Đề thi vào lớp 10 của thành phố Hà Nội - năm học : 1988 - 1989 thời gian 150 phút môn toán

®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1988-1989 ( thi 10/8/1988 , tg =150’)
Bài 1 
Cho A= 
	a/ Rút gọn A.
	b/ Tính giá trị của A khi |x | = 1
Bài 2
Bài 3
	Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I: các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
	a/ Góc CID bằng góc CKD.
	b/ Tứ giác CDFE nội tiếp được.
	c/ IK // AB.
	d/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A.
Bài 4:
	Tìm giá trị của x để biểu thức :
M = ( 2x - 1)2 – 3 |2x-1| + 2
Đạt giá trị nhỏ nhất và tìm GTNN đó.
 GỢI Ý GIẢI đề thi vào THPT 1988-1989
Bài I:
	1/ Đk: x0 ; x 2 & x 3
 	A = = 
`	= = 
	= = = 
I
	2/ |x| = 1=> 
Bài III:
	a/ = vì là các góc chắn các cung bàng nhau.(=> CDIK nội tiếp)
	b/ Tứ giác CDEF nội tiếp được vì góc ngoài bằng góc trong không kề với nó.
	c/ IK//AB vì tứ giác CDIK nội tiếp => IKD = ICD & ICD =PFB ( tứ giác CDEF nội tiếp) => K luận .
	d/ AF là tt đt(AFD) vì EAF = ADF (nt chắn các cung bằng nhau).
	-
Bài IV:
	M = ( 2x - 1)2 – 3 |2x-1| + 2 = (| 2x – 1|)2 – 3 |2x-1| + - 
	= ( |2x – 1| – )2 - - 
	Dấu “ = ” xảy ra khi ( |2x – 1| – )2 = 0 ó | 2x - 1| = 
	ó 2x – 1 = ó ó 
.............................................................................................................
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1989-1990
Bài 1
Cho biểu thức 
	A = 1- () : 
a/ Rút gọn A và nêu các điều kiện phải có của x.
b/ Tìm giá trị của x để A = 
Bài 2
	Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được 2/3 quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B chậm hơn 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB.
Bài 3
	Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AE cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K.Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G.
	a/ Chứng minh AE = AF.
	b/Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi.
	c/ Chứng minh tam giác AKF và CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF
	d/Giả sử E chuyển động trên cạnh BC, chứng minh rằng FK = BE + DK và chu vi tam giác ECK không đổi.
Bài 4
GỢI Ý GIẢI đề 1989-1990
Bài I:
	A = 1- () : 
1/Đk x ½ & x 1
A = 1- () : 
 = 1- . = 1- . 
= 1- . = 1- = 
2/ A = - ó = - ó 2x - 1 = 4 ó x = 2,5
Bài II:
	Gọi quãng đường AB là x (km & x >0 )
	Ta có phương trình
	 ó 
Bài III:
 a/ AE = AF. Vì FAD = EAB (cùng phụ vớiDAE)
=> ADB = ABE (cạnh gv- gn ) => k luận.
 b/ Các tam giác vuông IGE & IKF bằng nhau (GE // KT 
IE = IF) => GF = GE =KF = KE (vì AK là trung trực).
c/ tam giác AKF và CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF
 Vì ABCD là hình vuông => goc ACF = 450 
 Vì tam giác AEF vuông cân &AI là trung trực 
goc FAK = 450 => 2 tam giác đồng dạng (gg).
Tỉ số => k luận
d/ FD = BE (Vì 2 tam giác bằng nhau) => FK = BE+DK
CECK = FK + KC + EC & CD – DK = CK = BE ; 
CE = DK 
CECK = 2BC (không đổi).
Bài IV: 
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1990-1991
Bài 1:
Xét biểu thức 
	P = () : (1-) 
	a/ Rút gọn P.
b/ Tìm các giá trị của x để P = 
Bài 2
	Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được ¾ quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB, biết rằng xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút. 
Bài 3:
	Cho đường tròn (O), một dây AB và một điểm C ở ngoài tròn nằm trên tia AB. Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn , cắt dây AB tại D.Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I.Các dây AB và QI cắt nhau tại K.
	a/ Cm tứ giác PDKI nội tiếp được.
	b/ Cm CI.CP = CK.CD
	c/ Cm IC là tia phân giác của góc ở ngoài đỉnh I của tam giác AIB
	d/ Giả sử A,B,C cố định. Cmr khi đường tròn (O)thay đổi nhưng vẫn đi qua B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4
GỢI Ý GIẢI đề 1990-1991
Bài I:
	1/ Đk: x 1/9 =>	P = ( ) : ( 1- ) 
= : 
= . = . = 
	2/ P = ó = => 5x – 6 () = 0 ó 5x - 18 +6 = 0
 = => = 
Bài II:
	Gọi quãng đường AB là x(km, x > 0)
	Ta có phương trình: 	
Bài III
a/ tứ giác PDKI nội tiếp được vì PDK = PIK = 900
b/ CI.CP = CK.CD vì ICK ~ DCP
c/ IC là tia pg vì IQ là pg AIB và IC IQ
d/ K là điểm cố định vì IC, IK là các phân giác trong và ngoài
tại I của tam giác AIB ( chia điều hòa)
 mà A,B,C cố định.
