NGUYỄN VĂN XÁ MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI BẮC NINH – 2013 Việc học vấn cần ghi ba lẽ Cho hoàn toàn chớ ñể sót quên Con chăm, cha thực, thầy nghiêm Ba ñiều có trọn mới nên ñại thành. (Trích “Minh ñạo gia huấn”) Nguyễn Văn Xá ðề 01 ðỀ THI HSG LỚP 12 – BẮC NINH (1999 - 2000) Bài 1 (5 ñiểm) 1) Chứng minh rằng phương trình 3 26 1 1 0 2 x x x x− − − + + = không thể có nghiệm âm. 2) Tìm a sao cho với mọi x ≠ 0 ta luôn có 2 2 1 1( ) (1 3sin )( ) 3sin 0x a x a x x + + + + + > . Bài 2 (4 ñiểm) 1) Cho sáu số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn 4xyz – (a2x + b2y + c2z) = abc. Chứng minh tồn tại các số ,α β thỏa mãn 0 ,0 2 2 pi pi α β< < < < , sao cho a = 2 sinyz α , b = 2 sinzx β , và c = 2 os( + )xyc α β . 2) Cho trước ba số dương a, b, c. Tìm các số dương x, y, z theo a, b, c, biết 2 2 2 x + y + z = a + b + c 4xyz (a x+b y+c z) = abc − . Bài 3 (5 ñiểm) 1) Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ 3 3 2 . 2) Cho ∆ABC không vuông, tìm giá trị nhỏ nhất của P = sin sin sinlog sin log sin log sin sin sin sin sin sin sin A B CB C A A B B C C A + + + + + . Bài 4 (6 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). a. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). b. Gọi , ,α β γ là góc giữa các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Giả sử c < b < a . Hỏi ba ñoạn thẳng os , os , osa c b c c cα β γ có thể dựng ñược một tam giác hay không ? Nguyễn Văn Xá ðề 02 THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001) Bài 1 (4 ñiểm) Giải phương trình 1. (2 ñiểm) sinx(cos2x + cos6x) + cos2x = 2. 2. (2 ñiểm) 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 20 4 5 15 3 4 12 3 x x x x x x x x x − + + − + = + + . Bài 2 (4 ñiểm) Cho dãy (un) thỏa mãn u1 = - 2, 1 , 1 n n n u u n u + = ∈ − N*. 1. Chứng minh un < 0, ∀n∈N*. 2. Với mỗi n∈N* ñặt vn =1 n n u u + . Chứng minh (vn) là một cấp số cộng và suy ra biểu thức của vn và un. Bài 3 (4 ñiểm) Giải hệ 27 4 1 1 5 4 27 6 1log log 6 27 4 1 x x y x y x + = − ≥ − ≤ . Bài 4 (4 ñiểm) Chứng minh rằng nếu ba số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng có công sai không chia hết cho 6 thì số bé nhất trong chúng là 3. Bài 5 (4 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, thể tích bằng 1cm3. Chứng minh rằng SA, SB, SC ñôi một vuông góc. Nguyễn Văn Xá ðề 03 ðỀ THI HSG BẮC NINH (10 – 04 – 2002) Bài 1 (2 ñiểm) 1/ Tìm giới hạn a. 3 sin 3lim 1 2cosx x xpi→ − . b. 2 0 ln(cosx) lim xx→ . 2/ Cho 3 3 2os( n. n 3 1)na c n npi= + + + , n∈N*. Tìm lim nn a→ ∞ . Bài 2 (1.5 ñiểm) Tính các tổng sau: a) Sn = sinx + sin2x + + sinnx. b) Cn = cosx + 2cos2x + + ncosnx. Bài 3 (2 ñiểm) 1) Giải phương trình )1(2)1( 2323 xxxx −=−+ . 2) Giải hệ phương trình 3 2 3 2 3 2 9 27 27 9 27 27 9 27 27 x z z y x x z y y − + = − + = − + = . Bài 4 (1.5 ñiểm) Cho dãy số vô hạn phần tử {an}. Chứng minh rằng nếu 2 12 ,n n na a a n+ ++ ≥ ∀ ∈N*, thì 1 3 2 1 2 4 2 ... ... , 1 n na a a a a a n n n ++ + + + + +≥ ∀ ∈ + N*. Bài 5 (3 ñiểm) 1) Chứng minh rằng nếu mỗi cạnh của một tam giác nào ñó ñều nhỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác ñó nhỏ hơn 4 3 . 2) Trong tứ diện chỉ có một cạnh có ñộ dài lớn hơn 1, chứng minh rằng thể tích tứ diện ấy không vượt quá 1 8 . Hãy chỉ ra một tứ diện như thế. Nguyễn Văn Xá ðề 04 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002) Ngày thi 26 -11-2001 (buổi 2) Bài 1 (2 ñiểm) Giải hệ phương trình =++ +=+=+ 1 )1(5)1(4)1(3 zxyzxy z z y y x x . Bài 2 (2 ñiểm) Cho ∆ABC không có góc tù. