Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2015 môn thi : Toán (dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên) thời gian làm bài 120 phút

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
ĐỀ THI TUYỂN SINH 
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015 
 Môn thi :TOÁN 
(Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên) 
Thời gian làm bài 120 phút 
Câu 1. (2.5 điểm) Cho biểu thức 
2
2 2
2 2
1 1
1
a b
b a a b
P
a b a b
b a b a
  
    
  
 
   
 
 với a > 0, b > 0 a b 
1. Chứng minh 
1
p
ab
 . 
2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4 1a b ab   . Tìm min P. 
Câu 2. (2 điểm) cho hệ phương trình. 
2 4
3 1
x my m
mx y m
  

  
Với m là tham số 
1. Giải phương trình khi m = 2. 
2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0, y0) là một nghiệm của của hệ 
phương trình. Chứng minh đẳng thức  2 20 0 0 05 10 0x y x y     . 
Câu 3. (1.5 điểm) 
 Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình    
2 2
0a x a b x b    
 Có nghiệm duy nhất. Chứng minh a b 
Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC = 600 . Các 
đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I. 
1. Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp. 
2. Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác 
BC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp. 
3. Chứng minh 1 1AK BC . 
 Câu 5. (1 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn: 
2 23 3 1 12 2
4 4 2 2
a b b a a b
     
           
     
Hướng dẫn giải 
Câu 1 (2.5 điểm) 
1. Cho biểu thức 
2
2 2
2 2
1 1
1
a b
b a a b
P
a b a b
b a b a
  
    
  
 
   
 
 với a>0 , b>0 a b 
 2 22 2 2 4 4 3 3
2 2
3 3
2 2 4 4 3 3 4 4 3 3
2 2 2 2 2 2
21 1
1
1
a ab ba b aba b a b a b ab
ab a bb a a b a bP
a b a b a b a b ab a b a b ab ab
b a b a a b a b
              
       
      
   
 
2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4 1a b ab   . Tìm min P 
Áp dụng bât đẳng thức cosi ta có 
1 4 5
1
25
a b ab ab
ab
   
 
Dấu bằng xảy ra khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100b2 suy ra 
1 2
10 5
b a   
Câu 2 (2 điểm) cho hệ phương trình. 
2 4
3 1
x my m
mx y m
  

  
Với m là tham số 
1 Giải phương trình khi m = 2 
2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ 
phương trình .chứn minh đẳng thức  2 20 0 0 05 10 0x y x y     1. 
1. Thay m = 2 ta có 
19
2 6 2 4 12 5 19 5
2 7 2 7 2 7 19
2 7
5
19
5
9
5
y
x y x y y
x y x y x y
x
y
x

           
     
          



 
 

2.
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2 4 2 4
3 1 ( 2 4 ) 3 1
2 4
2 4 3 1
3 3 2
2 4
2 4 1
1 4
( 1) 1 4 1 4
1
1
x my m x my m
mx y m m my m y m
x my m
m y m m y m
m m
x my m x
x my m m
m m
m y m m y m m
ym
m
      
 
        
  
 
    
  
        
     
           
Vì m2 +1 khác 0 phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m. 
2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của 
hệ phương trình .chứn minh đẳng thức  2 20 0 0 05 10 0x y x y     1. 
Thay 
2
0 2
2
0 2
3 3 2
1
1 4
1
m m
x
m
m m
y
m
  
 

  
 
Ta có 
     
2 22 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 22 2 2 2
2 2
2 22 2
2 2 2 2
2 2
2 2
5 10 3 4 3 15
3 3 2 3 3 4 1 4 4
15
1 1
3 3 2 3 3 12 3 1 3
1 1 1 1
3 3 2 3 3 12
15 0
1 1
x y x y x y x y
m m m m m m
m m
m m m m m m
m m m m
m m m m
m m
          
          
     
    
         
      
      
   
   
 
Cách 2. 
 
     
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
5 10 0
5 6 5 4 0
3 2 1 4 0
x y x y
x x y y
x x y y
    
      
      
Thay 
2
0 2
2
0 2
3 3 2
1
1 4
1
m m
x
m
m m
y
m
  
 

  
 
 ta đươc .  2 20 0 0 05 10 0x y x y     
Câu 3 (1.5 điểm) 
 Cho a, b là các số thực khác o . Biết rằng phương trình    
2 2
0a x a b x b    
 Có nghiệm duy nhất . Chứng minh a b 
   
   
2 2
2 3 2 3
2 2 2 3 3
0
ax 2 x 2 0
2 0
a x a b x b
ax a b bx b
x a b x a b a b
   
      
      
Nếu a + b = 0 thi phương trình có nghiệm x = 0. 
Nếu a + b 0. ta có 
     
 
2
2 2 3 3
22 2 3 3
2
2
a b a b a b
a b ab a b ab a b
      
     
Nếu a và b khác dấu thì phương trình có nghiệm với mọi m 
Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm 
Phương trình có nghiêm duy nhất khi a và b khác dấu và 0  suy ra a b . 
Câu 4 
K
C1
B1
I
C
B
A
1. Ta có     01 1 1 1120 120 60 180
o o oB IC BIC B IC BAC       . Mà hai góc này đối nhau 
Nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm). 
2. Vì tứ giác BC1IK nội tiếp nên  1 1 60
oBIC BKC  (góc nội tiếp cùng chắn  1BC ) 
Và   1BIK BC K ( góc nội tiếp cùng chắn 
BK ) 
Xét tam giác ABC:     01 180 180 60 120
o o oKCB BAC ABC ABC ABC        
Xét tam giác BC1K:      
0
1 1180 180 60 120
o o oBIK BC K BKC ABC ABC ABC         
Suy ra  1KCB BIK Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm). 
3. Vì  1 60
oBIC BAC  Tứ giác ACKC1 nội tiếp   1 1KAC KCC (cùng chắn cung KC1) 
Và  1 1AKC ACC (cùng chắn cung AC1). Mà 
 
1 1ACC KCC (GT) 
Suy ra  1 1KAC AKC Tam giác C1AK cân tại C1C1A = C1K (1) 
CMTT: B1A = B1K (2) 
Từ (1), (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nên AK B1C1 (đpcm 
Câu 5 (1 điểm). Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn 
2 23 3 1 12 2
4 4 2 2
a b b a a b
     
           
     
Áp dụng bất đẳng thức cosi 
2
2 2 2 23 3 1 1 1 1 1
4 4 4 2 4 2 2
a b b a a b b a a b
       
                    
       
2
1 1 1
2 2
2 2 2
a b a b
    
        
    
. 
Dấu bằng xảy ra khi a= b = ½