Bài IV:
...............................................................................................................................
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1991-1992
Bài 1
Bài 2	Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại đi vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành , đoàn xe được giao thêm 14 tấn nữa. Do đó , phải điều thêm 2 xe cùng loại trên và mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn. Tính số lượng xe phải điều theo dự định. Biết rằng mỗi xe chở số hàng như nhau.
Bài 3
	Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A,B. Người ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
	a/ Cm tứ giác CPKB nội tiếp được .
	b/ Cm AI.BK= AC.CB
	c/ Cm tam giác APB vuông
	d/ Giả sửA,B,I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất.
Bài 4
	Chứng minh rằng các đường thẳng có phương trình y = (m-1)x + 6m - 1991 (m tùy ý)luôn đi qua một điểm duy nhất mà ta có thể xác định được tọa độ của nó.
GỢI Ý GIẢI ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1991-1992
Bài I:
Bài II:
	Gọi số xe dự định điều là x ( x (~ N* )
 Ta có phương trình
Bài III:
a/ tứ giác CPKB nội tiếp được vì CPK = CBK = 900
b/ AI.BK= AC.CB vì AIC ~ BCK (gg)
c/ APB vuông vì APB = APC + BPC
mà APC = AIC = KGB, BPC = BKC => KL
d/ SABKI = ½ AB.(AI + BK) 
	-
Bài IV:
y= (m-1)x + 6m - 1991 = mx – x + 6m - 1991
 = m (x + 6) – 1991 => Nếu x = - 6 thì y = - 1991 + 6 = - 1985
Vậy ta có A (-6 ; - 1985) cố định.
..
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1992-1993
Bài 1:
Cho biểu thức 
B = () : (1- )
a/ Rút gọn B.
b/ Tìm khi x = 5+ 2
Bài 2:
	Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ 2 làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được ¾ công việc. Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó thì mấy giờ xong.
Bài 3:
	Cho nửa đường tròn đường kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung KB lấy M (M ≠ K,B ). Trên tia AM lấy N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP//KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM.
	a/ So sánh các tam giác AKN và BKM.
	b/ Cm tam giác KMN vuông cân.
	c/ Tứ giác ANKP là hình gì? Tại sao?
	d/ Gọi R,S lần lượt là giao điểm thứ 2 của QA và QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP, chứng minh khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên đường tròn cố định.
Bài 4
GỢI Ý GIẢI ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1992-1993
Bài I:
Đk: x 0 & x 1 => B = () : (1- )
 = : 
= . = 
b/ Tìm khi x = 5+ 2 
B = = = => = = 
Bài II:
	Gọi thời gian làm một mình xong công việc của thứ nhất là x(giờ, x > )
 Thời gain người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ, y > )
Thì trong 1 giờ, người thứ nhất làm được (cv); người thứ hai làm được (cv) & cả hai làm được (cv). => ta có hệ phương trình:
Bài III:
	a/tam giác AKN = BKM. (cgc)
	b/ tam giác KMN vuông cân vì KN = KM (2 tgbn)
	& AKN + NKB = NKB + MKB
	c/ Tứ giác ANKP là hình bh vì PAN = KMN
= KNM = 450
& RPK = APK (tgnt) = PAN = 450
	d/ ABM = RPM (ABMP nt)
	 RPM = QSR (RPMS nt) => RS//AB
BP//KM => cung KP = cung MB => POM = 900 
=> OMP nội tiếp đường tròn đường kính PM (k đổi)
=> Q = 450 (k đổi)
Kẻ IE // AQ , IF // BQ => EIF = 450 không đổi, RS = OM = OB = OA k đổi =>E, F là trung điểm của OA và OB => E, F cố định 
=> E(~ cung 450 vẽ trên đoạn EF 
Bài IV:
Giải phương trình
...........................................................................................................................................................
