và α ∈ R sao cho
M = f−1(α) = {x ∈ X | f(x) = α}.
f) Nếu codimM = k ∈ N thì tồn tại các siêu phẳng M1, M2, · · · ,Mk sao cho
M =
k⋂
1
Mi.
1.1.2. Tập lồi.
Tập hợp C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C.
a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi.
Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu coA, là giao
của tất cả các tập lồi chứa A. Từ tính chất trên coA cũng là một tập lồi và là tập
lồi bé nhất chứa A.
Một tổ hợp affine x =
∑m
i=1 λiai với các λi ≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồi
của các véctơ {a1, · · · , am}.
b) coA = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}.
c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = coC, tức là
C =
{ m∑
1
λiai | m ∈ N∗; ai ∈ C; λi ≥ 0 :
m∑
1
λi = 1
}
.
Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff(C):
dimC := dimAff(C).
d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A+B, αA cũng lồi.
51.1.3. Nón lồi.
Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta có
λk ∈ K. Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi. Một tổ hợp tuyến
tính
∑m
i=1 λiai sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λi ≥ 0 với mọi i, là tổ hợp
dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λi dương chặt.
a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi.
Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con coA, là nón lồi bé nhất
chứa A. Lúc đó,
b) con coA = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộc A}.
c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con coK, tức là
K =
{ m∑
1
λiki | m ∈ N; ki ∈ K; λi ≥ 0 :
m∑
1
λi > 0}.
d) Nếu K1, K2 là các nón lồi chứa gốc thì K1 +K2 = co(K1 ∪K2).
1.1.4. Định lý Carathéodory.
Định lý 1.1. Cho A ⊂ X. Lúc đó, với mọi k ∈ con coA \ {0}, tồn tại hệ độc lập
tuyến tính {a1, a2, · · · , am} ⊂ A và các số dương λ1, · · · , λm sao cho
k =
m∑
1
λiai.
Chứng minh. Giả sử k ∈ con coA \ {0}, lúc đó k được biểu diễn dưới dạng tổ
hợp dương của các vectơ thuộc A: k =
∑m
1 λiai với λi > 0 với mọi i. Nếu hệ
{a1, a2, · · · , am} phụ thuộc tuyến tính, thì tồn tại bộ hệ số (µ1, · · · , µm), với ít nhất
một µj > 0, sao cho
∑m
1 µiai = 0. Bây giờ nếu đặt
t0 = min
{λj
µj
∣∣∣ µj > 0} = λs
µs
,
ta được λi := λi − t0µi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, và
k =
∑
i6=s
λiai;
∑
i6=s
λi = 1.
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2 (Carathéodory). Giả sử dimX = n <∞ và A ⊂ X. Lúc đó, với mọi
x ∈ coA, x là tổ hợp lồi của một họ không quá n+ 1 vectơ thuộc A. Tức là, tồn tại
hệ {a0, a1, · · · , am} ⊂ A và các số λ0, · · · , λm ≥ 0, với m ≤ n, sao cho
m∑
0
λi = 1 và x =
m∑
0
λiai.
6Chứng minh. Đặt B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y = X × R. Dễ thấy coB = coA× {1}.
Do đó, với mọi x ∈ coA ta có y = (x, 1) ∈ coB ⊆ con coB. Theo Định lý 1.1 tồn
tại m vectơ độc lập tuyến tính {(a0, 1), (a1, 1), · · · , (am, 1)} ⊆ B và các số dương λi
sao cho
(x, 1) =
m∑
0
λi(ai, 1),
tức là
x =
m∑
0
λiai;
m∑
0
λi = 1.
Cuối cùng, chú ý rằng dimY = n+1 nên m ≤ n và định lý đã được chứng minh.
1.2. Định lý tách tập lồi.
1.2.1. Định lý Hahn-Banach.
Cho X là một không gian vectơ. Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếm
hàm dưới tuyến tính nếu
a) ϕ(x+ y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X;
b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X.
Định lý 1.3 (Hahn-Banach). Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, M
là một không gian con của X và f ∈M# thoả mãn
f(m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈M.
Lúc đó, tồn tại F ∈ X# sao cho
a) F |M = f ;
b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Ta xét tập hợp U mà mỗi phần tử của nó là một cặp (Y, g) trong đó
M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y #, g|M = f và g(y) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ Y . Trên U ta định nghĩa
quan hệ hai ngôi α xác định bởi
(Y, g)α(Z, h)⇔ Y ≤ Z; h|Y = g.