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = CBA CBA coscoscos sinsinsin ++ ++ . Bài 3 (2 ñiểm) Cho hàm số f : N → N và ñồng thời thỏa mãn hai hệ thức (1) f(f(n)) = 4n + 9 với mọi n ∈ N; (2) f(2n) = 3 + 2n + 1 với mọi n ∈ N*. Tính f(1789). Bài 4 (2 ñiểm) Chứng minh rằng mọi mặt phẳng ñi qua ñường thẳng nối hai trung ñiểm của hai cạnh ñối của một tứ diện chia tứ diện ñó thành hai phần có thể tích bằng nhau. Bài 5 (2 ñiểm) Cho n hình vuông bất kì (n ∈N*). Chứng minh rằng có thể cắt n hình vuông ñó thành những ña giác mà với những ña giác này có thể ghép lại ñược một hình vuông mới. Nguyễn Văn Xá ðề 05 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2002 – 2003) Ngày thi 16 -10 -2002 (buổi 1) Bài 1 (2 ñiểm) Chứng minh rằng 3 35 2 7 5 2 7 2+ − − = . Bài 2 (2 ñiểm) Cho dãy {an} gồm vô hạn số tự nhiên thỏa mãn 1 1 1 1 2 n n n n n a a a a a − + − + = + , n∈N*, n > 1. Chứng minh rằng 1 2 ... na a a= = = . Bài 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC. Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 1( ) sin sin sin2sin sin sin 4sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B CA B C ≤ + + ≤ . Bài 4 (2 ñiểm) Tồn tại hay không hàm số f : R→R thỏa mãn (f(x) – f(y))2 ≤ |x – y|3, ∀x, y ∈ ℝ, và f không phải là hằng số? Bài 5 (2 ñiểm) Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC’), (BCA’), (CAB’) cắt nhau tại một ñiểm. Nguyễn Văn Xá ðề 06 ðỀ THI HSG BẮC NINH (2003) Bài 1 (2 ñiểm) Tìm các giới hạn sau: 1) 2 tanxlim (s inx) x pi → ; 2) 1 1lim (sin os ) xx xc x→ ∞ + . Bài 2 (2.5 ñiểm) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1. 1. Gọi 1 2 3, ,x x x là hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục hoành. Tính giá trị của biểu thức 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 2 34A x x x x x x x x x= + + + . 2. Xét số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0. Bài 3 (1.5 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 ( )( 2) 2 yx y x xy x y − = − + + = . 2. Tìm số k lớn nhất ñể với mọi ∆ABC ta luôn có sin2A + sin2B > ksin2C. Bài 4 (2.75 ñiểm) Cho hình chóp SABC, SA ⊥ SB, chân ñường cao hạ từ S ñến mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm ∆ABC. 1. Gọi , ,α β γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với ñáy (ABC). Tính giá trị của biểu thức os2 +cos2 +cos2T c α β γ= . 2. Gọi m là cạnh lớn nhất trong các cạnh bên và r là bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp SABC, tính tỉ số m r . Bài 5 (1.25 ñiểm) Cho hàm số f(tanx) = sin2x, với mọi |x| < 2 pi . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = f(sin32x).f(cos32x). Nguyễn Văn Xá ðề 07 ðỀ THI HSG BẮC NINH (2004 - 2005) Ngày thi 12 – 04 - 2005 Câu 1 (2 ñiểm) Tìm giới hạn: 1) A = a 1 sinxlim ( ) sinax x a → − ; 2) B = 0 os( osx) 2lim sin(tanx)x c c pi → . Câu 2 (2 ñiểm) 1. Tính ñạo hàm của hàm số f(x) = xx ( x > 0), từ ñó tìm nguyên hàm của hàm số ϕ (x) = xx(1 + lnx). 2. Tính tích phân J = 0 n -1sin x.cos(n+1)x.dx pi ∫ , trong ñó n là số nguyên dương không nhỏ hơn 2. Câu 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b x c x a c y a y b a z b z c − + − = − + − = − + − = . Câu 4 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c, bán kính ñường tròn ngoại tiếp và nội tiếp là R, r, chu vi là 2p. 1. Chứng minh rằng ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr. 2. Tính tổng 1 1 1 a b c + + qua p, R, r. 3. Chứng minh rằng p2 + r2 ≥ 14Rr. Câu 4 (2 ñiểm) Cho elip (E) 2 2( 19) ( 98) 1998 19 98 x y− − + = . Gọi R1, R2, R3, R4 lần lượt là diện tích các phần của (E) nằm trong góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư tương ứng trên ñồ thị. Hãy xác ñịnh giá trị T = R1 - R2 + R3 - R4. Nguyễn Văn Xá ðề 08 THI HSG 11 BẮC NINH (2004 – 2005) Bài 1 (2,5 ñiểm) Tính giá trị của: cos50 - cos310 - cos410 + cos670 + cos770. Bài 2 (2,0 ñiểm) Cho dãy số {an} thỏa a1 = 1, an+1 = n n a a 1 2 + với n =1, 2, 3, Chứng minh biểu thức 2 2 2 −na là số nguyên, với mọi giá trị nguyên n > 1. Bài 3 (2,5 ñiểm) Cho tứ diện ABCD, ñường vuông góc chung của AC và BD ñi qua trung ñiểm BD và S ABD = S BCD = 2 1 S ABC. Giả sử tồn tại ñiểm O trong tứ diện sao cho tổng khoảng cách từ O ñến B và D bằng tổng khoảng cách từ O ñến bốn mặt tứ diện. Chứng minh: 1) ðường vuông góc chung của AC và BD ñi qua trung ñiểm AC. 2) AC ⊥ BD. Bài 4 (2,0 ñiểm) Gọi r, R là bán kính ñường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, và r1 là bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác có các ñỉnh là tiếp ñiểm của ñường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng r ≤ 1Rr . Bài 5 (1, 0 ñiểm) Giải phương trình x3 - 3x = 2+x . Nguyễn Văn Xá ðề 09 ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (11 – 03 – 2004) Bài 1 Giải hệ phương trình 3 2 3 2 3 2 ( ) 2 ( ) 30 ( ) 16 x x y z y y z x z z x y + − = + − = + − = . Bài 2 Trong mặt phẳng, cho ∆ABC, gọi D là giao ñiểm của cạnh AB và ñường phân giác trong của ∠ACB. Xét một ñường tròn (O) ñi qua hai ñiểm C, D và không tiếp xúc với các ñường thẳng BC, CA. ðường tròn này cắt lại các ñường thẳng BC, CA tại M, N tương ứng. 1/ Chứng minh rằng có một ñường tròn (S) tiếp xúc với ñường thẳng DM tại M và tiếp xúc với DN tại N. 2/ ðường tròn (S) cắt lại các ñường thẳng BC, CA lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng các ñoạn thẳng MP, NQ có ñộ dài không ñổi, khi ñường tròn (O) thay ñổi. Bài 3 Cho tập A gồm 16 số nguyên dương ñầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: trong mỗi tập con có k phần tử của A ñều tồn tại hai số phân biệt a, b sao cho a2 + b2 là một số nguyên tố. ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (12 – 03 – 2004) Bài 4 Xét dãy số thực (xn), n = 1, 2, 3, , xác ñịnh bởi x1 = 1, 2 n n + 1 n (2 + cos2 )x os x (2 2cos2 )x 2 cos2 cα α α α + = − + − , với mọi n =1, 2, 3, , trong ñó α là một tham số thực. Hãy xác ñịnh tất cả các giá trị của α ñể dãy (yn) với n n k=1 k 1y , n = 1, 2, 3, ... 2x 1 = + ∑ , có giới hạn hữu hạn khi n → + ∞ . Tìm giới hạn của dãy (yn) trong các trường hợp ñó. Bài 5 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện (x + y + z)3 = 32xyz. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4 4 4 4 x y (x y ) z z + + + + . Bài 6 Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng tất cả các chữ số trong biểu diễn thập phân của n. Xét các số nguyên dương m là bội của 2003. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(m). Nguyễn Văn Xá ðề 10 ðỀ THI HSG BẮC NINH (2005 - 2006) Ngày thi 05 – 04 – 2006 Bài 1 Tìm giới hạn 1) s inxlim x+sinxx x →∞ − ; 2) 2 9 0 ( 2005) 1 5 2005lim x x x x→ + − − . Bài 2 1) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1. Tính số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0. 2) Tìm m ñể phương trình |x|3 – 3|x| – 2 = m(x – 2) có 4 nghiệm thực phân biệt. Bài 3 Cho hình chóp SABC có ñáy ABCD là tứ giác nội tiếp ñường tròn ñường kính AC, SA = 2BD, 60oBAD = , SA ⊥ (ABCD). Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với SB, SD tại H, K. Hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABCD). Bài 4 Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng x2 + y 2 + z2 + 4xyz ≥ 13 27 . Dấu ñẳng thức xảy ra khi nào? Bài 5 Cho hàm số f xác ñịnh bởi f(x) = f(x + 3).f(x – 3), ∀ x ∈ ℝ. Chứng minh f là hàm tuần hoàn. Nguyễn Văn Xá ðề 11 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2005 – 2006) Ngày thi 20 -10 -2005 Câu 1 (4 ñiểm) Giải hệ phương trình 4 2 2 2 2 0 1 0 x y xy y x y x − + + = + − − = . Câu 2 (4 ñiểm) Cho ∆ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của