Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn thi: Toán (cho tất cả các thí sinh) thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I 
 	1) Giải phương trình 
2) Giải hệ phương trình 
Câu II 
1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
 Chứng minh rằng
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số sao cho chia hết cho 101?
Câu III 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A
Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng
2)Chứng minh 
Câu IV
 Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1
 Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức 
-------------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Câu I 
 	1) Giải phương trình 
2) Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn
1)ĐKXĐ 
2)Đặt 
Ta có hệ phương trình
Ta có hệ PT 
Hệ có 2 nghiệm 
Câu II 
1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
 Chứng minh rằng
ta có
 Câu III 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A
Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng
2)Chứng minh 
Ta có: 
(chắn cung )
 vì là tứ giác nội tiếp
Gọi I là giao điểm ED với BC trung điểm BC
Ta có : 
Vì (chắn cung ) (2)
Từ (1) và (2) là tứ giác nội tiếp 
 Câu IV
 Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1
 Tìm giá trị nhior nhất cảu biểu thức 
Đăt, a=b=c=kd
Áp dụng BĐT 
Ta có 
Từ (1) ;(2);(3);(4) và nhân 3 ta có 
Suy ra 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN (dùng cho thí sinh thi chuyên Toán;Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I 
 	1) Giải hệ phương trình 
2) Giải phương trình 
Câu II 
 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) :
Với x, y là các số thực dương thỏa mãn .Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức 
Câu III 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại M khác B. PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A
 1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng
2)Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC
Câu IV
Giả dụ dãy số thực có thứ tự Thỏa mãn điều kiện 
 Chứng minh rằng 
-------------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HD
Câu I 
 	1) Giải hệ phương trình 
2) Giải phương trình 
HD 
Cộng cả hai PT ta được 
Vói 
ĐKXĐ 
Câu II 
 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) :
Với x, y là các số thực dương thỏa mãn .Tìm giá trị cực tiểu của biểu thức 
HD
1) 
Đặt ta có 
Đặt ta có 
Đặt ta có 
la số chính phuơng nhỏ hơn 6 suy TH1: ta có 
TH2 loại 
Vậy 
2)
Min (P)=
Cách khác 
Min (P)=
Câu III 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại M khác B. PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A
 1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng
2)Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC
Ta có :
Mà 
Vậy M,N,Q thẳng hàng
Ta có : 
CMTT : 
Từ (1) và (2) là hình bình hànhtrung điểm EF
Ta có :
là phân giác thẳng hàng
Áp dụng định lý Tales : Ta được :
Vì J trung điểm EF