Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2014 môn thi : Toán (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2014
Môn thi : Toán 
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút 
Câu 1(2 điểm) Cho cỏc số thực dương a, b ; ab.Chứng minh rằng 
Câu 2(2 điểm) Quóng đường AB dài 120 km. Lỳc 7 h sỏng một xe mỏy đi từ A đến B. Đi được xe bị hỏng phải dừng lại 10 phỳt để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kộm vận tốc lỳc đầu 10km/h. Biết xe mỏy đến B lỳc 11h40 phỳt trưa cựng ngày. Giả sử vận tốc xe mỏy trờn quóng đường đầu khụng đổi và vận tốc xe mỏy trờn quóng đường sau cũng khụng đổi .Hỏi xe mỏy bị hỏng lỳc mấy giờ ?
Câu 3 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : (m là tham số )
	1.Chứng minh rằng với mỗi giỏ trị của m (P) và (d) luụn cắt nhau tại 2 điểm phõn biệt .	
2. Gọi là là hoành độ giao điểm (P) và (d) ,đặt 
Chứng minh rằng 
Câu 4 (3 điểm): Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn (O;R) đường kớnh AC .Gọi AC cắt BD tại E ,, gọi K,M là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A và C xuống BD ( biết K thuộc đoạn BE ,).Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt AC tại P.
	1.Cứng minh tứ giỏc AKPD nội tiếp 
	2.Chứng minh KPPM.
	3. Biết và AK=x .Tớnh BD theo R và x.
Câu 5: (1 điểm) Giải phương trỡnh
----------------------------------Hết-----------------------------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh
Hướng dẫnthi chuyờn Toỏn SP Hà Nội Vũng 1 ngày 5/6/2014
Cõu 1
Cõu 2 Gọi vận tốc trờn quóng đường ban đầu là x (km/h) x>10
Thỡ vận tốc trờn quóng đường sau là x-10 (km/h) 
Thời gian đi trờn quóng đường ban đầu là 
Thời gian đi trờn quóng đường sau là 
Vỡ thời gian đi cả 2 quỏng đường là 11h40phut – 7h- 10 phut =
Nờn ta cú PT: 
Giải ra x=30 thỏa món điều kiện Thời gian đi trờn quóng đường ban đầu . Vậy xe hỏng lỳc 10 h
Cõu 3 a) xột hệ phương trỡnh 
PT(1) cú hệ số a và c trỏi dấu nờn luụn cú 2 nghiệm phõn biệt mọi m nờn (P) và 
(d ) luụn cắt nhau tại 2 điểm phõn biệt với mọi m.
b) theo Vi ột 
ta cú 
Nờn 
Cõu 4
1. Ta cú 
 ( cựng bằng CBD đồng vị ) nờn tứ giỏc AKPD nội tiếp ( quỹ tớch cung chứa gúc)
2.Theo phần 1 thỡ DP vuụng gúc AC nờn MDCP nội tiếp suy ra: mà ( cựng phụ 2 ) mà ( đồng vị ) nờn Ta cú suy ra KPPM.
3.ta cú Pitago tam giỏc vuụng AKD vuụng tại K tớnh được tam giỏc BAK vuụng tại K cú gúc ABK=600 
BD=BK+KD= ( đv dài)
Cõu 5 ( 1 điểm)
Giải phương trỡnh
Hướng dẫn
ĐKXĐ: 
Đặt : 
Thỡ 
Ta cú phương trỡnh 
Với a+b=0 ta cú 
Với a+3b=34 ta cú 
PT cú 6 nghiệm 
Bộ giáo dục đào tạo	 cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	 Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2013
Môn thi: TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút 
----------------------------------------
Cõu 1.(1,5 điểm) Giả sử a,b,c,x,y,z là cỏc số thực khỏc 0 
 thỏa món và .Chứng minh rằng 
Cõu 2.(1,5 điểm)Tỡm tất cả cỏc số thực x, y, z thỏa món 
 Cõu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyờn n thỡ số:
	 là một số chớnh phương 
Cõu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là cỏc số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng 
Cõu 5 (3điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD với tõm O .Gọi M là trung điểm AB cỏc điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng 
1.Tam giỏc BNO đồng dạng với tam giỏc DOP và gúc NOP=450
2.Tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc NOP thuộc OC.
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Cõu 6.(1 điểm)
Cú bao nhiờu tập hợp con A của tập hợp thỏa món điều kiện A cú ớt nhất hai phần tử và nếu 
----------------------------------Hết-----------------------------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh
Hướng dẫn đề thi chuyờn Toỏn sư phạm Hà Nội vũng 2 -2014
Ngày thi 6/6/2014
Cõu 1.(1,5 điểm) Giả sử a,b,c,x,y,z là cỏc số thực khỏc 0 
 thỏa món và .Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
Từ thay vào (*) ta cú ĐPCM
Cõu 2.(1,5 điểm)Tỡm tất cả cỏc số thực x, y, z thỏa món 
Hướng dẫn
Áp dụng Bất đảng thức ta cú đỳng với mọi A,B 
Kết hợp với GT ta cú Dấu “=” xảy ra khi 
ĐKXĐ : 
Cõu 3 (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyờn n thỡ số:
	 là một số chớnh phương 
Hướng dẫn 
Cõu 4(1,5 điểm) Cho x;y;z là cỏc số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
Đặt 
Thỡ 
Áp dụng Bất đẳng thức 
Ta cú 
Dấu “=” xảy ra khi 
Cõu 5 (3điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD với tõm O .Gọi M là trung điểm AB cỏc điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng 
1.Tam giỏc BNO đồng dạng với tam giỏc DOP và gúc NOP=450
2.Tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc NOP thuộc OC.
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Đăt AB = a ta cú AC = . Chứng minh Tam giỏc ADP đồng dạng tam giỏc NBM (g.g) suy ra mà OB.OD=
tam giỏc DOP đồng dạng BNO (c.g.c). từ đú tớnh được 
2. Theo a ta cú gúc PON = gúc ODP=450
tam giỏc DOP đồng dạng ONP (c.g.c). suy ra gúc DOP= gúc ONP 
 nờn DO là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiờp tam giỏc OPN
3. Đặt giao điểm cua MN và BC là Qvà AP là K ỏp dung tớnh chỏt phõn giỏc cho tam giỏc MBN; APD ta cú. Giar sử MP cắt AN tại I . K I cắt MN tại H Áp dụng định lớ ta lột (2)
Từ 91) và (2) Suy ra Q trựng H, vậy BD, PM, AN đồng quy
Cõu 6(1 điểm)
Cú bao nhiờu tập hợp con A của tập hợp Thỏa món điều kiện A cú ớt nhất hai phần tử và nếu 
Hướng dẫn
Từ GT suy ra y=2x do đú A cú dạng với số tập con là 1007
GV Nguyễn Minh Sang THCS Lõm Thao-Phỳ Thọ