Có thể kiểm chứng được (U, α) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tập con sắp
thẳng đều tồn tại phần tử chận trên. Theo Bổ đề Zorn, trong U tồn tại phần tử tối
đại (Y, g). Ta sẽ chỉ ra Y = X và điều đó kết thúc chứng minh.
Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X \ Y . Với mọi cặp y1, y2 ∈ Y ta có
g(y1)− g(y2) = g(y1 − y2) ≤ ϕ(y1 − y2) ≤ ϕ(y1 + v) + ϕ(−y2 − v)
7⇒ λ = sup{g(y1)− ϕ(y1 + v) | y1 ∈ Y } ≤ µ = inf{g(y2) + ϕ(−y2 − v) | y2 ∈ Y }.
Với mỗi y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y+ tv) = g(y)− tλ. Dễ kiểm chứng được rằng
h ∈ Z#, với Z là không gian con sinh bởi Y và v, thỏa mãn h|Y = g. Mặt khác,
h(y + tv) ≤ ϕ(y + tv) với mọi y + tv ∈ Z. Vậy (Y, g) 6= (Z, h) ∈ U và (Y, g)α(Z, h),
mâu thuẫn vì (Y, g) là phần tử tối đại. Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X. Lúc
đó, với mọi f ∈M∗, tồn tại F ∈ X∗ sao cho
F |M = f và ‖F‖ = ‖f‖.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.3 với ϕ(x) = ‖f‖‖x‖.
Hệ quả 1.2. Cho X là không gian định chuẩn và x0 ∈ X \ {0}. Lúc đó, tồn tại
f ∈ X∗ sao cho
‖f‖ = 1 và f(x0) = ‖x0‖.
Chứng minh. Sử dụng Hệ quả 1.1 với M = span{x0} và f(λx0) = λ‖x0‖.
1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii.
Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp thụ nếu
∀v ∈ X, ∃ > 0, (−v, v) ⊂ A
hay, một cách tương đương,
∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, v ∈ tA.
Một điểm x0 được gọi là điểm bọc của A nếu A− x0 là hấp thụ. Tập tất cả các
điểm bọc của A, ký hiệu coreA, được gọi là lõi của A. Như vậy,
x0 ∈ coreA⇔ ∀v ∈ X,∃ > 0,∀λ ∈ (−, ) : x0 + λv ∈ A.
Rõ ràng, khái niệm điểm bọc là một mở rộng của khái niệm điểm trong của không
gian định chuẩn. Hơn nữa, ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.4. Nếu X là một không gian định chuẩn và A ⊂ X, thì
a) IntA ⊂ coreA.
b) Nếu dimX <∞ và A lồi, thì IntA = coreA.
8Chứng minh. Khẳng định a) suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Để chứng minh b) ta
giả thiết {e1, e2, · · · , en} là một cơ sở của X. Vì mọi chuẩn trên X đều tương đương
nên không mất tính tổng quát ta có thể xét chuẩn ‖ · ‖1 xác định bởi
‖
n∑
i=1
xiei‖1 :=
n∑
i=1
|xi|.
Với mọi x0 ∈ coreA, tồn tại  > 0 sao cho x0 ± ei ∈ A với mọi i = 1..n. Do A
lồi nên B := co{x0 ± ei | 1 ≤ i ≤ n} ⊂ A. Để kết thúc chứng minh ta chú ý rằng
B chính là hình cầu tâm x0, bán kính  trong (X, ‖ · ‖1).
Mệnh đề 1.5. Nếu C ⊂ X là tập lồi, thì coreC và tập hợp dưới đây cũng lồi
linC := {y ∈ X | ∃ c ∈ C, [c, y) ⊂ C}.
Chứng minh. Giả sử c1, c2 ∈ coreC và t ∈ (0, 1). Lúc đó, với mọi v ∈ X tồn
tại  > 0 sao cho ci + λv ∈ C với mọi λ ∈ (−, ). Vì C lồi nên ta cũng có
tc1 + (1 − t)c2 + λv = t(c1 + λv) + (1 − t)(c2 + λv) ∈ C với mọi λ ∈ (−, ). Vậy
tc1 + (1− t)c2 ∈ coreC, hay coreC lồi.
