Đề tuyển sinh lớp 10 thpt môn: Toán thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 Tên : Trương Quang An 
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi 
 Điện thoại : 01208127776 
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÀO CAI 
Môn: Toán Chuyên Ngày: 9/6/2016 
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. [2 điểm] Cho biểu thức
1 2 2 5
42 2
x x x
A
xx x
 
  
 
 với 0≤ x ≠ 4. 
a) Rút gọn P; 
b)Tính giá trị của P với 4 2 3x   ; 
c) Tìm x để P
5
2
P  <5/2; 
d) Tìm x để P nhận giá trị nguyên. 
Câu 2. [2 điểm] 
a) Cho phương trình 2 4 0x x m   (1). 
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 sao cho
4 4
1 2
1
x x
đạt giá trị lớn nhất. 
b) Cho đường thẳng (d):y=3x+6 và đường thẳng (d′): 2( 2 ) 2y m m x m   
Tìm m để đường thẳng (d) song song với (d′). 
Câu 3 [2 điểm] 
a) Cho hệ phương trình: 
(2 1) 2 3 1
2 5
m x my m
x y m
   

  
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x,y sao cho 3 3 64x y  
b) Quãng đường AB dài 150km. Một ô tô đi từ A đến B rồi dừng lại nghỉ 15 phút 
và đi tiếp 50 km nữa để đến C với vận tốc lớn hơn khi đi từ A đến B là 15 km/h. 
Tính vận tốc của ô tô khi đi trên quãng đường AB. Biết tổng thời gian kể từ khi ô 
tô xuất phát từ A đến khi tới C là 3 giờ 25 phút. 
Câu 4. [1 điểm] 
 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: 
1 1 1
2
1 1 1a b c
  
  
.Chứng 
minh
2 2 2
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1a b c
  
  
Câu 5. [3 điểm] 
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là chân đường 
cao kẻ từ A đến BC. Gọi P, Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến AB, AC. Hai 
đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng MA cắt đường 
tròn (O) tại K với K≢A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP. 
1. Chứng minh các tứ giác APHQ, BPQC nội tiếp; 
2. Chứng minh MP.MQ=MB.MC và MB.MC=MK.MA; 
3. Chứng minh AKPQ là tứ giác nội tiếp; 
4. Chứng minh I,H,K thẳng hàng. 
Bài giải 
Câu 1. [2 điểm] Cho biểu thức
1 2 2 5
42 2
x x x
P
xx x
 
  
 
 với 0 ≤ x ≠ 4. 
a) Rút gọn P; 
b)Tính giá trị của P với 4 2 3x   ; 
c) Tìm x để 
5
2
P  ; 
d) Tìm x để P nhận giá trị nguyên. 
Bài giải 
a) Với điều kiện 0 ≤ x ≠ 4 ta có : 
1 2 2 5 3 2 2 2 4 5 3
4 42 2 2
x x x x x x x x x
P
x xx x x
       
    
   
b) Khi  
2
4 2 3 3 1x     nên 
 
2
3 3 13( 3 1)
6 3 3
3 13 1 2
P

   
 
c) 
5 3 5
6 5 10
2 22
x
P x x
x
     

 (do 2 0x   ) 
10 0 100x x     
Vậy 0 100x  và 4x  . 
d) 
3 6
3
2 2
x
P
x x
  
 
Để P nguyên thì 
6
2x 
 là số nguyên ,khi đó  2 2;3;6t x   tương ứng 
 0;1;16x . 
Vậy  0;1;16x thỏa mãn đề bài . 
Câu 2. [2 điểm] 
a) Cho phương trình 2 4 0x x m   (1). 
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm 1 2;x x sao cho
4 4
1 2
1
x x
đạt giá trị lớn nhất. 
b) Cho đường thẳng (d):y=3x+6 và đường thẳng (d′): 2( 2 ) 2y m m x m   
Tìm m để đường thẳng (d) song song với (d′). 
Bài giải 
a) Để phương trình có hai nghiệm 1 2;x x thì ' 0 4 0 4m m       . 
Theo định lí vi-ét ta có 1 2
1 2
4x x
x x m
  

 
. 
Ta có 
4 4 2
1 2
1 1
2( 4) 48( 4) 32x x m m

    
. 
Ta có 22( 4) 48( 4) 32 32m m     với mọi 4m   . 
Lúc đó 
4 4 2
1 2
1 1 1
4 22( 4) 48( 4) 32x x m m
 