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1993-1994 
Bài 1:
	Cho biểu thức 
	M = 
	a/ Rút gọn M
	b/ Tính M khi x = (3+2)
Bài 2:
	Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 4 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 1 giờ.Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 3:
	Cho 2 đường tròn (O) và ( O) tiếp xúc ngoài nhau tại A và tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O) , ( O) lần lượt tại các điểm B,C và cắt Ax tại M.Kẻ các đường kính B OD, C OE.
	a/ Cmr M là trung điểm của BC.
	b/ Cmr tam giác O1MO2 vuông.
	c/ Cmr B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng.
d/ Gọi I là trung điểm của DE. Cmr đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng BC.
Bài 4:Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm
 x2- (2m-3)x + 6 = 0
 	 2 x2 +x + (m-5) =0
HƯỚNG DẪN GIẢI ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1993-1994 
Bài 1:
a/ Rút gọn; Đk x 0 & x ½ 
	M = 
= 
=
= = = - 
	b/ Tính M khi x = (3+2) = (+ 1)2
M = - = - ( + 1)
Bài 2:
Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x (h, x > 4)
Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là y (h, y > 4) 
Thì trong 1h vòi I chảy được (bể), vòi II chảy được (bể) & cả hai vòi chảy được 1 : 4(bể)
Ta có hệ phương trình
O1
O2
Bài 3:	 
	a/ Cm M là trung điểm của BC.
 => MB = MC (t/c 2 tt cắt nhau) => Kl
	b/ Cm O1MO2 vuông.
Vì MA = MB = MC (cmt) => ABC vuông tại A
Mà (gnt, góc ở tâm)
 Và = > = 900 => KL 
	c/ Cm B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng.
Vì ABC vuông tại A(cmt)	=> = 900 & = 900 (gnt chắn nửa đường tròn) => KL
Tương tự với C , A, D.
	d/ Cm BC là tt đt(IO1O2)
 ADE vuông tại A(do đđ) = >ID = IA = IE (t/c) => O1I là trung trực của AD => O1I // O2M, tương tự ta có O2I // O1M mà = 900 => tứ giác O1MO2I là hình chữ nhật => tâm Đt ngoại tiếp IO1O2 là giao điểm 2 đ chéo IM và O1O2. Tứ giác BCED là hình thang vuông (= 900) => IM là đường trung bình => IM BC => BC là tt đt(IO1O2).
(Có thể dùng t/c đường trung bình của tam giác để cm tứ giác O1MO2I là hình bình hành &=900 => tứ giác O1MO2I là hình chữ nhật ).
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1994-1995 
Bµi 1: Cho biÓu thøc P = 
Rót gän P
XÐt dÊu cña biÓu thøc P.
Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh
Mét ca n« xu«i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 30km/h, sau ®ã l¹i ng­îc tõ B vÒ A. Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ng­îc 1h20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng n­íc lµ 5km/h vµ vËn tèc riªng cña ca n« khi xu«i vµ ng­îc lµ b»ng nhau.
Bµi 3: 
Cho tam gÝac ABC c©n t¹i A, < 900, mét cung trßn BC n»m trong tam gi¸c ABC vµ tiÕp xóc víi AB,AC t¹i B vµ C. Trªn cung BC lÊy mét ®iÓm M råi h¹ ®­êng vu«ng gãc MI,MH,MK xuèng c¸c c¹nh t­¬ng øng BC ,CA, BA. Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB,IK vµ Q lµ giao ®iÓm cña MC,IH.
Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BIMK,CIMH néi tiÕp ®­îc
Chøng minh tia ®èi cña tia MI lµ ph©n gi¸c cña gãc HMK
Chøng minh tø gi¸c MPIQ néi tiÕp ®­îc. Suy ra PQ//BC
Gäi (O1) lµ ®­êng trßn ®i qua M,P,K,(O2) lµ ®­êng trßn ®i qua M,Q,H; N lµ giao ®iÓm thø hai cña (O1) vµ (O2) vµ D lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh M,N,D th¼ng hµng.
Bµi 4: T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè (x;y) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh sau:
5x- 2 
HDG ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1994-1995 
Bµi 1: a/Rg biÓu thøc (Đk : x 0 & x 1 )
 P = = 
= = = 
XÐt dÊu cña biÓu thøc P.
P. = (). Với a 0 và a P. < 0.
Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh
Gọi khoảng cách giữa 2 bến là x (km; x > 0)
Thì thời gian xuôi là (h). Thời gian ngược là (h)
Ta có phương trình - = 
Bµi 3: 
a/Chøng minh c¸c tø gi¸c BIMK,CIMH néi tiÕp ®­îc
MK AB (gt) => = 900 & MI BC (gt)
 => = 900 è BIMK nội tiếp được
Tương tự với tứ giác CIMH
b/ C/m tia ®èi cña tia MI lµ ph©n gi¸c cña 
Gọi tia đối của MI là Mx, ta có:
Vì tứ giác BIMK nội tiếp (cmt) => = (cùng bù )
Vì tứ giác CIMH nội tiếp (cmt) => = 
Mà = (cùng chắn cung BC) => = => KL
c/Chøng minh tø gi¸c MPIQ néi tiÕp ®­îc. Suy ra PQ//BC
 = ½ sđ cung lớn BC
 = (nt chắn cung KM) = ½ sđ cung BM
 = (nt chắn cung HM) = ½ sđ cung MC
è + + = 1800 => tứ giác MPIQ nội tiếp được
=> = , = & = è = => PQ//BC
®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1995-1996
A/ lý thuyết : Học sinh chọn 1 trong 2 đề
Đề 1: Phát biểu định nghĩa và nêu các tính chất của hàm số bậc nhất.
