Đề toán nâng cao số 5 - Trường Tiểu học Quảng Tiến 2

®iÓm
®Ò to¸n n©ng cao sè 5
 Hä vµ tªn:
 Em h·y dïng ph­¬ng ph¸p ngược từ cuối ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n sau ®©y:
 Bµi 1: Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5, rồi nhân với 2 và cuối cùng chia cho 8 được kết quả bằng 4. 
 Gi¶i:	
Bµi 2: Tổng số của ba số bằng 96. Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ nhất 3 đơn vị và sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối cùng chuyển từ số thứ ba sang số thứ nhất 9 đơn vị thì số thứ nhất sẽ gấp đôi số thứ hai và bằng 2/5 số thứ ba. Tìm ba số đó?	
Gi¶i:	
Bµi 3: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và được vua ban thưởng cho một quả cam trong vườn thượng uyển, nhưng phải tự vào vườn hái. Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh. Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam, thêm nửa quả”. Qua cổng thứ hai rồi thứ ba lính canh cũng đều giao hẹn như vậy. Hỏi để có một quả cam mang về thì viên quan đó phải hái bao nhiêu cam trong vườn? 	
Gi¶i:	
Bµi 4: 3 người cùng đi câu cá, câu được bao nhiêu cùng bỏ vào 1 cái xô. Gần sáng hôm sau người thứ nhất dạy chia cá ra làm 3 phần bằng nhau và dư 1 con nên ném xuống sông và lấy phần của mình về, người thứ 2 dậy tưởng mình dạy sớm, nên cũng chia ra 3 phần và cũng dư 1 con và cũng ném xuống sông và lấy phần của mình đi về. Người thứ 3 cũng giống hệt như người thứ 2, chia cá ra làm 3 phần bằng nhau và dư 1 con nên ném xuống sông và lấy phần của mình về, cuối cùng còn 6 con cá trong xô. Hỏi tổng số cá là bao nhiêu?
Gi¶i:	
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
Ví dụ 1: Tìm một số, biết rằng tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với 16 rồi bớt đi 4 và cuối cùng chia cho 3 ta được kết quả bằng 12. 
Phân tích: Trong bài này ta đã thực hiện liên tiếp đối với dãy số cần tìm dãy các phép tính dưới đây: 
x 2, + 16, - 4, : 3 cho kết quả cuối cùng bằng 12. 
- Ta có thể xác định được số trước khi chia cho 3 được kết quả là 12 (Tìm số bị chia khi biết số chia và thương số). 
- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 1, ta tìm được số trước khi bớt đi 4 (Tìm số bị trừ khi biết số trừ và hiệu số). 
- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 2, ta tìm được số trước khi cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết khi biết số hạng kia và tổng số). 
- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 3, ta tìm được số trước khi nhân với 2, chính là số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết khi biết tích và thừa số kia). 
Từ phân tích trên ta đi đến lời giải như sau: 
Số trước khi chia cho 3 là: 
12 x 3 = 36 
Số trước khi bớt đi 4 là: 
36 + 4 = 40 
Số trước khi cộng với 16 là: 
40 - 16 = 24 
Số cần tìm là: 
24 : 2 = 12 
Trả lời: Số cần tìm là 12. 
Ví dụ 2: Tìm ba số, biết rằng sau khi chuyển 14 đơn vị từ số thứ nhất sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba rồi chuyển 7 đơn vị từ số thứ ba sang số thứ nhất ta được ba số đều bằng 45. 
Phân tích: Ta có thể minh họa các thao tác trong đề bài bằng sơ đồ sau: 
Ta có: 
Số thứ nhất: - 14; + 7 cho kết quả là 45 
Số thứ hai: + 14; - 28 cho kết quả là 45 
Số thứ ba: + 28; - 7 cho kết quả là 45 
Từ phân tích trên ta đi đến lời giải của bài toán như sau: 
Số thứ nhất là: 45 - 7 + 14 = 52. 
Số thứ hai là: 45 + 28 - 14 = 49. 
Số thứ ba là: 45 + 7 - 28 = 24. 
Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24. 
Lời giải bài toán trên có thể thể hiện trong bảng sau: 
Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24. 
Các bạn thử giải các bài toán sau bằng phương pháp tính ngược từ cuối: 
Bài 1: Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5, rồi nhân với 2 và cuối cùng chia cho 8 được kết quả bằng 4. 
Bài 2: Tổng số của ba số bằng 96. Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ nhất 3 đơn vị và sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối cùng chuyển từ số thứ ba sang số thứ nhất 9 đơn vị thì số thứ nhất sẽ gấp đôi số thứ hai và bằng 2/5 số thứ ba. Tìm ba số đó. 
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI ĐỂ GIẢI TOÁN VUI VÀ TOÁN CỔ Ở TIỂU HỌC
Phương pháp tính ngược từ cuối được dùng để giải nhiều bài toán vui và toán cổ ở tiểu học. Sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối giúp ta trình bày lời giải một cách ngắn gọn, chặt chẽ và tường minh. Dưới đây ta xét một số ví dụ minh họa. 
Ví dụ: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và được vua ban thưởng cho một quả cam trong vườn thượng uyển, nhưng phải tự vào vườn hái. Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh. Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam, thêm nửa quả”. Qua cổng thứ hai rồi thứ ba lính canh cũng đều giao hẹn như vậy. Hỏi để có một quả cam mang về thì viên quan đó phải hái bao nhiêu cam trong vườn? 
Giải: Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ hai (cổng giữa) là: 
Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ ba (cổng trong cùng) là: 
Số cam viên quan phải hái trong vườn là: 
Vậy để có được một quả cam mang về thì viên quan phải hái 15 quả trong vườn. 
Đáp số: 15 quả cam 
Ví dụ 2: Có một giống bèo cứ mỗi ngày lại nở tăng gấp đôi. Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ một cây bèo thì 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ. Vậy nếu ban đầu cho vào 16 cây bèo thì mấy ngày sau bèo phủ kín mặt hồ? 
Giải: Ta có bảng sau biểu diễn số cây bèo trên mặt hồ: 
Nhìn vào bảng trên ta thấy: Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ 16 cây bèo thì 6 ngày sau bèo sẽ lan phủ kín mặt hồ. 
Các bạn thử giải bài toán sau bằng phương pháp tính ngược từ cuối. 
Một người qua đường hỏi ông lão chăn vịt: “Đàn vịt của ông có bao nhiêu con?”. Ông lão trả lời: 
- Một nửa số vịt của tôi thêm một nửa con nữa đang tắm mát ở dưới sông. 
- Ba phần tư số vịt còn lại thêm một phần tư con nữa đang kiếm ăn ở dưới hồ. 
- Bốn phần năm số vịt còn lại thêm một phần năm con nữa đang nằm nghỉ ở trên bờ. 
- Cuối cùng còn hai đôi vịt què tôi đang nhốt ở trong lồng kia! 
Hỏi đàn vịt của ông lão có bao nhiêu con?