Để chứng minh linC lồi ta cũng lấy y1, y2 ∈ linC và t ∈ (0, 1). Theo định nghĩa,
tồn tại c1, c2 ∈ C sao cho [c1, y1) ⊆ C và [c2, y2) ⊆ C. Dễ kiểm chứng được rằng
[ct, ty1 + (1− t)y2) ⊆ C với ct := tc1 + (1− t)c2 ∈ C. Vì vậy ty1 + (1− t)y2 ∈ linC,
hay linC lồi.
Bây giờ, cho C là một tập lồi hấp thụ trong X. Ta định nghĩa phiếm hàm
Minkowskii của C là hàm được xác định bởi
pC(x) := inf{λ > 0 | x ∈ λC}; x ∈ X.
Rõ ràng, 0 ≤ pC(x) <∞ với mọi x ∈ X.
Định lý 1.6. pC là phiếm hàm dưới tuyến tính và
{x ∈ X | pC(x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ X | pC(x) ≤ 1}.
Cụ thể hơn, ta có {x ∈ X | pC(x) < 1} = coreC và {x ∈ X | pC(x) ≤ 1} = linC.
1.2.3. Định lý tách tập lồi.
Cho A và B là hai tập con của không gian vectơ X. Một phiếm hàm tuyến tính
f ∈ X# \ {0} được gọi là tách A và B nếu
f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a) ≥ f(b)); ∀a ∈ A, b ∈ B.
Điều này tương đương với nói rằng, tồn tại một số α ∈ R sao cho
f(a) ≤ α ≤ f(b); ∀a ∈ A, b ∈ B.
9Lúc đó, ta nói siêu phẳng
H(f ;α) := f−1(α) = {x ∈ X | f(x) = α}
tách A và B. Trường hợp B là tập một điểm: B = {x0}, ta nói đơn giản siêu phẳng
H(f ;α) tách A và x0. Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất.
Định lý 1.7 (Định lý tách cơ bản). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, coreA 6= ∅
và A ∩B = ∅. Lúc đó, tồn tại siêu phẳng tách A và B.
Bổ đề 1.1. Nếu C là tập lồi hấp thụ và x0 6∈ C thì tồn tại siêu phẳng tách C và x0.
Chứng minh. Đặt M := span{x0} và g : M → R xác định bởi g(λx0) := λ với mọi
λ ∈ R. Lúc đó g ∈M#, hơn nữa, do pC(x0) ≥ 1 nên g(m) ≤ pC(m) với mọi m ∈M .
Áp dụng Định lý Hahn-Banach tồn tại f ∈ X# sao cho f |M = g và f(x) ≤ pC(x)
với mọi x ∈ X. Rõ ràng f(x0) = 1. Mặt khác, với mọi c ∈ C ta có f(c) ≤ pC(c) ≤ 1.
Nên f tách C và x0.
Chứng minh Định lý 1.7. Giả sử a0 ∈ coreA và b0 ∈ B. Đặt x0 := a0 − b0 và
C := A−B− (a0− b0). Lúc đó, C lồi, hấp thụ và không chứa x0. Từ Bổ đề trên tồn
tại f ∈ X# \ {0} tách C và x0. Dễ kiểm chứng được rằng f cũng tách A và B.
1.3. Không gian tôpô lồi địa phương.
1.3.1. Không gian tôpô.
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ τ ⊂ P(X) được gọi là một tôpô trên
X nếu nó thoả mãn các tính chất sau:
i) ∅, X ∈ τ ,
ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ ,
iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ.
Lúc đó, X được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là một
tập mở trong X.
Bây giờ cho A ⊂ X, x0 ∈ X, ta nói x0
- là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U ⊂ A,
- là một điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U và U ∩ A = ∅,
- là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai.
Ta nói phần trong (phần ngoài, biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểm
trong (điểm ngoài, điểm biên tương ứng) của A và ký hiệu là IntA (ExtA, ∂A).
10
Nếu x0 là điểm trong của A ta cũng nói A là một lân cận của x0. Tập A được gọi là
đóng nếu ∂A ⊂ A. Với A là tập bất kỳ, ta gọi bao đóng của A là tập A := A ∪ ∂A.