T = 2 2 2tan 3(tan tan ) 2 2 2 A B C + + . Câu 3 (4 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm trên ℝ, thỏa mãn f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, ∀ x, y ∈ ℝ. Câu 4 (4 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau ở Q, tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau ở P. Chứng minh rằng P ∈ AC ⇔ Q ∈ BD. Câu 5 (4 ñiểm) Chứng minh rằng hai số 2005n và (2005n + 5n) có số chữ số bằng nhau với mọi n nguyên dương. Nguyễn Văn Xá ðề 12 CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 2005 Bài 1 Tìm tất cả các hàm số :f ℕ*→ℕ* thỏa mãn với mọi cặp số nguyên dương (x, y) ñều tồn tại số nguyên dương z sao cho 2 2( ( )) ( ). ( ) ( ( ))( ). ( ) ( ) 3 f x f x f y f yf x f y f z + +≤ ≤ . Bài 2 Cho dãy số dương không tăng {an} có tính chất: tổng của một số hữu hạn bất kì các số hạng của dãy ñều nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng lim ( ) 0.nn na→+∞ = Bài 3 Trong mặt phẳng cho ba ñiểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng, B nằm giữa A, C nhưng không trùng với ñiểm của AC. Vẽ hai ñường tròn 1(ω )và 2(ω ) thay ñổi tương ứng ñi qua các cặp ñiểm A, B và B, C. Hai ñường tròn này cắt nhau tại ñiểm thứ hai D khác B. Gọi E là trung ñiểm của cung DA ⌢ không chứa ñiểm B của 1(ω ) và F là trung ñiểm của cung DC ⌢ không chứa B của 2(ω ) . Chứng minh trung ñiểm của ñoạn thẳng EF luôn nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh. Bài 4 Có 2005 cái hộp xếp quanh một sân vận ñộng. Giả sử ta có trong tay một số lượng ñủ lớn các quả bóng. Thực hiện một trò chơi như sau: Lần thứ nhất bỏ vào một số hộp nào ñó một số quả bóng một cách tùy ý, lần thứ hai trở ñi mỗi lần cho phép ta chọn 6 cái hộp nằm liên tiếp và bỏ thêm vào mỗi hộp 1 quả bóng. Hỏi có thể làm cho 2005 hộp ñó có số lượng bóng bằng nhau ñược không? Bài toán sẽ thay ñổi thế nào nếu xung quanh sân vận ñộng không phải 2005 mà là 2006 cái hộp? Giải thích. Nguyễn Văn Xá ðề 13 ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) Bài 1: (4ñ) Giải phương trình : 1( 3) 2 1x x−− = . Bài 2: (4ñ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 yx + nếu : 3 2 6 7 3 4 x y x y + ≤ − ≤ . Bài 3: (4ñ) Cho dãy n21 x,.....,x,x , với =+= = + ,....)2,1n(,xxx 2 1 x n 2 n1n 1 . Hãy tìm phần nguyên của A biết 1x 1 .... 1x 1 1x 1A 10021 + ++ + + + = . Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a n ) với : −− = = + 2 a11 a 2 1 a 2 n 1n 1 . Chứng minh tổng tất cả các số hạng của dãy nhỏ hơn 1,03. Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M các ñường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) và (ABC) tại 111 C,B,A . Tìm vị trí của M ñể thể tích hình tứ diện 111 CBMA lớn nhất. Nguyễn Văn Xá ðề 14 KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2006 - 2007 Câu 1: (4 ñiểm) Giải hệ phương trình: 3 2 cos cos 3 2 cos cos 3 2 cos cos x y z y z x z x y + = + + = + + = + . Câu 2: (4 ñiểm) Cho dãy số { }nx thoả mãn: 03 1 1 3 3 2n n n x x x x+ + = − = + . Tìm lim n n x →+∞ . Câu 3: (4 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên *+R và thoả mãn: 2 2 2 (1) 5 4( ) ( ) 4 , 0 . f f x x f x x x x = − = − ∀ > Câu 4: (4 ñiểm) Trên mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a và ñiểm M thay ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi tổng sau: 1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2. 