 Trong 2 hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số bậ nhất ? Vì sao?
 y = 1 – 2x ; y = x + 
Đề 2 : Phát biểu dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
B/ Bài tập
1/ Xét biểu thức 
B =( - - ) : (-)
a) Rút gọn B.
b) So sánh B với 1.
2/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình
 Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể , thì sau 6 giờ đầy. Nếu vòi 1 chảy 20 phút và vòi 2 chảy 30 phút thì được bể.
Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể ?
Bài 3
 Cho nửa đường tròn đường kính AB và 2 điểm C,D thuộc nửa dường tròn sao cho cung AC < 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn, sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM và BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F.
a/ Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?
b/ Chứng minh D là điểm chính giữa cung MB.
c/ Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I và K. Chứng minh rằng tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp được.
GỢI Ý GIẢI Đề tn 1995-1996
Bài I:
	a/ B = 
	b/ Xét bt B -1 = - 1= => B = 1 khi a = 4.
Bài II:
	Hệ pt: 
Tg vòi 1 chảy = 10h, tg vòi 2 chảy = 15h.
Bài III:
	a/ MEOF là hcn vì có 3 góc vuông.
	b/ OD MB => 
	c/ KM & KB là tiếp tuyến nên góc OMK = góc OBK = 900
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1995-1996
Bµi1: Cho biÓu thøc A = 
Rót gän A
T×m GT cña a ®Ó A>1/6
Bµi2: Cho ph­¬ng tr×nh x2-2(m+2)x+m+1=0 (Èn x)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = -
T×m c¸c GT cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸I dÊu
Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .T×m GT cña m ®Ó 
x1(1-2x2)+ x2(1-2x1) =m2
Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC(AB>AC ; >900). I,K thø tù lµ c¸c trung ®iÓm cña AB,AC. C¸c ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB,AC c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai D; tia BA c¾t ®­êng trßn (K) t¹i ®iÓm thø hai E, tia CA c¾t ®­êng trßn (I) t¹i ®iÓm thø hai F.
Chøng minh bai ®iÓm B,C,D th¼ng hµng
Chøng minh tø gi¸c BFEC néi tiÕp.
Chøng minh ba ®­êng th¼ng AD,BF,CE ®ång quy
Gäi H lµ giao ®iÓm thø hai cña tia DF víi ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF. H·y so s¸nh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng DH,DE.
Bµi4: XÐt hai ph­¬ng tr×nh bËc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = 0.
T×m hÖ thøc gi÷a a,b,c lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai ph­¬ng trinh trªn cã mét nghiÖm chung duy nhÊt.
Gîi ý gi¶i ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1995-1996
Bµi1: a/ Rg biÓu thøc (§k a > 0 & a 1)
 A=
= = 
= = 
b/T×m GT cña a ®Ó A>1/6
ó > ó - > 0 ó > 0 ó > 0
ó > 0 (v× > 0 ) ó > 4 ó a > 16 (tm®k)
Bµi2: Cho ph­¬ng tr×nh x2-2(m+2)x+m+1=0 (Èn x)
a/Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = -
Ta cã x2 - 2(- +2)x - +1= 0 ó x2 - x - = 0 ó 2x2 – 2x – 1 = 0
’= 1 + 2 = 3 => 
b/T×m c¸c GT cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
 ó ó ó ó 
ó ó ó ó m < - 1 ()
Bµi 3:
a/Chøng minh bai ®iÓm B,C,D th¼ng hµng
 = 900 (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn)
b/Chøng minh tø gi¸c BFEC néi tiÕp.
V× = = 900 => nt (®l)
c/Chøng minh ba ®­êng th¼ng AD,BF,CE ®ång quy
V× AD , BF, CE lµ c¸c ®­êng cao cña ABC => ®ång quy
®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1996-1997
Khãa thi ngµy 28-29-30/V/1997
A/ Lý thuyÕt (2®). Häc sinh chän 1 trong 2 ®Ò:
§Ò I: H·y chøng minh c«ng thøc
 Víi a ≥ 0 và b>0
Áp dụng để tính: 
 Đề II: Định nghiã đường tròn. Chứng minh rằng đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn.
