Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn thi: Toán thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN HỆ THPT CHUYấN NĂM 2010
MễN THI: TOÁN (Vũng 1)
Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I
Giải hệ phương trỡnh
Giải phương trỡnh
Cõu II
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn khụng õm (x, y) thoả món đẳng thức
Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyờn của số a là số nguyờn lớn nhất khụng vượt quỏ a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyờn dương ta luụn cú.
Cõu III
	Cho đường trũn (O) với đường kớnh AB = 2R. Trờn đường thẳng tiếp xỳc với đương trũn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho gúc . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường trũn (O).
Tớnh độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cỏch từ A đến đương thẳng BC theo R.
Với mỗi điểm M trờn đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường trũn (O tại điểm N (khỏc B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trờn cựng một đường trũn và tõm đường trũn đú luụn chạy trờn một đường thẳng cố định khi M thay đổi trờn đoạn thẳng AC.
Cõu IV
	Với a,b là cỏc số thực thoả món đẳng thức , hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
_____________________________
Cỏn bộ coi thi khụng giải thich gỡ thờm.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN HỆ THPT CHUYấN NĂM 2010
MễN THI: TOÁN (Vũng 2)
Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I
Giải phương trỡnh
Giải hệ phương trỡnh
Cõu II
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n để là số chớnh phương.
Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả món điều kiện . Chứng minh rằng 
Cõu III
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và M là điểm nằm trong tam giỏc. Kớ hiệu H là hỡnh chiếu của M trờn cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cỏc đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
Chứng minh rằng M là trực tõm của tam giỏc ABC.
Chứng minh rằng BEFC là tứ giỏc nội tiếp.
Cõu IV
Trong dóy số gồm 2010 số thực khỏc 0 được sắp xếp theo thứ tự , ta đỏnh dấu tất cả cỏc số dương và tất cả cỏc số mà tổng của nú với một số số liờn tiếp liền ngay sau nú là một số dương. (Vớ dụ với dóy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thỡ cỏc số được đỏnh dấu là ). 
Chứng minh rằng nếu trong dóy số đó cho cú ớt nhất một số dương thỡ tổng của tất cả cỏc số được đỏnh dấu là một số dương.
_____________________________
Cỏn bộ coi thi khụng giải thich gỡ thờm.
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh
MễN THI: TOÁN (Vũng 1)
Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I
Giải hệ phương trỡnh
Giải phương trỡnh
Hướng dẫn
Cộng cả hai phương trình ta được 
Ta có hai hệ
 Và 
Giai ra ta được Hệ PT có 4 nghiệm 
ĐKXĐ 
 Đặt 
Phương trình có 3 nghiệm 
Cõu II
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn khụng õm (x, y) thoả món đẳng thức
Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyờn của số a là số nguyờn lớn nhất khụng vượt quỏ a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyờn dương ta luụn cú.
Hướng dẫn
1)Phá ngoặc 
 vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có 
x+1
1
5
y+1
5
1
x
0
4
y
4
0
(x;y){(0;4);(4;0)}
2) xét 
Thay k lần lượt từ 1 đến n ta có 
Cõu III
	Cho đường trũn (O) với đường kớnh AB = 2R. Trờn đường thẳng tiếp xỳc với đương trũn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho gúc . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường trũn (O).
Tớnh độ dài đường thẳng AC, BC và khoảng cỏch từ A đến đương thẳng BC theo R.
Với mỗi điểm M trờn đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường trũn (O tại điểm N (khỏc B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trờn cựng một đường trũn và tõm đường trũn đú luụn chạy trờn một đường thẳng cố định khi M thay đổi trờn đoạn thẳng AC.
Hướng dẫn
1)Xét tam giác vuông ABC ( vuông tại A)có AB=2R;gúc . Nên BC=4R;
áp dụng Pi-Ta-Go nên AC=;
áp dụng hệ thức lượng vậy AH=
2) Ta có Dosuy ra nên nên tứ giác CMNH nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này thuộc trung trực HC cố định 
Cõu IV
	Với a,b là cỏc số thực thoả món đẳng thức , hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn
áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 dãy 
 và 1; 4 ta có 
 và 1; 4 ta có 
Từ (1)&(2) ta có Mặt khác Từ GT ta có 
Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 ta có 
Thay Vào (*) ta có Vây 
_____________________________
MễN THI: TOÁN (Vũng 2)
Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I
Giải phương trình
Giải hệ phương trỡnh
Hướng dẫn
ĐKXĐ; x=1 Thảo mãn. xét x1 thìVT>4 (loại)
Cách khác
Với thay vào PT(1) vô nghiệm
Với thay vào PT(1) ta được y=1 hoặc y=-3 
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y){(2;1);(2-3)}
Cõu II
1)Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n để là số chớnh phương.
2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả món điều kiện .
 Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
1)ta có là số chính phương nên 
 mà 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)
 Ta có n-k<n+k nên 
n-k
-391
-1
-23
-17
n+k
1
391
17
23
n
-195( loại)
195
-3(loai)
3
Vậy n =3 hoặc n=195
2)
áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có 
Nên ta phải chứng minh 
Dấu “=” xảy ra khi 
Cách khác ta có 
áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có (2)
Từ (1) và (2) ta có 
Dấu “=” Xảy ra khi 
Cõu III
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và M là điểm nằm trong tam giỏc. Kớ hiệu H là hỡnh chiếu của M trờn cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cỏc đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
Chứng minh rằng M là trực tõm của tam giỏc ABC.
Chứng minh rằng BEFC là tứ giỏc nội tiếp.
Hướng dẫn
1)Vì tứ giác BEPH nội tiếp nên (1) vì E;P;Q thẳng hàng nên (2). Vì tứ giác MQHP nội tiếp nên (3) Ta có vuông tại H có suy ra (4) từ (1); (2) ; (3) ;(4) ta có ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà 
Tương tự 
từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC
2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta có nên tứ giác AEHF nội tiếp đường kính AH nên 
( nội tiếp chắn cung AE) mà ( cùng phụ )
Vậy mà 
Nên tứ giác BEFC nội tiếp 
Cõu IV
Trong dóy số gồm 2010 số thực khỏc 0 được sắp xếp theo thứ tự , ta đỏnh dấu tất cả cỏc số õm và tất cả cỏc số mà tổng của nú với một số số liờn tiếp liền ngay sau nú là một số dương. (Vớ dụ với dóy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thỡ cỏc số được đỏnh dấu là ). 
Chứng minh rằng nếu trong dóy số đó cho cú ớt nhất một số dương thỡ tổng của tất cả cỏc số được đỏnh dấu là một số dương.
Hướng dẫn
Xét các số được đánh dấu a1;a2;a3............ an (n
-Nếu dãy có tất cả các số dương thì ta có đpcm
-Nếu có số âm được đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dương sao cho tổng của số âm này với các số liền sau nó luôn dương ( Giá trị tuyệt đối số số tổng các dương lớn hơn GTTĐ số âm) suy ra số liền sau số âm đó cũng được đánh dấu . Tổng của các số được đánh dấu bằng các tổng luôn dương nên Tổng các số được đánh dấu luôn dương ( đpcm)
____________________