Các kết quả dưới đây có thể được kiểm chứng dễ dàng.
a) A là đóng khi và chỉ khi X \ A là mở.
b) Với A là tập tuỳ ý, IntA là tập mở, và là tập con mở lớn nhất của A, A mở
khi và chỉ khi A = IntA.
c) Với A là tập tuỳ ý, A là tập đóng, và là tập đóng bé nhất chứa A, A đóng
khi và chỉ khi A = A.
Từ tính chất a) và các tính chất của tập mở ta suy ra các tính chất của tập
đóng:
i) ∅ và X là các tập đóng,
ii) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng,
iii) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.
Cho không gian tôpô (X, τ). Một họ B ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của
τ nếu mọi tập U ∈ τ đều được biểu diễn dưới dạng hợp các tập thuộc B. Một họ
V ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của x0 ∈ X nếu với mọi lân cận U của x0 đều
tồn tại V ∈ V sao cho x0 ∈ V ⊆ U . Ta có kết quả sau:
Cho B ⊆ P(X). Để tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ sở thì điều kiện cần và
đủ là B thỏa mãn các tính chất sau
(i)
⋃
V ∈B
V = X,
(ii) ∀ U, V ∈ B, ∀ x ∈ U ∩ V , ∃W ∈ B: x ∈ W ⊆ U ∩ V.
Cho một họ C ⊆ P(X) tùy ý. Dễ kiểm chứng được rằng họ sau đây
B :=
{ k⋂
i=1
Ci | k ∈ N∗; Ci ∈ C, 1 ≤ i ≤ k
}
thỏa mãn (i-ii), nên sẽ là cơ sở của một tôpô τ nào đó trên X. Lúc đó, ta nói C là
tiền cơ sở của τ .
Một tập được sắp thứ tự (I,<) được gọi là tập định hướng nếu với mọi λ, µ ∈ I
tồn tại γ ∈ I sao cho λ < γ và µ < γ. Một dãy suy rộng trong X là một ánh xạ
ϕ từ một tập được định hướng I vào X. Nếu ký hiệu xλ := ϕ(λ) thì ta có thể nói
(xλ) là một dãy suy rộng trong X. Giả sử (xλ)λ∈I là một dãy suy rộng, J là một tập
định hướng khác và φ là một ánh xạ từ J vào I, với λµ := φ(µ); µ ∈ J , thoả mãn:
+ Với mọi µ < µ′ ta có λµ < λµ′ ;
+ Với mọi λ ∈ I tồn tại µ ∈ J sao cho λ < λµ.
11
Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy (suy rộng) con của dãy ϕ hay (xλµ) là dãy con của
dãy (xλ).
Dãy suy rộng (xλ) trong không gian tôpô (X, τ) được gọi là hội tụ đến x¯ nếu
vơi mọi lân cận V của x¯, tồn tại λ0 sao cho với mọi λ > λ0 ta có xλ ∈ V . Lúc đó, ta
ký hiệu xλ → x¯. Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi dãy suy rộng
trong A đều tồn tại dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A. Ta có thêm các kết quả
sau
d) A là tập đóng ⇐⇒ với mọi dãy (xλ) ⊂ A, nếu xλ → x¯ thì x¯ ∈ A.
Ta gọi một phủ mở của A là một họ {Uα | α ∈ Λ} các tập mở sao cho
A ⊂
⋃
α∈Λ
Uα.
Lúc đó, nếu có họ hữu hạn H = {α1, α2, · · · , αk} ⊂ Λ sao cho
A ⊂
⋃
α∈H
Uα,
thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên.
e) A là tập compact ⇐⇒ mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn.
1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính.
Cho không gian vectơ X. Lúc đó, một tôpô τ trên X được gọi là tương thích
với cấu trúc đại số trên X nếu dưới tôpô này, các ánh xạ sau liên tục.
+ :X ×X → X,
. :R×X → X.
Tức là:
Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận U của x, V
của y sao cho U + V ⊂ W.
Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và mọi lân cận W của λx, tồn tại  > 0 và lân cận V
của x sao cho µV ⊂ W với mọi µ ∈ (λ− , λ+ ).
Lúc đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không gian
vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính.
Bổ đề 1.2. Trong không gian tôpô tuyến tính X,
Phép tịnh tiến: Ta(x) := a+ x,
Phép vị tự: ϕα(x) := αx,
với a ∈ X, α ∈ R \ {0}, là các phép đồng phôi từ X lên X.
12
Chứng minh. Vì đó là các song ánh liên tục và T−1a = T−a, ϕ
−1
α = ϕα−1 .