 B. Bài toán bắt buộc.
 I. Đại số (4 điểm)
 1)(2đ) Cho biểu thức:
P= 
Rút gọn P.
Tính giá trị của P khi a = 3- 2
2) (2đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một người dự định sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do tăng năng suất 4 sản phẩm mỗi giờ, nên đã hoàn thành sớm hơn dự định 1 giờ. Hãy tính năng suất dự kiến của người đó.
II. Hình học (4 đ)
Cho đường tròn (O;r) và dây cung AB (ABAB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tại P,K. Gọi I là trung điểm AB.
Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp được trong đường tròn.
Chứng minh 2 tam giác ACP và PCB là đồng dạng. Từ đó suy ra: CP2 = CB.CA
Gọi H là trực tâm của tam giác CPK. Hãy tính PH theo r.
 Giả sử PA// CK, chứng minh rằng tia đối của tia BK là tia phân giác của góc CBP
GỢI Ý GIẢI Đề tn 1996-1997
Bài I:
	1/ P = 
	2/ a = => P = 
Bài II:
	Gọi năng suất dự kiến là x (sp/h & x nguyên dương)
	Pt: ó x1  = 20 (tmđk) & x2 = -24 (loại)
Bài III:
	1/Góc OIC = 900 (I là trung điểm của AB) 
	 Góc CPO = góc CKO (tc tiếp tuyến) => CPIK nt 
	2/ ACP ~ PCB => => CP2 = CA.CB
	3/ H (~ OC (H là trực tâm) => tứ giác OPHK là hình thoi => OP = r. 
	4/BKC = BPK (cùng chắn cung BK ) 
	 KBC = BKP (cung AK = cung PK)
	=> KBC = PKB => Kết luận.
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1996-1997( thi 21/7/1996 – tg 150’)
Bµi 1: Cho biÓu thøc 
A = 
Rót gän A
Víi GT nµo cña x th× A ®¹t GTNN vµ t×m GTNN ®ã
Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh
Mét ng­êi ®i xe m¸y từ A ®Õn B c¸ch nhau 120km víi vËn tèc dù ®Þnh tr­íc .Sau khi ®i ®­îc 1/3 qu¸ng ®­êng AB ng­êi ®ã t¨ng vËn tèc lªn 10km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i. T×m vËn tèc dù ®Þnh vµ thêi gian l¨n b¸nh trªn ®­êng,biÕt r»ng ng­êi ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 24phót.
Bµi3:
 Cho ®­êng trßn (O) b¸n kÝnh R vµ mét d©y BC cè ®Þnh. Gäi A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. LÊy ®iÓm M trªn cung nhá AC,kÎ tia Bx vu«ng gãc víi tia MA ë I vµ c¾t tia CM t¹i D.
Chøng minh góc AMD= góc ABC vµ MA lµ tia ph©n giac cña gãc BMD.
Chøng minh A lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD vµ gãc BDC cã ®é lín kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M.
Tia DA c¾t tia BC t¹i E vµ c¾t ®­êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai F, chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngoai tiÕp tam gi¸c BEF.
Chøng minh tÝch P=AE.AF kh«ng ®æi khi M di ®éng. TÝnh P theo b¸n kÝnh R vµ ABC =
Bµi4: 
Cho hai bÊt ph­¬ng tr×nh : 3mx -2m>x+1 (1)
 m-2x<0 (2)
T×m m ®Ó hai bÊt ph­¬ng tr×nh trªn cã cïng tËp hîp nghiÖm
®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi *
N¨m häc :1997-1998
A.Lý thuyết (hs chọn 1 trong 2 đề)
1/ Định nghĩa căn bậc hai số học và chứng minh công thức : với a 0; b 0.
2/ Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn .
B. Bài toán
	1, Cho biểu thức 
 	 A = 
	a/ Rút gọn A.
	b/Tìm giá trị của a để A > 
	2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
	Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 48km/h. Sau khi đi một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hỏa 10 phút. Do đó , để đến tỉnh B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính quãng đường AB.
 	3/. Cho đường tròn (O;R ), một dây CD có trung điểm là H. Trên tia đối của tia DC lấy một điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO; OH lần lượt tại E và F.
	a/ Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp.
	b/Chứng minh OE.OS = R2
	c/ OH.OF = OE.OS.
	d/ Khi S di động trên tia đối của tia DC hãy chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
GỢI Ý GIẢI đề 1997- 1998
Bài I:
	1/ A = 
	2/ A > ó > ó a > 16
Bài II:
	Gọi quãng đường AB là x (km, x > 0).
