Đề thi tuyển sinh vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2011 môn thi: Toán học (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

Bé gi¸o dôc ®µo t¹o	 céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m hµ néi	§éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc
§Ò chÝnh thøc
®Ò thi tuyÓn sinh
Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2011
M«n thi: To¸n häc
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo tr­êng chuyªn)
Thêi gian lµm bµi :120 phót 
C©u 1: Cho biÓu thøc 
Với 
 1. Rót gän biÓu thøc A
 2. Cho y=1 hãy tìm x để 
C©u 2: Một nhóm công nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm.Trong 4 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra , những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm ,nên đã hoàn thành sớm 2 ngày .Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
C©u 3 : Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d) y=mx-m2+3 (m là tham số )
	Tìm tất cả các gia trị m để đường thẳng ( d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 . Với giá trị nào của m thì x1; x2 là độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 
C©u 4 : Cho đường tròn (O) đường kính AB=10. Dây cung CD vuông góc với AB tại điểm E sao cho AE =1.Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K , AK và CE cắt nhau tại M.
	1.Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK .Tính BK
	2. Tính diện tích tam giác CKM.
C©u 5:Cho hình thoi ABCD có góc BAD =1200. Các điểm M ,N chạy trên BC và CD tương ứng sao cho góc MAN=300. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN chạy trên đường thẳng cố định.
Câu 6: Chứng minh bất đẳng thức 
 ----------------------------------HÕt-----------------------------------
Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Hä vµ tªn thÝ sinh.................................................................sè b¸o danh
Hứớng dẫn
C©u 1: 
2. với y= 1 ta có 
Câu 2 Gọi số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là x ( SP) x >0; x N
Thì số ngày theo kế hoạch là ( ngày)
 số ngày làm x+10 sản phẩm là ( ngày) vì nhóm công nhân làm vượt 2 ngày nên ta có PT 
Giải ra x=20 t/m ĐK
Câu 3 Để (P) cắt (d) tai 2 điểm phân biệt thì hệ PT sau có 2 nghiệm phân biệt 
(1) có 2 nghiệm phân biệt 
nên 
 Theo bai toán ta phải có
vì là nghiệm PT (1) nên với -2<m< 2 theo Viet ta có
 thay vào (*) ta có 
mặt khác vì độ dài cạn tam giác nên
kết hợp với -2<m< 2
ta có thỏa mãn 
Câu 4
1.Theo T/C góc ngoài tam giác cân AOC thì góc COB=2gocsOAC suy ra gocsBOK=gocsOAC nên AC//OK mà CE//KB nên AEC đồng dạng với OBK (g.g) suy ra pitago tam giác vuông OCE tính được CE=3 ;mà OB=5;AE=1 tính được BK=15
2. Ta có đồng dạng với nên 
nên 
nên 
Câu 5
Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac AMN là O thì tam giác MON cân tại O có góc MON= góc MAN= 600 nên tam giác MAN đều .Mặt khác gócMON+gocsMCN=600+1200 nên tứ giác MCNO nội tiếp suy ra 
góc MCN=góc MNA=600 vì ABCD là hình thoi nên gocMCA=600 vậy gocsMCA=gocMCO nên O thuộc AC
Câu 6: Chứng minh bất đẳng thức 
 Bé gi¸o dôc ®µo t¹o	 céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m hµ néi	 §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc
§Ò chÝnh thøc
®Ò thi tuyÓn sinh
Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2011
M«n thi: To¸n häc
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin)
Thêi gian lµm bµi :150 phót 
Câu 1 Cho 
 1.Chứng minh rằng 
 2. Tính giá trị của biểu thức 
Câu 2
	1.Giải hệ phương trình
	2. Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức : 
Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ.
Câu 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng với a, b, c là các số nguyên dương sao cho chia hết cho p 
Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE và CF là các đường cao .Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S các đường thẳng BC và OS cắt nhau tại M
	1.Chứng minh 
	2. Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS
	3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC .
 Chứng minh NP vuông góc với BC 
Câu 5 Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu) ,trong đó có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và 45 viên bi còn lại là viên bi màu vàng hoặc màu trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên). Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì .Chứng minh rằng trong số các viên bi lấy ra luôn có ít nhất 45 viên bi cùng màu .Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì thì kết quả bài toán còn đúng không ?
----------------------------------HÕt-----------------------------------
Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Hä vµ tªn thÝ sinh.................................................................sè b¸o danh
Hướng dẫn
Câu 1 Cho 
 1.Chứng minh rằng 
 2. Tính giá trị của biểu thức 
HD
1.
2.Theo phần 1 
Câu 2
	1.Giải hệ phương trình
 Vì theo ĐK x+y>0 nên PT (*) VN
với x+y=1 ta có x=1-y thay vào PT (2) ta có 
Với y=0 thì x=1;với y=3 thì x=-2
Vậy hệ có 2 nghiệm 
	2. Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức : 
Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ.
HD nếu ab=0 thì hiển nhiên đúng 
nếu ab khác 
Ta có 
C©u 3 :XÐt hiÖu
V× vai trß cña a, b, c nh­ nhau gi¶ sö: a b c1 (a2 +b2 + c2)3
Ta cã a4 + b4 + c4 = ( a2 +b2 + c2)2 - 2( a2b2 + a2c2 + c2b2 ) 
a2b2 + a2c2 + c2b2 (a2 +b2 + c2)3
 a2b2 - c4 +c4 + a2c2 + c2b2 (a2 +b2 + c2) 
 a2b2 - c4 + c2 (c2 + a2 + b2) (a2 +b2 + c2)
 a2b2 - c4 (a2 +b2 + c2)
 (ab - c) (ab + c) (a2 +b2 + c2) 
mµ 0 (ab - c) <(ab + c)<(a2 +b2 + c2) vµ a2 +b2 + c2nguyªn tè
 (ab - c) = 0 mµ a b c1 
a=b=c=1
 p=3 Tháa m·n
Câu 4
1.ta có SO vuông góc với BC tại M ,MB=MC =ME và góc SBC=góc BAC nên CosBAE=CosMBS suy ra 
2.Ta có EM=MC nên EMC cân tại M suy ra góc MEC= góc MCE
mà góc SBA+góc MEC=1800 suy ra góc SBA=góc MEA mà 
nên ABS đồng dạng với AEM ( c.g.c)
3.Vì ABS đồng dạng với AEM suy ra góc SAB=gócMAE
và mà tứ giác BFEC nội tiếp nên góc AEF=góc ABC suy ra 
 đồng dạng với (g.g)
 suy ra mà ( đpcm)
Cách khác Gọi AS cắt EF tại D chứng minh D là trung điểm EF suy ra MD vuông góc EF góc ADN=góc AMP nên tứ giác MNDP nội tiếp suy ra góc MPN=gocsMDN=900 nên MP vuông góc với NP 
Câu 5 
-Nếu lấy 178 viên bi trong đó ở bi đỏ xanh tím có ít nhất 133 viên bi ( vì có nhiều nhất 45 viên trắng vàng) vì 133 chia cho 3 dư 1 theo nguyên tắc Diric lê ta có ít nhất 45 viên bi cùng màu đpcm
- Nếu lấy 178 viên bi trong đó ở bi đỏ xanh tím viên bi nhỏ hơn 133 viên bi thì số bi vàng trắng lớn hơn 45 viên trái GT
-Với số 177 viên thì không đúng VD lấy lần lượt 44,44,44,45( vàng trắng ) thì không đúng 
GVHD NMS THCS Lâm Thao –Phú Thọ