Hệ quả 1.3. Trên không gian tôpô tuyến tính ta có
a) V là lân cận gốc ⇔ V + a là lân cận của a;
b) V là lân cận của x0 ⇔ αV là lân cận của αx0, với mọi α 6= 0.
Một tập A ⊆ X được gọi là cân đối nếu với mọi |λ| ≤ 1 ta có λA ⊆ A.
Mệnh đề 1.8. Nếu V là lân cận gốc trong không gian tôpô tuyến tính X, thì
a) V là tập hấp thụ.
b) Tồn tại một lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊂ V .
Chứng minh. Để khỏi nhầm lẫn, trong chứng minh này, ta ký hiệu θ là vectơ gốc
trong X.
a) Vì 0.x = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại  > 0 và lân cận U của x sao cho
λU ⊆ V với mọi λ ∈ (−, ). Suy ra λx ⊆ V với mọi λ ∈ (−, ). Vậy V hấp thụ.
b) Vì θ+ θ = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại các lân cận gốc U1, U2 sao cho
U1 + U2 ⊆ V . Vì 0.θ = θ nên với lân cận gốc U0 := U1 ∩ U2 tồn tại  > 0 và lân cận
gốc W sao cho λW ⊆ U0 với mọi λ ∈ (−, ). Đặt
U :=
⋃
|λ|<
λW
ta có U là lân cận cân đối của gốc và U + U ⊆ V .
Định lý 1.9. Cho X là một không gian vectơ.
a) Nếu τ là một tôpô tuyến tính, thì tồn tại cơ sở lân cận gốc V ⊂ τ thoả mãn
i) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ V,
ii) αV ∈ V với mọi α 6= 0 và V ∈ V,
iii) Với mọi V ∈ V tồn tại U ∈ V sao cho U + U ⊂ V ,
iv) Với mọi V1, V2 ∈ V, tồn tại U ∈ V sao cho U ⊂ V1 ∩ V2.
b) Ngược lại, nếu V ⊂ P(X) là họ các tập thoả mãn các điều kiện (i-iv), thì tồn
tại tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc. Cụ thể,
τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ V , x+ V ⊂ U}.
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.15. Trong khẳng định a) đặt V là tập các lân cận
gốc cân đối, còn trong b) chỉ cần kiểm tra τ đã cho là một tôpô tuyến tính.
13
Mệnh đề 1.10. Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc, thì τ
là tôpô Hausdorff khi và chỉ khi ⋂
V ∈V
V = {0}.
Chứng minh. Cần là hiển nhiên. Để chứng minh đủ ta chú ý rằng nếu V là một lân
cận gốc không chứa a ∈ X, thì với lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊆ V , ta sẽ
có U ∩ (a+ U) = ∅.
1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương.
Từ kết quả của mục trước, ta thấy cấu trúc của một tôpô tuyến tính hoàn toàn
được xác định bởi hệ cơ sở lân cận gốc. Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốc gồm
toàn các tập lồi thì τ sẽ được gọi là tôpô (tuyến tính) lồi địa phương và X được gọi
là không gian tôpô (tuyến tính) lồi địa phương.
Định lý 1.11. Cho X là một không gian vectơ.
a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc V
gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ.
b) Ngược lại, nếu V0 là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau
V :=
{

m⋂
1
Vi |  > 0; m ∈ N; Vi ∈ V0
}
là cơ sở lân cận gốc của một tôpô lồi địa phương nào đó. Hơn nữa, tôpô này
là Hausdorff khi và chỉ khi ⋂
V ∈V0; >0
V = {0}.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.9 với V là họ các lân cận lồi, cân đối.
Nếu chú ý rằng, với mọi V ∈ V ta có V ⊂ 2V , thì ta có thể khẳng định rằng
mọi tôpô lồi địa phương đều tồn tại một cơ sở lân cận gốc lồi, cân đối và đóng.
Ví dụ 1.1. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi
họ chỉ gồm một tập: V0 = {B(0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là
V = {B(0; 1) |  > 0} = {B(0; ) |  > 0}.
Ví dụ 1.2. Với mỗi p > 0 ta vẫn ký hiệu
lp = {x = (xn) ⊂ R |
∞∑
1
|xn|p <∞}.
14
Đó là các không gian vectơ. Đặt
V :=
{
x ∈ lp
∣∣∣ ( ∞∑
1
|xn|p
) 1
p
< 
}
.