	Ta có pt: 
	 = 1 + + ó 120 (tmđk)
Bài III:
	a/Tứ giác SEHF nội tiếp vì SEF = SHF = 900
	b/ AOS vuông tại A => hệ thức. 
	c/ HOS ~ EOF => 
	d/ OH cố định & OF = => F cố định.
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1997-1998 
(26/7/1997- tg= 150’)
Bài 1
Cho biểu thức 
 A = 
	a/Rút gọn A.
	b/ Tìm x để A = 7
Bài 2:
	Một công nhân dự tính làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định.Nhưng trong thực tế xí nghiệp lại giao làm 80 sản phẩm. Vì vậy, mặc dù người đó đã làm mỗi giờ thêm 1 sản phẩm song thời gian hoàn thành công việc vẫn tăng so với dự định 12 phút.
	Tính năng suất dự kiến, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.
Bài 3:
	Cho đường tròn O bán kính R, một dây AB cố định (AB< 2R) và một điểm M tùy ý trên cung lớn AB (M khác A,B). Gọi I là trung điểm của dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A. Đường thẳng MI cắt (O), (O’)lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N,P.
	1/ Cm IA2 = IP.IM
	2/ Cm tứ giác ANBP là hình bình hành.
	2/ Cm IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP.
	4/ Cm khi M di chuyển thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên 1 cung tròn cố định.
Bài 4:
	Trong hệ tọa độ vuông góc xOy, cho Parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = x + m (d)
	Tìm m để (d) cắt hai nhánh của (P) tại A và B sao cho tam giác AOB vuông tại O?
GỢI Ý GIẢI đề 1997- 1998
Bài I:
	1/
	2/
	3/
Bài II:
	1/
	2/
	3/
Bài III:
	-
	-
Bài IV:
	1/
	2/
	3/
	4/
Bài V:
®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi *
N¨m häc :1998-1999
(C¬ së ®Ó chän vµo líp 10)
A. LÝ thuyÕt (2 ®iÓm): Häc sinh chän mét trong hai ®Ò sau:
§Ò 1: Ph¸t biÓu tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè. C¸c ®¼ng thøc sau ®óng hay sai,v× sao?
§Ò 2: CMR: nÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã ®ång d¹ng.
B. B¾t buéc(8 ®iÓm):
Bµi1(2,5 ®iÓm): 
Bai 2(2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh
Bai3(3,5 ®iÓm):
GỢI Ý GIẢI Đề 1998 - 1999
Bài I:
Bài II:
	Bài III:
®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi *
N¨m häc :1999-2000
A.LÝ thuÕt (2 ®iÓm): Häc sinh chän mét trong hai ®Ò sau:
§Ò1: Ph¸t biÓu hai quy t¾c ®æi dÊu cña ph©n thøc. ViÕt c«ng thøc minh ho¹ cho tong quy t¾c.
¸p dông: Thùc hiÖn phÐp tÝnh : .
§Ò 2: Ph¸t biÓu ®Þnh lÝ vÒ gãc néi tiÕp cña ®­êng trßn . Chøng minh ®Þnh lÝ trong tr­ßng hîp t©m O n»m trªn mét c¹nh cña gãc.
B.Bµi to¸n b¾t buéc(8 ®iÓm):
Bµi1(2,5 ®iÓm): 
Bµi 2(2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh
Bµi 3(3,5 ®iÓm): 
GỢI Ý GIẢI Đề
Bài I:
Bài II:
Bài III:
	1/OE MN và OC AC
	2/ chứng minh BOA = AOC và AOC = BIC
	3/ chứng minh AEC = AOC & AEC = BIC
	4/SAIN lớn nhất khi SABN lớn nhất 
	 SABN lớn nhất khi B,O,N thẳng hàng. 
®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :2000-2001
A.LÝ thuÕt (2 ®iÓm): Häc sinh chän mét trong hai ®Ò sau:
§Ò 1: ThÕ nµo lµ phÐp khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n. ViÕt c«ng thøc tæng qu¸t.
Ap dông tÝnh : .
§Ò 2: Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ gãc cã ®Ønh bªn trong ®­êng trßn.
RRRRRRRRRB.Bµi to¸n b¾t buéc( 8®iÓm):
®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :2001-2002
A.LÝ thuÕt (2 ®iÓm): Häc sinh chän mét trong hai ®Ò sau:
§Ò 1: Ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa vµ nªu tÝnh chÊt cña hµm sè bËc nhÊt. 
Ap dông: Cho hai hµm sè bËc nhÊt y = 0,2x-7 vµ y = 5-6x
Hái hµm sè nµo ®ång biÕn , hµm sè nµo nghÞch biÕn ,v× sao?
