Giáo án Toán 9 – Ôn tập học kỳ II năm học 2015 – 2016 - Chủ đề : Các bài toán về hệ phương trình

CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hệ phương trình: 
(D) cắt (D’) 	 Hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất.
(D) // (D’) 	 Hệ phương trình vơ nghiệm.
(D) (D’) 	 Hệ phương trình cĩ vơ số nghiệm. 
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 .
Xác định giá trị của m để:
x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1).
Hệ (1) vơ nghiệm.
Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
Tìm m để hệ (1) cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1.
Bài tập 2: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ (1) khi k = 1.
Tìm giá trị của k để hệ (1) cĩ nghiệm là x = – 8 và y = 7.
Tìm nghiệm của hệ (1) theo k.
Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 .
Xác định giá trị của m để:
x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1).
Hệ (1) vơ nghiệm.
Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
Bài tập 4: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .
Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm x = và y = .
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
Bài tập 5 : Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.
Tìm m để hệ (1) cĩ nghiệm (x; y) thỏa .
Bài tập 6: Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = – 1.
Với giá trị nào của m thì hệ pt cĩ nghiệm (x; y) thỏa .
Bài tập 7: Cho hệ phương trình : (1)
Giải hệ (1) khi m = 1.
Xác định giá trị của m để hệ (1):
Cĩ nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đĩ theo m.
Cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2.
Bài tập 8 : Cho hệ phương trình : ( m là tham số) (I).
Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.
Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) cĩ nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất đĩ theo m. 
CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM
CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hàm số y = ax2(a0): 
Hàm số y = ax2(a0) cĩ những tính chất sau:
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
Nếu a 0.
Đồ thị của hàm số y = ax2(a0):
Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a0):
Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
Dựa và bảng giá trị vẽ (P).
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) và (D): y = ax + b:
Lập phương trình hoành đợ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm sớ bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Giải pt hoành đợ giao điểm:
+ Nếu > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu = 0 pt có nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu < 0 pt vơ nghiệm (D) và (P) khơng giao nhau.
3. Xác định sớ giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) và (Dm) theo tham sớ m:
Lập phương trình hoành đợ giao điểm của (P) và (Dm): cho 2 vế phải của 2 hàm sớ bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Lập (hoặc) của pt hoành đợ giao điểm.
Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m.
+ (Dm) và (P) khơng giao nhau khi < 0 giải bất pt tìm m.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hai hàm sớ y = có đờ thị (P) và y = -x + m có đờ thị (Dm).
Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng mợt hệ trục tọa đợ vuơng góc Oxy. Xác định tọa đợ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
(Dm) cắt (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1.
(Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
(Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. 
Bài tập 2: Cho hai hàm sớ y = – 2x2 có đờ thị (P) và y = – 3x + m có đờ thị (Dm).
Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng mợt hệ trục tọa đợ vuơng góc Oxy. Xác định tọa đợ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng .
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 cĩ đồ thị (P).
Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuơng gĩc..
Gọi A() và B(2; 1).
Viết phương trình đường thẳng AB.
Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).
Tìm điểm trên (P) cĩ tổng hồnh độ và tung độ của nĩ bằng – 6.
Bài tập 4: Cho hàm sớ y = x2 có đờ thị (P) và y = – 2x + có đờ thị (D).
 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc.
 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ và tung độ của điểm đĩ bằng – 4.
Bài tập 5: Cho hàm sớ y = x2 có đờ thị (P) và y = x + có đờ thị (D).
 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc.
Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
 Gọi A là điểm (P) và B là điểm (D) sao cho . Xác định tọa độ của A và B.
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuơng gĩc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.
Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.
Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuơng gĩc Oxy.
Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và cĩ hệ số gĩc k.
Viết phương trình đường thẳng (D).
Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hồnh độ của B là 1.
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 cĩ đồ thị (P) và y = x + 2 cĩ đồ thị (D).
Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng
Gọi A là điểm thuộc (D) cĩ hồnh độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) cĩ hồnh độ bằng – 2. Xác định tọa độ của A, B.
Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 cĩ đồ thị (P) và y = x – 2 cĩ đồ thị (D).
Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phương pháp đại số.
Gọi A là một điểm thuộc (D) cĩ tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) cĩ hồnh độ bằng – 1. Xác định tọa độ của A và B.
Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hồnh sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2.
Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B.
Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
CMR: Tam giác AOB là tam giác vuơng.
CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a0) (1)
	a) Nhẩm nghiệm:
a + b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm:.
a – b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm:.
b) Giải với : 
Nếu b = 2b’ b’ == (b’)2 – ac.
Nếu > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: ; 
Nếu = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: .
Nếu < 0 phương trình vơ nghiệm.
c) Giải với :
	Tính : = b2 – 4ac.
Nếu > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: ; 
Nếu = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: .
Nếu < 0 phương trình vơ nghiệm.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
	a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) thì ta cĩ:.
	b) Định lý đảo: Nếu 
 u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P 0).
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
Tổng bình phương các nghiệm: = S2 – 2P.