Lúc đó, V = {V |  > 0} là cơ sở lân cận gốc của một tôpô tuyến tính trên lp. Hơn
nữa, ta có thể chứng minh được rằng lp là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi
p ≥ 1.
1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất.
Trên không gian vectơ X có thể có nhiều tôpô lồi địa phương khác nhau. Ta
gọi tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên X là tôpô τ0 sinh bởi họ V0 gồm tất cả các
tập lồi, cân đối, hấp thụ trong X. Sở dĩ có tên gọi như vậy vì với mọi tôpô lồi địa
phương τ trên X, ta có τ ⊂ τ0.
Định lý 1.12. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất τ0 trên X là Hausdorff. Trong tôpô
ấy ta có
a) Mọi tập lồi, hấp thụ đều là lân cận gốc;
b) Nếu C là tập con lồi của X, thì coreC = IntC;
c) Cho Y là một không gian lồi địa phương tuỳ ý. Lúc đó, mọi ánh xạ tuyến tính
từ X vào Y đều liên tục.
Chứng minh.
a) Vì mọi tập lồi, hấp thụ đều chứa một tập V ∈ τ0.
b) Nếu x0 ∈ coreC thì C − x0 hấp thụ và lồi, nên cũng là lân cận gốc, do đó
x0 ∈ IntC.
c) Vì ảnh ngược của một tập lồi, hấp thụ qua ánh xạ tuyến tính cũng là một
tập lồi, hấp thụ.
Định lý 1.13. Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì trong X chỉ có một tôpô lồi
địa phương Hausdorff duy nhất. Đó chính là tôpô Euclide thông thường.
Chứng minh. Giả sử dimX = n và {e1, · · · , en} là một cơ sở trực chuẩn, theo
tôpô Euclide, của X. Ký hiệu τE là tôpô Euclide và τ là một tôpô lồi địa phương
Hausdorff nào đó trên X. Với mỗi τ−lân cận lồi của gốc V , tồn tại  > 0 sao cho
{±ei | 1 ≤ i ≤ n} ⊂ V . Do V lồi nên V ⊃ co{±ei | 1 ≤ i ≤ n} ⊃ nB(0; 1),
với B(0; 1) là τE−hình cầu đơn vị. Vậy τ ⊂ τE. Từ đó suy ra toán tử đồng nhất
I : (X, τE) → (X, τ) là song ánh liên tục và τE−mặt cầu đơn vị S(0; 1), với tư
cách là ảnh liên tục của một tập compact, là tập τ−compact. Vì τ Hausdorff nên
S(0; 1) là đóng. Mặt khác 0 6∈ S(0; 1), nên tồn tại τ−lân cận gốc lồi U sao cho
U ∩ S(0; 1) = ∅. Dễ chứng minh được rằng U ⊆ B(0; 1). Vậy τ = τE.
15
Từ định lý trên ta thấy tôpô Euclide cũng là tôpô lồi địa phương mạnh nhất
trên không gian hữu hạn chiều. Khẳng định sau là hiển nhiên
Hệ quả 1.4. Trong Rn với tôpô Euclide ta có
a) Nếu C ⊂ Rn là tập lồi thì IntC = coreC;
b) Mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn vào một không gian lồi địa phương Y đều liên
tục.
Hệ quả 1.5. Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian lồi địa phương
Hausdorff đều đóng.
Chứng minh. Cho (X, τ) là không gian lồi địa phương Hausdorff và M là không
gian con hữu hạn chiều của X. Do Định lý 1.13 tôpô cảm sinh của τ lên M chính
là tôpô Euclide. Đặt Un = BM(0;
1
n
) là hình cầu mở tâm 0 bán kính 1
n
trong M . Với
mỗi n tồn tại τ−lân cận gốc lồi, cân đối Vn sao cho Vn ∩M ⊆ Un.
Giả sử (xλ)λ∈I là dãy trong M , hội tụ về x ∈ X. Ta sẽ chứng minh x ∈ M .
Do xλ → x, với mỗi n ∈ N, tồn tại λn ∈ I sao cho xλ ∈ x + Vn, với mọi λ ≥ λn.