§Ò 2: Nªu c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn.
B.Bµi tËp b¾t buéc(8 ®iÓm):
Bµi 1(2,5 ®iÓm): Cho biÓu thøc P =
Rót gän P
T×m c¸c GT cña x ®Ó P<0
T×m GTNN cña P
Bai2(2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh
Mét c«ng nh©n dù ®Þnh lµm 150 s¶n phÈm trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh.Sau khi lµm ®­îc 2h víi n¨ng xuÊt dù kiÕn ,ng­êi ®ã ®· c¶I tiÕn c¸cthao t¸c nªn ®· t¨ng n¨ng xuÊt ®­îc 2 s¶n phÈm mçi giê vµ v× vËy ®· hoµn thµnh 150 s¶n phÈm sím h¬n dù kiÕn 30 phót. H·y tÝnh n¨ng xuÊt dù kiÕn ban ®Çu.
Bµi3(3,5 ®iÓm):
Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ mét ®­êng kÝnh EF bÊt k× (E kh¸c A,B). TiÕp tuyÕn t¹i B víi ®­êng trßn c¾t c¸c tia AE,AF lÇn l­ît t¹i H,K . Tõ A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi EF c¾t HK t¹i M.
Chøng minh tø gi¸c AEBF lµ h×nh ch÷ nh©t
Chøng minh tø gi¸c EFKH néi tiÕp ®­êng trßn
Chøng minh AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c AHK
Gäi P,Q lµ trung ®iÓm t­¬ng øng cña HB,BK,x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®­êng kÝnh EF ®Ó tø gi¸c EFQP cã chu vi nhá nhÊt.
GỢI Ý GIẢI Đề
Bài I:
	1/
	2/
	3/
Bài II:
	1/
	2/
	3/
Bài III:
	-
	-
Bài IV:
	1/
	2/
	3/
	4/
Bài V:
	*
®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :2002-2003
(30/5/2003)
Lý thuyết (2đ) thí sinh chọn một trong 2 đề sau
Đề 1, Phát biểu và viết dạng tổng quát của qui tắc khai phương một tích.
 Áp dụng tính: P = .
Đề 2. Định nghĩa đường tròn. Chứng minh rằng đường kính là dây lờn nhất của đường tròn.
Bài tập bắt buộc (8 điểm) 
 Bài 1 (2,5 đ)
Cho biểu thức P = 
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của x để P = -1.
c/ Tìm m để với mọi giá trị của x>9 ta có:
 m(-3)P >x+1
Bài 2 (2đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
 Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18%, tổ II vượt mức 21% , vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?
Bài 3 (3,5đ).
 Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giã A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M,N và B. Nối AC cắt MN tại E.
 	a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn.
	b/ Chứng minh đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC
	c/ Chứng minh AE.AC – AI.IB = AI2
	d/ Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
GỢI Ý GIẢI Đề
Bài I:
	1/
	2/
	3/
Bài II:
	1/
	2/
	3/
Bài III:
	-
	-
Bài IV:
	1/
	2/
	3/
	4/
Bài V:
	*
	..
®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :2003-2004
A-Lý thuyết(2 điểm). Thí sinh chọn một trong hai đề sau:
Đề 1. Định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số và nghiệm của nó. Hãy tìm nghiệm chung của 2 phương trình : x+ 4y = 3 và x – 3y = -4.
Đề 2. Phát biểu định lý góc có đỉnh ở bên ngoaì đường tròn. Chứng minh định lý trong trường hợp hai cạnh của góc cắt đường tròn.
B- Bài tập bắt buộc (8 điểm)
Bµi 1: 
Bµi3: 
GỢI Ý GIẢI Đề
Bài I:
	1/
	2/
	3/
Bài II:
	1/
	2/
	3/
Bài III:
	-
	-
Bài IV:
	1/
	2/
	3/
	4/
Bài V:
	*
®Ò thi vµo TNTHCS +TS líp 10 thµnh phè hµ néi*
N¨m häc 2004- 2005
Ngày thi 26/5/2005
A/ Lý thuyết (2đ): Học sinh chọn 1 trong 2 đề
Đề 1: Nêu điều kiện để có nghĩa.
 	Áp dụng : Với giá trị nào của x thì có nghĩa.
Đề 2:Phát biểu và chứng minh định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
B. Bài tập bắt buộc (8đ)
Bài 1 (2,5đ)	Cho biểu thức P = 
a/ Rút gon P.
b/ Tính giá trị của P khi x = 
c/ Tìm m để có x thỏa mãn P = mx- 2mx + 1	
Bài 2 (2đ) giải bài toán bằng cách lập phương trình
	Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong một thời gian nhất đinh. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm 2 sản phẩm . Vì vậy , chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm.Hỏi theo kế hoạch , mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu snr phẩm?