2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 ñiểm) Cho tập hợp A = {0,1,2,,2006}. Một tập con T của A ñược gọi là tập con “ngoan ngoãn” nếu với bất kì x, y ∈ T (có thể x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A. 2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005. Nguyễn Văn Xá ðề 15 UBND tØnh B¾c Ninh Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ========== K× thi chän häc sinh giái cÊp tØnh N¨m häc 2007 – 2008 M«n thi: To¸n THPT Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) Ngµy thi: 2 th¸ng 4 n¨m 2008 ============== C©u1(5 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè : f(x) = 2a x 2a x + − chøa tËp gi¸ trÞcña hµm sè g(x) = 2 1 x 2x 4a 2+ + − . C©u2(3®iÓm) Gi¶i hÖ : x4 – x3y+ x2y2 = 1 x3y – x2 + xy = -1 C©u 3(5 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè : f ( x,y,z ) = yz x 1 xz y 2 xy z 3 xyz − + − + − ; Trªn miÒn D ={ }(x, y, z) : x 1; y 2;z 3≥ ≥ ≥ C©u4(3 ®iÓm) Gäi V vµ S lÇn l−ît lµ thÓ tÝch vµ diÖn tÝch toµn phÇn cña mét tø diÖn ABCD . Chøng minh r»ng : 3 2 S V > 288 C©u 5(2 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh : x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy C©u 6(2 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f(x) kh¶ vi trªn kho¶ng ( -1; 1) sao cho f(x) + f(y) = f x y 1 xy + + . =========HÕt========== §Ò nµy cã 01 trang Chó ý : häc sinhBæ tócTHPT kh«ng ph¶i lµm c©u 5 , 6 Hä vµ tªn thÝ sinh: ................................. Sè b¸o danh: ............................. §Ò chÝnh thøc Nguyễn Văn Xá ðề 16 CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG 12 TOÀN QUỐC (2007 – 2008) Bài 1 Tìm m ñể 2 3 4 3 , x x x mx x+ + ≥ + ∀ ∈R. Bài 2 Trên mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) x2 + y2 -2x – 4y – 20 = 0 và hai ñiểm A( 29 4 ;2), B(- 9 ; - 6). Tìm ñiểm M∈(C) sao cho 4MA + 5MB ñạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3 Giải phương trình nghiệm nguyên 2 224( ) 10( ) 5 2 1040 2 3 2x y x y y x+ + + + + = + + . Bài 4 Cho △ABC có góc ˆA tù. Dựng △ABD vuông cân tại D và △ACE vuông cân tại E sao cho C, D khác phía so với AB còn B, E cùng phía so với AC. Gọi I, K lần lượt là các tâm ñường tròn nội tiếp △ABD và △ACE. Tính tỉ số IK BC và góc giữa hai ñường IK, BC. Bài 5 Tìm giới hạn của dãy ( )nx cho bởi 1 2 1 1 2 , *. 2 1 n n n x x x n N x + ≠ = ∀ ∈ − Bài 6 Xác ñịnh hàm số f(x) liên tục trên R + và thỏa mãn f(x24) + f(x10) = 2007(x24 + x10), ∀x∈R. Bài 7 Trên bàn có 2007 viên bi gồm 667 bi xanh, 669 bi ñỏ, 671 bi vàng. Cứ mỗi lần lấy ñi 2 viên bi khác màu, người ta lại thêm vào 2 viên bi có màu còn lại. Hỏi có thể ñến một lúc nào ñó trên bàn chỉ còn các bi cùng màu hay không ? Nguyễn Văn Xá ðề 17 UBND tØnh B¾c Ninh Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ========== ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tØnh N¨m häc 2008 – 2009 M«n thi: To¸n THPT Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò) Ngµy thi: 7 th¸ng 4 n¨m 2009 ============== Bµi 1 (6 ®iÓm) 1/ So s¸nh hai sè: 20092010 vµ 20102009 2/TÝnh giíi h¹n sau: 20 33 1 1lim 3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1)x x x x x x→ − + + + + + + Bµi 2 (4 ®iÓm) 1/ Cho ba sè thùc kh«ng ©m x, y, z tho¶ m·n: x2009 + y2009 + z2009 = 3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: F= 2 2 2x y z+ + 2/ Cho sè nguyªn d−¬ng n. Chøng minh r»ng: 1 2 1 2009 2010 2009+n 1 1 1 1 + +...+ < C C C 2007n+ Bµi 3 (4 ®iÓm) H×nh chãp S.ABC cã tæng c¸c mÆt (gãc ë ®Ønh) cña tam diÖn ®Ønh S b»ng 180 vµ c¸c c¹nh bªn SA=SB=SC=1. Chøng minh r»ng diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp nµy kh«ng lín h¬n 3 . Bµi 4 (4 ®iÓm) 1/ Gäi m, n, p lµ 3 nghiÖm thùc cña ph−¬ng tr×nh: 3 2ax +bx +cx-a=0 )0( ≠a Chøng minh r»ng: 222 3221 pnm pnm ++≤+−+ . DÊu ''"= x¶y ra khi nµo? 2/ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ( ) 14 ( ) 21 ( ) 7 x y x y z xyz y z y z x xyz z x z x y xyz + + + = + + + + = − + + + = + Bµi 5(2 ®iÓm) 1/ Chøng minh r»ng bèn h×nh trßn cã c¸c ®−êng kÝnh lµ bèn c¹nh cña mét tø gi¸c låi th× phñ kÝn miÒn tø gi¸c ®ã. 2/ Cho 3 5 2n+10 1 2 ny=a x+a x +a x +...