Chú ý rằng, ta có thể chọn sao cho λn < λn+1 với mọi n. Như vậy (xλn) là một dãy
con của (xλ). Bây giờ lấy xλm và xλn , với m < n, ta có xλm , xλn ∈ x + Vm. Vì vậy
xλm − xλn ∈ Vm− Vm = 2Vm. Mặt khác, xλm − xλn ∈M , nên xλm − xλn ∈ 2Um, hay
‖xλm − xλn‖ < 2m . Vậy (xλm) là dãy Cauchy trong M nên hội tụ đến y ∈ M . Do
tính duy nhất của giới hạn trong không gian Hausdorff ta có x = y ∈M.
1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô.
Giả sử (X, τX), (Y, τY ) là hai không gian tôpô lồi địa phương. Lúc đó, không
gian vectơ tích X ×Y với tôpô tích Tikhonov (tức là tôpô trên X ×Y có cơ sở gồm
tất cả các tập U × V với U ∈ τX và V ∈ τY ) cũng là không gian lồi địa phương, cụ
thể ta có kết quả sau
Định lý 1.14.
a) Tích của hai không gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y là không gian lồi địa
phương (Hausdorff) X × Y .
b) Nếu Z là một không gian lồi địa phương thì mọi ánh xạ A ∈ L(X × Y, Z) đều
có dạng A(x, y) = A1(x) + A2(y), với A1 ∈ L(X,Z) và A2 ∈ L(Y, Z) là các
ánh xạ được xác định bởi
A1(x) = A(x, 0); A2(y) = A(0, y).
Hơn nữa, A liên tục khi và chỉ khi A1 và A2 đều liên tục.
16
Bây giờ giả sử M ≤ X và N là phần bù đại số của M (tức là, M +N = X và
M ∩N = {0}, lúc đó với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất một cặp m ∈M và n ∈ N sao
cho x = m+ n). Với tôpô cảm sinh, M và N cũng là các không gian lồi địa phương
và do đó ta có không gian lồi địa phương M ×N . Xét ánh xạ
ϕ :M ×N → X
(m,n)→ m+ n.
Dễ thấy rằng ϕ là một song ánh tuyến tính liên tục. Nếu ϕ−1 cũng là một ánh xạ
liên tục, thì M , N sẽ được gọi là phần bù tôpô của nhau và ký hiệu
X = M ⊕N.
Mệnh đề 1.15. Giả sử X là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, M là không
gian con đóng của X và codimM < ∞. Lúc đó mọi phần bù đại số của M đều là
phần bù tôpô.
Để chứng minh mệnh đề này ta cần sử dụng kết quả sau.
Bổ đề 1.3. Cho M và C là hai tập con của một không gian tôpô tuyến tính sao cho
M đóng, C compact. Lúc đó M + C là tập đóng.
Chứng minh Mệnh đề 1.15. Giả sử N là phần bù đại số của M . Lúc đó dimN <∞
nên tôpô cảm sinh trên N là tôpô Euclide. Ta chỉ cần chứng minh ánh xạ chiếu
pN : X → N xác định bởi pN(m+ n) = n, với mọi m ∈ M , n ∈ N , là liên tục. Đặt
C = SN(0; 1) là mặt cầu đơn vị trong N . Theo Bổ đề 1.3, C +M là tập đóng. Mặt
khác, 0 6∈ C+M , vì vậy tồn tại lân cận gốc lồi V trong X sao cho V ∩ (C+M) = ∅.
Dễ chứng minh được rằng pN(V ) ⊆ BN(0; 1). Từ đó pN(V ) ⊆ BN(0; ) với mọi
 > 0. Vậy pN liên tục tại gốc nên liên tục.
1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương.
Trong suốt mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết X là một không
gian tôpô lồi địa phương.
1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn.
Mệnh đề 1.16.
a) Cho C là tập lồi, hấp thụ trong X. Lúc đó pC là hàm liên tục khi và chỉ khi C
là một lân cận gốc. Hơn nữa, ta có
IntC = {x ∈ X | pC(x) < 1}; C = {x ∈ X | pC(x) ≤ 1}.
17
b) Cho C và D là hai tập lồi, hấp thụ trong X và α > 0. Lúc đó,
p(αC) =
1
α
pC ; p(C∪D) = max{pC , pD}.
c) Nếu p là một phiếm hàm dưới tuyến tính không âm trên X thì p = pC, với
C = {x ∈ X | p(x) < 1}.
Chứng minh. Từ Định lý 1.6 ta có 0 ∈ p−1C (−∞, 1) ⊆ C và 0 ∈ C ⊆ p−1C [0, ]. Vì
vậy, pC liên tục khi và chỉ khi C là lân cận gốc. Lúc đó dễ thấy
p−1C (−∞, 1) ⊆ IntC ⊆ C ⊆ p−1C (−∞, 1].
Mặt khác, có thể chứng minh rằng pC(x) = 1⇒ x ∈ ∂C. Vậy a) được chứng minh.
b) được suy ra từ định nghĩa. Để chứng minh c) ta sử dụng các mệnh đề:
p(x) < 1⇒ pC(x) ≤ 1; pC(x) < 1⇒ x ∈ C ⇒ p(x) < 1,
và nhận xét rằng, nếu p và q là hai phiếm hàm thuần nhất dương, không âm thỏa
mãn p(x) < 1⇒ q(x) ≤ 1 thì q(x) ≤ p(x) với mọi x.
Phiếm hàm p trên X được gọi là một nửa chuẩn nếu
a) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), với mọi x, y ∈ X;
b) p(λx) = |λ|p(x), với mọi λ ∈ R và x ∈ X.
Vậy, p là một chuẩn nếu p là nửa chuẩn và p(x) = 0⇔ x = 0. Ta dễ dàng kiểm
chứng được mệnh đề sau
Mệnh đề 1.17. Cho p là một phiếm hàm trên X.
a) p là nửa chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ.
b) p là chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ và
không chứa trọn đường thẳng nào.
Từ Định lý 1.11 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ X
hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ V0 (theo nghĩa
τ là tôpô tuyến tính yếu nhất nhận mọi tập V ∈ V0 làm lân cận gốc). Kết hợp với
Mệnh đề 1.16 và Mệnh đề 1.17 ta có thể khẳng định thêm rằng τ hoàn toàn được
xác định bởi một họ P0 các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất
sao cho mọi nửa chuẩn p ∈ P0 đều liên tục). Đặc biệt, mọi chuẩn đều hoàn toàn
được xác định bởi một tập C lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa đường thẳng nào
(lúc đó, với chuẩn này, B(0; 1) ⊂ C ⊂ B′(0; 1)).
18
1.4.2. Các tính chất tôpô.
Cho C là tập lồi trong X. Ta vẫn ký hiệu IntC là phần trong của C. Ngoài ra,
ta gọi phần trong tương đối của C là phần trong của tập này theo tôpô cảm sinh
trong Aff(C). Cụ thể,
riC := {x ∈ C | tồn tại lân cận gốc V : (x+ V ) ∩ Aff(C) ⊂ C}.
Định lý 1.18. Cho C là tập lồi khác rỗng trong X. Lúc đó,
a) IntC, C là các tập lồi.
b) Nếu x ∈ IntC và y ∈ C thì [x, y) ⊂ IntC.
c) Nếu IntC 6= ∅ thì C = IntC, IntC = IntC và coreC = IntC.
d) Nếu dimC <∞ thì riC 6= ∅ và C = riC; riC = riC.
Chứng minh.
a) Nếu x, y ∈ IntC, thì tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C và y+V ⊆ C.
Do đó, với mọi λ ∈ (0, 1) ta có λx+ (1− λ)y + V ⊆ C, nên λx+ (1− λ)y ∈ IntC.
Vậy IntC lồi. Bây giờ lấy x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1). Với mọi lân cận gốc lồi V , tồn tại
x ∈ (x+V )∩C và y ∈ (y+V )∩C, lúc đó λx+(1−λ)y ∈ (λx+(1−λ)y+V )∩C.
Vậy λx+ (1− λ)y ∈ C, suy ra C là tập lồi.
b) Ta chứng minh w = µx+ (1− µ)y ∈ IntC, với mọi µ ∈ (0, 1]. Đặt λ = µ
2
và
z = λx+(1−λ)y. Vì x ∈ IntC nên tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C. Lại vì
y ∈ C nên y ∈ C+ λ
1−λV , do đó z ∈ λx+(1−λ)(C+ λ1−λV ) = λ(x+V )+(1−λ)C ⊆ C.
Để ý rằng w = tx + (1− t)z với t = λ
1−λ , ta có w + tV ⊆ t(x + V ) + (1− t)z ⊆ C.
Vậy w ∈ IntC.
c) Khẳng định C = IntC su