Bài 3 (3,5 đ)
	Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M tùy ý giữa A và B. Đường tròn đường kính BM cắt đường thẳng BC tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng CM, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điêmt thứ 2 là H và K.
	a/ Cm tứ giác AMEC là tứ giác nội tiếp.
	b/ cm góc ACM bằng góc KHM.
	c/ cm các đường thẳng BH, EM và AC đồng quy.
	d/Giả sử AC<AB , hãy xác định vị trí của M để tứ giác AHBC là hình thang cân. 
GỢI Ý GIẢI đề 2004-2005
Bài I:
	1/Đk x > 0 , x 1 & x 4
	P = 
= 
= = 
	2/ x = = 
	=> P = 
	3/ P = mx- 2mx + 1 ó - 1 = mx- 2mx + 1 
Bài II:
	1/
	2/
	3/
Bài III:
	-
	-
Bài IV:
	1/
	2/
	3/
	4/
Bài V:
	*
®Ò thi vµo líp 10 thµnh phè hµ néi
N¨m häc :2006- 2007
 (thi ngay 16/6/2006 – 120’)
Bµi 1 (2,5 ®iÓm)
Bµi 2 (2,5 ®iÓm)
 Bµi 3 ( 1 ®iÓm )
 T×m to¹ ®é giao ®iÓm A vµ B cña ®å thÞ hai hµm sè y = 2x + 3 vµ y = x2.
 Gäi D vµ C lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ B trªn trôc hoµnh. TÝnh SABCD.
Bµi 4 (3 ®iÓm)
 Cho (O) ®­êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iÓm cña OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C. Gäi K lµ ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MN.
a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b) TÝnh AH . AK theo R.
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm K ®Ó (KM + KN + KB) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. 
Bµi 5 (1 ®iÓm)
 Cho hai sè d­¬ng x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x + y = 2. Chøng minh: x2y2(x2+y2) 2. 
GỢI Ý GIẢI Đề
Bài I:
	1/Đk a 1 & a 0. 
=> P = 
	= 
	= 
 Bài II:
Bài III:
	Giải pt: x2 = 2x + 3 ó x2 – 2x – 3 = 0 ó x1 = -1 & x2 = 3 (theo Vi et) => y1 = 1& y2 = 9
	=> A (-1 ; 1) & B (3 : 9)
	SABCD = (AD + BC ) (|OD| + |OC| ) : 2 (vì tứ giác ABCD là hình thang vuông)
Bài IV:
	1/ Tứ giác BCHK có C = K = 900 => nt
	2/ ACH ~ AKB (gg) => => AH.AK = AB.AC = R2
	3/ Cm BMN đều => KM + KN + KB = 2KN 
=> max khi KN max = 2R 
=> K,O,N thẳng hàng (K là điểm chính giữa cung BM)
 => Max(KM + KN + KB) = 4R
(Bài tập 20 /trang 76 /sách BTT9 tập II)
Bài V:
	x2y2(x2+y2) = xy. [2xy.(x2 + y2)] xy. = xy.= 2xy 2 = 2 (Áp dung Cô si cho 2 số dương và x + y = 2 ).
®Ò thi vµo líp 10 thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :2007-2008 (20/6/2007 – 120’)
Bµi 1 ( 2,5 ®iÓm )
 Cho biÓu thøc : P = Với x 0 & x 1
1/ Rót gän biÓu thøc P.
2/ T×m x ®Ó P < .
Bµi 2 ( 2,5 ®iÓm )
 Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh:
 Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 24 km. Khi tõ B trë vÒ A ng­êi ®ã t¨ng vËn tèc lªn 4 km/h so víi lóc ®i, v× vËy thêi gian vÒ Ýt h¬n thêi gian ®i 30 phót. TÝnh vËn tèc cña xe ®¹p khi ®i tõ A ®Õn B.
Bµi 3 ( 1 ®iÓm )
 Cho ph­¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0
1/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi b = - 3 vµ c = 2.
2/ T×m b, c ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ tÝch cña chóng b»ng 1.
Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm )
 Cho ®­êng trßn (O; R) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d t¹i A. Trªn d lÊy ®iÓm H kh«ng trïng víi ®iÓm A vµ AH < R. Qua H kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi d, ®­êng th¼ng nµy c¾t ®­êng trßn t¹i hai ®iÓm E vµ B ( E n»m gi÷a B vµ H ).
1/ Chøng minh vµ ∆ABH ∆EAH.
2/ LÊy ®iÓm C trªn d sao cho H lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AC, ®­êng th¼ng CE c¾t AB t¹i K. Chøng minh AHEK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
3/ X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm H ®Ó