+a x +... víi ( 1;1)x ∈ − tháa m·n: 2(1- ) - 1x y xy′ = víi ( 1;1)x∀ ∈ − . T×m c¸c hÖ sè: 0 1 2 na ,a ,a ,...,a . -----HÕt----- (§Ò gåm 01 trang) §Ò chÝnh thøc Nguyễn Văn Xá ðề 18 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH 2008 – 2009 Bài 1: (8 ñiểm) a. Giải phương trình 4 4 4 6x x x x+ − + + − = . b. Tìm các giá trị của a ñể hệ sau có ñúng 2 nghiệm 2 2 2 2(1 ) ( ) 4 x y a x y + = + + = . Bài 2: (6 ñiểm) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1). a. Viết phương trình ñường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC. b. Giả sử M là ñiểm chuyển ñộng trên (T). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một ñường tròn cố ñịnh. Viết phương trình ñường tròn ñó. Bài 3: (2 ñiểm) Cho tam giác ABC. Gọi ma, mb, mc lần lượt là ñộ dài các ñường trung tuyến thuộc các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và có mc = 3 2 c . Chứng minh rằng: ma + mb + mc = 3 ( ) 2 a b c+ + . Bài 4: (4 ñiểm) Cho hai số thực x, y dương thoả mãn ñiều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 4P xy x y xy = + + + . Nguyễn Văn Xá ðề 19 THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 BẮC NINH 2008 Bài 1 Tính gần ñúng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) = 5x – 3 + 210 8x x− − . Bài 2 Tính gần ñúng (ñến ñộ, phút, giây) nghiệm của phương trình 3cos2x + 4cos3x = 1. Bài 3 Với mỗi n∈N* ñặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 và an = (1). (3)...(2 1)(2). (4)... (2 ) f f n f f f n − . Tính gần ñúng 2009a2008. Bài 4 Dự ñoán lim( sin 1)nn n + . Bài 5 Giải gần ñúng phương trình 2 3 0 2 x xe sinx− + − = . Bài 6 Một ñất nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa các cặp sân bay bất kì ñều khác nhau và không có ba sân bay nào thẳng hàng. Cùng một thời ñiểm từ mỗi sân bay có một chiếc máy bay cất cánh và bay ñến sân bay nào gần nhất. Trên bất kì sân bay nào cũng không thể có quá n máy bay bay ñến. Tìm n. Bài 7 Hình chóp tứ giác ñều có tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm mặt cầu nội tiếp. Tính gần ñúng góc giữa mặt bên và mặt ñáy. Bài 8 Giải gần ñúng hệ phương trình ( ) 6 ( ) 30 ( ) 12 xy x y yz y z zx z x + = + = + = . Bài 9 Trên bảng có 2008 số 1 2 2008, ,..., 2008 2008 2008 . Mỗi lần xóa ñi hai số a và b ở bảng ñó người ta viết vào bảng số (a + b – 2ab). Hỏi sau 2007 lần xóa như vậy số còn lại trên bảng là số nào ? Bài 10 Cho hai ñường tròn (O1 ; R1), (O2 ; R2) cắt nhau. Biết rằng O2 nằm trên (O1 ; R1) và diện tích phần chung của hai hình tròn này bằng nửa diện tích của hình tròn (O1 ; R1). Tính gần ñúng tỉ số 1 2 R R . Nguyễn Văn Xá ðề 20 THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA 2008 Câu 1 Hãy xác ñịnh số nghiệm của hệ phương trình 2 3 3 2 29 log .log 1 x y x y + = = . Câu 2 Cho △ABC có BEC∠ là góc nhọn, với E là trung ñiểm của AB. Trên tia EC lấy ñiểm M sao cho BME ECA∠ = ∠ . Kí hiệu BECα = ∠ . Tính tỉ số MC AB theo α . Câu 3 ðặt m = 20082007 . Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n < m và n(2n + 1)(5n + 2) chia hết cho m? Câu 4 Cho dãy số thực ( )nx xác ñịnh bởi 1 2 2 10; 2; 2 , 2n n x x x x n+ − = = = + ∀ ∈ℕ*. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu khi n → + ∞ . Tìm giới hạn ñó. Câu 5 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối ña 2008 chữ số và trong ñó có ít nhất 2 chữ số 9 ? Câu 6 Cho ba số thực không âm x, y, z ñôi một khác nhau. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1( )( 4.