    
. 
Vậy giá trị lớn nhất của 
4 4
1 2
1
x x
 bằng 
1
4 2
 khi m=-4 . 
b) Để đường thẳng (d) song song với (d′) 
2
1
2 3
13
2 6
3
m
m m
mm
m
m
  
        
  
Câu 3 [2 điểm] 
a) Cho hệ phương trình: 
(2 1) 2 3 1(1)
2 5(2)
m x my m
x y m
   

  
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x,y sao cho 3 3 64x y  
b) Quãng đường AB dài 150km. Một ô tô đi từ A đến B rồi dừng lại nghỉ 15 
phút và đi tiếp 50 km nữa để đến C với vận tốc lớn hơn khi đi từ A đến B là 15 
km/h. Tính vận tốc của ô tô khi đi trên quãng đường AB. Biết tổng thời gian kể 
từ khi ô tô xuất phát từ A đến khi tới C là 3 giờ 25 phút. 
 Bài giải 
Từ phương trình (2) ta có y=2x-m-5 thay vào phương trình (1) ta được : 
2( 1) 2 1(*)m x m m    
Để hệ có nghiệm duy nhất khi (*) có nghiệm duy nhất nên 1 0 1m m     . 
Khi đó (*) suy ra x=m+1 nên y=m-3 . 
Theo đề ta có 3 3 3 3 2
1
64 ( 1) ( 3) 64 2 3 0
3
m
x y m m m m
m
 
             
Theo điều kiện đề bài ta có m=3 là giá trị thỏa mãn đề bài . 
b. Gọi x(km/h) là vận tốc ô tô trên quãng đường AB ( x > 0). 
Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 
150
x
 (h). 
Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 
150
15x 
 (h). 
Theo đề bài ta có phương trình : 
2
60
150 150 1 41
19 915 13500 0 225
15 4 12
19
x
x x
x x x

       
  

Đối chiếu với điều kiện ta có x=60 là phù hợp . 
Vậy vận tốc ô tô trên quãng đường AB là 60 ( km/h ). 
Câu 4. [1 điểm] 
 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: 
1 1 1
2
1 1 1a b c
  
  
.Chứng 
minh
2 2 2
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1a b c
  
  
 Bài làm 
Ta có 
1 1 1
2 1
1 1 1 1 1 1
a b c
a b c a b c
      
     
Mà 
2 2 2
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1a b c
   
  
2 2 2
2 2 2
8 8 8
2
8 1 8 1 8 1
a b c
a b c
  
  
2 2 2
2 2 2
4 4 4
1
8 1 8 1 8 1
a b c
a b c
   
  
 . 
Bây giờ ta sẽ chứng minh : 
2
3 2 3 3 2 2 2
2
4
4 4 8 0 4 4 0 4 4 1
8 1 1
a a
a a a a a a a a a
a a
            
 
 20 (2 1)a   nên 
2
2
4
8 1 1
a a
a a

 
 (1) 
Tương tự ta có 
2
2
4
8 1 1
b b
b b

 
 (2) và 
2
2
4
8 1 1
c c
c c

 
 (3) 
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1) ,(2) và (3) ta có 
2 2 2
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1a b c
  
  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1
2
a b c   
Câu 5. [3 điểm] 
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là chân đường 
cao kẻ từ A đến BC. Gọi P, Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến AB, AC. Hai 
đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng MA cắt đường 
tròn (O) tại K với K≢A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP. 
a.Chứng minh các tứ giác APHQ, BPQC nội tiếp; 
 b.Chứng minh MP.MQ=MB.MC và MB.MC=MK.MA; 
 c.Chứng minh AKPQ là tứ giác nội tiếp; 
d.Chứng minh I,H,K thẳng hàng. 
 A 
K 
J 
O 
Q 
P 
M B 
H 
C 
I 
D 
a. Do APH  090AQH   APH  0180AQH   Tứ giác APHQ nội tiếp . 
Do tứ giác APHQ nội tiếp nên APQ  AHQ . 
Mà AHQ  090QHC  và QCH 
090QHC  
Nên AHQ  QCH hay APQ  QCB tứ giác BPQC nội tiếp . 
Xét tam giác MPB và tam giác MCQ có : 
M (chung ) và MPB  MCQ (tứ giác BPQC nội tiếp) 
Nên tam giác MPB đồng dạng với tam giác MCQ nên A