Giải tích 11 - Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa:
Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:
Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực (), nếu Kí hiệu: 
Chú ý: .
Một vài giới hạn đặc biệt.
với .
Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.
Một số định lý về giới hạn của dãy số.
Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : và .
Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 
Dãy số dần tới vô cực:
Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực khi n dần tới vơ cực nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un khi .
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi nếu lim.Ký hiệu: lim(un)= hay un khi .
Định lý:
Nếu : thì 
Nếu : thì 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Giới hạn của dãy số (un) với với P,Q là các đa thức:
Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : .
Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0.
Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=.
Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn.
Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.
Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
CÁC VÍ DỤ.
 là biểu thức liên hợp của 
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội và số hạng đầu u1=1.
.
BÀI TẬP
Tìm các giới hạn:
Tìm các giới hạn sau:
Tìm các giới hạn sau:
Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:.
Một số định lý về giới hạn của hàm số:
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý 2:Nếu các giới hạn: thì:
Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)h(x) và .
Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: .
Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:.
Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
	Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
Giới hạn của hàm số dạng: 
Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
Giới hạn của hàm số dạng: 
Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu thì coi như x>0, nếu thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
Giới hạn của hàm số dạng: . Ta biến đổi về dạng: 
Giới hạn của hàm số dạng: 
Đưa về dạng: 
CÁC VÍ DỤ
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
 (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể: 
.
.
Cho hàm số : . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn đó.
Giải
	Ta có : . 
	Vậy 
. Dạng .
. Dạng .
	. Dạng .
BÀI TẬP.
Tìm các giới hạn sau:
Tìm các giới hạn :
Tìm các giới hạn sau:
.
Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem có tồn tại không trong các trường hợp sau:
 tại x0 = 1
 tại x0 = 1
 tại x0 = 2
 tại x0 = 1
Tìm các giới hạn:
HÀM SỐ LIÊN TỤC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 (a;b) nếu:.Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.
f(x) xác định trên khoảng (a;b) 
	liên tục tại điểm x0 (a;b) .
f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.
f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và 
Một số định lý về hàm số liên tục:
Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: cũng liên tục tại x0 .
Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Xét tính liên tục của hàm số dạng: 
 Tìm .Hàm số liên tục tại x0 .
Xét tính liên tục của hàm số dạng: 
Tìm : . Hàm số liên tục tại x = x0 .
Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
Chứng tỏ f(a).f(b)<0
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm.
CÁC VÍ DỤ.
Cho hàm số: a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1.
Giải
	Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
	Ta có f(1) = a.
	Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.
	Nếu a2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.
Cho hàm số: . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.
Giải
	Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
	Ta có f(0) = 0
	.
	Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.
Cho hàm số: 	. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.
Giải
	x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.
	x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục.
	Khi x = 1:
	Ta có f(1) = a+2
	.
	Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1.
	Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a -1.
	Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên nếu a -1.
BÀI TẬP	
Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm gián đoạn.
f(x) = x3 – 2x2 + 3x + 1
Cho hàm số: a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại mọi x, khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số.
Chứng minh rằng phương trình: 
3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm
4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).
x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt.
x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2).
2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2].
Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R:
Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trường hợp sau:
 tại x0 = 2
 tại x0 = 1.
 tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3.