( ) ( ) ( )xy yz zx x y y z z x+ + + + ≥− − − Dấu bằng xảy ra khi nào ? Câu 7 Cho △ABC, trung tuyến AD. Cho ñường thẳng d vuông góc với AD. Xét ñiểm M ∈ d. Gọi E, F lần lượt là trung ñiểm của MB, MC. ðường thẳng ñi qua E và vuông góc với d, cắt AB ở P. ðường thẳng ñi qua F, vuông góc với d, cắt AC tại Q. Chứng minh ñường thẳng ñi qua M vuông góc với PQ luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi M di ñộng trên d. Nguyễn Văn Xá ðề 21 UBND TØNH B¾C NINH Së gi¸o dôc Vµ §µo t¹o ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tØnh N¨m häc: 2009-2010 m«n thi: to¸n - líp 12 - thpt Thêi gian lµm bµi: 180 phót ( kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Ngµy thi 14 th¸ng 4 n¨m 2010 C©u 1 (3,0 ®iÓm) 1/ Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x sin 2x sin 3x 3 cos x cos 2x cos3x − + = − + 2/ Cho bÊt ph−¬ng tr×nh: 2 5 5 5log (5 x ) log x log (25x )4 6 m.3− ≤ (víi m lµ tham sè). a) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho, khi m = 2. b) X¸c ®Þnh m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x > 1. C©u 2 (4,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = 2 2 x 3x 1 x 1 − + + 1/ Chøng minh r»ng hµm sè ®· cho cã duy nhÊt ®iÓm cùc trÞ, ®ã lµ ®iÓm cùc tiÓu. 2/ §å thÞ hµm sè ®· cho c¾t trôc hoµnh Ox t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. TÝnh cosin cña gãc t¹o bëi c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ t¹i B cña ®å thÞ hµm sè ®· cho (víi kÕt qu¶ ®−îc rót gän). C©u 3 (3,0 ®iÓm) 1/ T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d−¬ng n tho¶ m·n: n 0 1 n n n n 1 1 ( 1) 1C C ... C . 2 3 n 2 42 − − + + = + 2/ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 1 2 2 3 3 4 4 1 6 3 cos(2 ) 6 3 cos(2 ) 6 3 cos(2 ) 6 3 cos(2 ) x x x x x x x x pi pi pi pi = = = = C©u 4 (6,5 ®iÓm) Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng, víi AB = 1 vµ AA’ = a. 1/ TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn BDB’C’. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng DC’ vµ AC. 2/ Khi a thay ®æi, h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng B’D vµ mÆt ph¼ng (BDC’). C©u 5 (3,5 ®iÓm) 1/ Chøng minh r»ng víi mäi Rx ∈ ta ®Òu cã: 3 ≤ 2 2 sin x cos x 22 2 2 + + ≤ 2/ T×m ( )2 2lim cos cos sin sin nn n x α α α α →+∞ + víi (0; ) 2 pi α ∈ . -------------------HÕt -------------------- (§Ò thi gåm 01 trang) Hä vµ tªn thÝ sinh:..............................................Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1:.................... Sè b¸o danh :......................................................Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: ................... §Ò chÝnh thøc Nguyễn Văn Xá ðề 22 ðỀ CHÍNH THỨC Câu 1:(5 ñiểm) 1/ Cho hàm số 3y x 3x 2= − + có ñồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các ñiểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các ñiểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng. 2/ Cho hàm số 2n 1y x 2011x 2012 (1)+= + + , chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ñồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại ñúng một ñiểm. Câu 2:(5 ñiểm) 1/ Giải phương trình: ( )2 4 6 3 5 7log x log x log x log x log x log x x+ + = + + ∈ℝ . 2/ Giải phương trình: ( ) ( )2 21 15x 6 x x 5x 7 x 1 − − = − ∈ − − ℝ . Câu 3:(3 ñiểm) Kí hiệu knC là tổ hợp chập k của n phần tử ( )0 k n; k,n≤ ≤ ∈ℤ , tính tổng sau: 0 1 2 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010S C 2C 3C ... 