Tổng nghịch đảo các nghiệm: .
Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: .
Bình phương của hiệu các nghiệm: = S2 – 4P.
Tổng lập phương các nghiệm: = S3 – 3PS
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) .	b).	c) 	 d) 
3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải: 
Tìm điều kiện để phương trình đã cho cĩ nghiệm (; hoặc a.c < 0).
Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình .
Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đĩ là hệ thức độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số). 
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm khơng phụ thuộc vào m.
4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nĩ:
* Phương pháp giải: 
Nếu 2 số u và v c ĩ: u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (*).
Giải pt (*):
+ Nếu > 0 (hoặc > 0) pt (*) cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Vậy hoặc .
+ Nếu = 0 (hoặc = 0) pt (*) cĩ nghiệm kép x1 = x2 = . Vậy u = v =.
+ Nếu < 0 (hoặc < 0) pt (*) vơ nghiệm. Vậy khơng cĩ 2 số u, v thỏa đề bài.
Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28
Ví dụ 2: Cho hai số a = +1 và b = 3 – . Viết phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là a và b.
5. Chứng minh phương trình bậc hai luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 + c > 0, m (với c là một số dương) 
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.
6. Chứng minh phương trình bậc hai luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 0, m.
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn nghiệm với mọi tham số m.
7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biện luận:
+ Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt khi: > 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình cĩ nghiệm kép khi = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình vơ nghiệm khi < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình cĩ nghiệm khi 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
	* Phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	* Phương pháp giải:
Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c.
Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
	* Phương pháp giải:
Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = – 2.
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m.
Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = 3.
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m.
Bài tập 3 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
Giải phương trình (1) khi m = 2.
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Bài tập 4 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
Giải phương trình (1) khi m = 5.
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Tìm m để phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu.
Bài tập 5 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1).
Tìm m để:
Pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt.
Pt (1) cĩ một nghiệm là – 2.
Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0.
Bài tập 6: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = –2.
CMR: , phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). C/m: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) khơng phụ thuộc vào m.
Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = – 2.
CMR: Với mọi m, phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = theo m.
Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = –1.
CMR: Với mọi m, phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu.
Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc và m.
Tìm m để = 10.
Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = –1. 
Tìm m để:
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu.
Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1).
Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm kép và tính nghiệm kép đĩ.
Trong trường hợp phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà khơng phụ thuộc m.
CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN
 BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các bước giải:
Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình):
Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ;
 Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được.
Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập1: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.	.
Bài tập 2: Cĩ hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đĩ.
Bài tập 3: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên cĩ hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nĩ bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Bài tập 4: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật cĩ chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nĩ tăng thêm 144m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
Bài tập 5: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nĩ tăng thêm 50m2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.
Bài tập 6: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật cĩ chu vi 160cm và cĩ diện tích 1500m2. Tính các kich thước của nĩ.
Bài tập 7: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật cĩ chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường.
Bài tập 8: Cho một tam giác vuơng. Nếu tăng các cạnh gĩc vuơng lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2. Tình hai cạnh gĩc vuơng của tam giác.
Bài tập 9: Cho tam giác vuơng cĩ cạnh huyền bằng 5cm,diện tích bằng 6cm2.Tìm độ dài các cạnh cịn lại
Bài tập 10: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng cĩ nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vịi thứ nhất trong 3 giờ và vịi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước. Hỏi mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?
Bài tập11: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng cĩ nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vịi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vịi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ được thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?
Bài tập 12: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể cạn (khơng cĩ nước) thì sau giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vịi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vịi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước.Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vịi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể
Bài tập13: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa cĩ nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vịi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vịi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi mất bao lâu mới chảy đầy bể?
Bài tập 14: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài tập 15: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km. Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa – Định lý 
 Hệ quả
Ký hiệu tốn học
Hình vẽ
1. Gĩc ở tâm: Trong một đường trịn, số đo của gĩc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
2. Gĩc nội tiếp
* Định lý: Trong một đường trịn, số đo của gĩc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
* Hệ quả: Trong một đường trịn:
a) Các gĩc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các gĩc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c) Gĩc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) cĩ số đo bằng nửa số đo của gĩc ở tâm cùng chắn một cung.
d) Gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn là gĩc vuơng.
3. Gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
* Định lý: Trong một đường trịn, số đo của gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
* Hệ quả: Trong một đường trịn, gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
4. Gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn:
* Định lý: Gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
5. Gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn:
* Định lý: Gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
6. Cung chứa gĩc:
* Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới một gĩc khơng đổi là hai cung trịn chứa gĩc .
* Đặc biệt: 
a) Các điểm D, E, F cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, cùng nhìn đoạn AB dưới một gĩc khơng đổi Các đểm A, B, D, E, F cùng thuộc một đường trịn.
b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB dưới một gĩc vuơng Các đểm A, B, C, D, E, F thuộc đường trịn đường kính AB.
7. Tứ giác nội tiếp:
* Định nghĩa: Một tứ giác cĩ bốn đỉnh nằm trên một dường trịn được gọi là tứ giác nội tiếp đường trịn.
* Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai gĩc đối diện bằng 1800.
 * Định lý đảo: Nếu một tứ giác cĩ tổng số đo hai gĩc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đĩ nội tiếp được đường trịn.
8. Độ dài đường trịn, cung trịn:
* Chu vi đường trịn:
* Độ dài cung trịn:
9. Diện tích hình trịn, hình quạt trịn:
* Diện tích hình trịn:
* Diện tích hình quạt trịn:
* Diện tích hình viên phân:
* Diện tích hình vành khăn:
HÌNH KHƠNG GIAN
1.Hình trụ:
* Diện tích xung quanh:
* Diện tích tồn phần:
* Thể tích:
2.Hình nĩn:
* Diện tích xung quanh:
* Diện tích tồn phần:
* Thể tích:
2. Hình nĩn cụt:
* Diện tích xung quanh:
* Diện tích tồn phần:
* Thể tích:
(O,R) cĩ: ở tâm chắn 
= sđ
(O,R) cĩ:nội tiếp chắn 
= sđ.
a) (O,R) cĩ: 
b) (O,R) cĩ:
(O,R) cĩ:
c) (O,R) cĩ: 
d) (O,R) cĩ:
nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BC = 900.
(O,R) cĩ:
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn =sđ .
(O,R) cĩ:
(O,R) cĩ: 
cĩ đỉnh bên trong đường trịn 
(O,R) cĩ: 
cĩ đỉnh bên ngồi đường trịn 
a) cùng nhìn đoạn AB A, B, D, E, F cùng thuộc một đường trịn.
b) cùng nhìn đoạn AB A, B, C, D, E, F thuộc một đường trịn đường kính AB.
* Tứ giác ABCD cĩ A, B, C, D (O) 
ABCD là tứ giác nội tiếp (O).
* Tứ giác ABCD nội tiếp (O) 
* Tứ giác ABCD cĩ:
ABCD là tứ giác n.tiếp
Hoặc:
ABCD là tứ giác n.tiếp
C = 2R =d
Sviên phân = Squạt - SABC
Stp = Sxq + 2.Sđáy
S: diện tích đáy; h: chiều cao
Stp = Sxq + Sđáy
Vnĩn = Vtrụ
S: diện tích đáy; h: chiều cao,
l: đường sinh
Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R. Các phân giác của các gĩc , lần lượt cắt đường trịn tại E, F.
CMR: OF AB và OE AC.
Gọi M là giao điểm của của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC. CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác này.
Gọi I là giao điểm của BE và CF; D là điểm đối xứng của I qua BC. CMR: ID MN.
CMR: Nếu D nằm trên (O) thì = 600.
Bài 2: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H.
CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp.
Khi BM = . Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a.
Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a.
Bài 3: Cho cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O. Đường cao BH và CK lần lượt cắt (O) tại E và F.
CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp.
CMR: OA EF và EF // HK.
Khi là tam giác đều cĩ cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC của (O).
Bài 4: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuơng gĩc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F.
CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường trịn.
CMR: DE.HE = BE.CE.
Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC.
CMR: HC là tia phân giác của .
Bài 5: Một hình vuơng ABCD nội tiếp trong đường trịn Tâm O bán kính R . Một điểm M di động trên cung ABC , M khơng trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H.
CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường trịn và DH.DM = 2R2 .
CMR: MD.MH = MA.MC.
MDC và MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’. Xác định điểm M’. Khi đĩ M’D cắt AC tại H’. Đường thẳng qua M’ và vuơng gĩc với AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C .
Bài 6: Cho hai đường trịn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB. Vẽ đường kính AC của đường trịn (O) và đường kính AD của đường trịn (O’).
CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Tính độ dài đoạn OO’.
Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường trịn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm). CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF.
Bài 7: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường trịn. Qua điểm M thuộc nửa đường trịn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
	1. CMR:
	a) Tứ giác AOMC nội tiếp.
	b) CD = CA + DB và = 900.
	c) AC. BD = R2.
	2. Khi = 600. Chứng tỏ là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt trịn chắn cung MB của nửa đường trịn đã cho theo R.
Bài 8: Từ điểm M ở ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD khơng đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường trịn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. 
CMR: MA2 = MC. MD.
Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường trịn.
Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường trịn. Suy ra AB là phân giác của .
Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường trịn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
Bài 9: 
Cho hình vuơng cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.
	1. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp.
	2. Chứng minh: KM ^ DB.
	3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB.
4. Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích của tam giác ABM, tam giác DCM. CMR: (SABM + SDCM ) khơng đổi. Xác định vị trí của M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ theo a.
Bài 10: Cho điểm A ở ngồi đường trịn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường trịn (B và C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường trịn tại E và F (E nằm giữa A và F).
CMR: và đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF.
Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường trịn.
Từ E vẽ đường thẳng vuơng gĩc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng trịn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang.
Giả sử cho OA = R. Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngồi hình trịn (O)