2010C 2011C= + + + + + . Câu 4:(5 ñiểm) 1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có ñáy ABCD là hình bình hành, ( )AD 4a a 0= > , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất. 2/ Cho tứ diện ABCD có 0 0BAC 60 ,CAD 120= = . Gọi E là chân ñường phân giác trong góc A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông. Câu 5:(2 ñiểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 2 2x y+ ≤ pi . Chứng minh rằng: ( )cos x cos y 1 cos xy+ ≤ + . HẾT (ðề thi gồm có 01 trang) UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao ñề) Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011 ================ Nguyễn Văn Xá ðề 23 Nguyễn Văn Xá ðề 24 Nguyễn Văn Xá ðề 25 Câu 1. (5,0 ñiểm) Cho hàm số ( )3 2 1 1y x x= + + . 1. Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( )1 biết tiếp tuyến này vuông góc với ñường thẳng d có phương trình 5 1 0x y+ − = . 2. Tìm m ñể ñường thẳng ∆ có phương trình ( )1 1y m x= + + cắt ñồ thị hàm số ( )1 tại ba ñiểm phân biệt ( )0;1 , ,A B C , biết hai ñiểm ,B C có hoành ñộ lần lượt là 1 2;x x thỏa mãn: ( ) ( )3 31 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 x m x x m x x x − + − + + = − + + . Câu 2. (5,0 ñiểm) 1. Giải phương trình: ( ) ( )22 sin cos 1 2sin 2 1 tan sin 3 sin 5 x x x x x x − + = − + . 2. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 log log 2 .2 , . 2log 6log 1 log 3 3 0 x xx x y x y x y x x y + = + ∈ − + − + + = ℝ Câu 3. (2,0 ñiểm) Tính tổng: 2 3 2014 0 1 2 2 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2 1 2 1 2 1 .2. .2 . ... .2 . 2 3 2014 S C C C C − − − = + + + + . Câu 4. (4,0 ñiểm) 1.Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ba ñiểm ( )1;1A , ( )3;2B , ( )7;10C . Lập phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C ñến ñường thẳng ∆ lớn nhất. 2. Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho hai mặt cầu ( ) ( )22 21 : 1 4S x y z+ + − = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 : 3 1 1 25S x y z− + − + + = . Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một ñường tròn. Tính bán kính ñường tròn ñó. Câu 5. (3,0 ñiểm) Cho hình chóp tam giác ñều .S ABC có cạnh ñáy bằng 1. Gọi ,M N là hai ñiểm thay ñổi lần lượt thuộc các cạnh ,AB CD sao cho mặt phẳng ( )SMN luôn vuông góc với mặt phẳng ( )ABC . ðặt ,AM x AN y= = . Chứng minh rằng 3x y xy+ = , từ ñó tìm ,x y ñể tam giác SMN có diện tích bé nhất, lớn nhất. Câu 6. (1,0 ñiểm) Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 3 3 3a b c a b c+ + = + + . Chứng minh rằng 1 1 1 1 8 1 8 1 8 1a b c + + ≥ + + + . ------------------------Hết------------------------ (ðề thi gồm có 01 trang) UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013 ================ ðỀ CHÍNH THỨC Nguyễn Văn Xá ðề 26 SỞ GIÁO DUC̣ VÀ ĐÀO TAỌ KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HOC̣ 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18 - 10 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút. Bài 1. (4 điểm) Giải hệ phương trình 3 2 3 1 4 12 9 6 7 xy x y x x x y y Bài 2. (4 điểm) Cho dãy số ( )nu xác định bởi 1 * 1 1 2 3 4 , 2 1 n n n u u u n N u Chứng minh dãy số ( )nu có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 3. (4 điểm) Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 1 x y z . Chứng minh: x yz y zx z xy xyz x y z Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao ,AH BK nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao cho các đường thẳng AM và BK cắt nhau tại E ; các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F . Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) thì trung điểm của đoạn EF luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 5. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức ( )P x hệ số thực thỏa mãn : 2( ). ( 3) ( ), P x P x P x x HẾT Nguyễn Văn Xá ðề 27 Nguyễn Văn Xá ðề 28 Thi HSG QG Việt Nam (ngày 11 và 12 tháng 1 năm 2013) 1) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 20y sin x cos y x ysin x cos y . 1 1 20x sin y cos x x ysin y cos x + +
Tài liệu đính kèm: