Đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ thpt chuyên năm 2011 môn thi: Toán (vòng 1) thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN HỆ THPT CHUYấN NĂM 2011
MễN THI: TOÁN (Vũng 1)
Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I. 1)Giải hệ phương trỡnh
 2) Giải phương trỡnh
Cõu II. 1) Chứng minh rằng khụng tồn tại cỏc bộ ba số nguyờn  thỏa món đẳng thức:
 	 2) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn  thỏa món đẳng thức: 
Cõu III. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD với . Đường phõn giỏc của gúc  cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD tại O khỏc C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuụng gúc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt cỏc đường thẳng CB, CD tại E, F.
 	1) Chứng minh rằng .
 	2) Chứng minh rằng O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CEF.
 	3) Gọi giao điểm của OC và BD là I. 
 Chứng minh rằng .
Cõu IV. Với x, y là những số thực dương, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Cỏn bộ coi thi khụng giải thich gỡ thờm.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN HỆ THPT CHUYấN NĂM 2011
MễN THI: TOÁN (Vũng 1)
Câu 1: a) Giải hệ phương trình 
 - Ta thấy x = 1 , y = 2 là nghiệm của hệ phương trình
 -Nếu x > 1 từ (1) suy ra y< 2 từ (2) suy ra : x < 1 ( vô lí ) ( loại)
 -Nếu x 2 từ ( 2) suy ra : x > 1 ( vô lí ) ( loại ) 
 Vậy x= 1 , y = 2
Cỏch khỏc 
	b) Giải phương trình 
 ĐK : x > 0
 	Đặt với a 0 và với b > 0 
Ta có suy ra : 2ab2 + 2a = a2b + 4b 
	ab( 2b – a) – 2( 2b – a) = 0
(2b – a) (ab – 2) = 0
 suy ra: a = 2b hoặc ab = 2
Thay a= 2b ta được : x = 1 hoặc x = 3
Thay ab = 2 ta được x = 1.
Vây x = 1 Hoặc x= 2
Câu 2:
 a) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thoả mãn đẳng thức : x4 + y4 = 7z4 + 5
	 x4 + y4 + z4 = 8 z4 + 5
ta cú vế phải lẻ suy ra vế trỏi cú 3 số lẻ hoặc 1 số lẻ ta biết x4 ( với x nguyờn) chia cho 8 dư 0 với x chẵn chia cho 8 dư 1 với x lẻ
 ta thấy vế phải chia 8 dư 1, hoặc 3 mà vế phải chia 8 dư 5 . Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
b) ( x+ 1)4 – ( x- 1)4 = y3 8x3 + 8x = y3 
- Xét (2x+1)3 – (8x3 + 8x) = 12 x2 – 2x +1 > 0 suy ra y3 < (2x+1)3
- Xét 8x3 + 8x – (2x -1)3 = 12 x2 + 2x + 1 > 0 suy ra y3 > (2x – 1)3
Do đó (2x-1)3 < y3< (2x+1)3 suy ra y3 = (2x)3. Từ đó (x;y) = (0;0)
Cõu 3
HD
Ta cú CEF cõn tại C xột OBE và ODC cú OB=OC ( do BCO=DCO), EBO=CDO;EB=CD ( cựng bằng AB) nờn 
OBE và ODC (gcg)
Theo phần 1 thỡ OE=OC mặt khỏc O thuộc trung trực EF nờn OE=OF
vậy OC=OE=OF
Ta cú EI=FI chỉ cần chứng minh IB.BE=ID.DF
 Ta cú theo tớnh chất phõn giỏc CBD 
nhõn 2 vế với IE=IF ta cú đpcm
Cõu 4
Ta cú
 (1)
Từ (1) và (2) ta cú dấu bằng xảy ra khi x=y>0
 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN HỆ THPT CHUYấN NĂM 2011
MễN THI: TOÁN (Vũng 2)
Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu1:	1.Giải phương trỡnh: 
2.Giải hệ phương trỡnh :
Cõu 2:  1.Với mọi số thực a, ta gọi phần nguyờn của a là số nguyờn lớn nhất
 khụng vượt quỏ a và kớ hiệu là : [a].
 Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương  thỡ biểu thức:
 khụng biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyờn.
 	2. Với x, y là cỏc số thực dương thảo món đẳng thức: 
Tỡm GTNN của biểu thức: 
Cõu 3:	 Cho hỡnh thang ABCD với BC song song AD. Cỏc gúc  và 
  là cỏc gúc nhọn. Hai đường chộo AC và BD cắt nhau ở I. P là điểm 
 bất kỡ trờn đoạn thẳng BC( P khụng trựng B,C). Giả sử đường trũn ngoại tiếp
 tam giỏc BIP cắt đoạn thẳng PA ở M khỏc P và đường trũn ngoại tiếp tam 
 giỏc CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khỏc P.
 	 1. Chứng minh rằng 5 điểm A, M, I, N, D cựng nằm trờn 1 đường trũn, 
 gọi đường trũn này là (K)
 2. Giả sử BM cắt CN ở Q, chứng minh Q cũng thuộc (K)
 	 3. Trong trường hợp P, I, Q thẳng hàng, chứng minh rằng: 
Cõu 4: Giả sử A là 1 tập con của tập cỏc số tự nhiờn N, Tập hợp A cú phần tử 
 nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A (x khỏc 1) luụn tồn 
 tại a, b cũng thuộc A sao cho (a cú thể bằng b). Hóy tỡm một tập 
 hợp A cú số phần tử nhỏ nhất. 
Cỏn bộ coi thi khụng giải thich gỡ thờm.
Cõu1:	1.Giải phương trỡnh: 
(*) ĐKXĐ 
với x thuộc ĐK 
 Dấu “=” xảy ra khi x=1 thỏa món 
2.Giải hệ phương trỡnh :
(*)
 (*)
nếu xy+1= 0 khi đú xy=-1 thay vào PT (2) vụ lớ nờn xy+1 khỏc 0
Nhõn PT (1) và PT (2) : 
thay vào PT (2) ta cú xy(1+xy)=2x2y2 
nếu xy=0 ta cú x=y=0
Nếu xy=1 ta cú hệ 
*Cỏch khỏc
	Xét x = 0 thì y = 0 là nghiệm hai phương trình :
	Nếu x 0, y 0 ta có hệ phương trình :
	Đặt 
	 a = 2, b = 1 x = 1, y = 1
Cõu 2:1)
Với n=1 ta cú ĐPCM 
Với n>1 ta cú BBĐT kộp 
 nờn 
Giải sử biểu diễn lập phương của số nguyờn
Trường hợp 1
(1)
 đặt ( x nguyờn khụng õm)
khi đú mà 
 ta chứng minh 
Ta cú 
và 
ta cú (2) đỳng từ (1) và (2) ta cú mõu thuẫn 
Trường hợp 2:
 tương tự như trờn ta cú 
 nờn loại 
Ta cú điều phải CM
2. Áp dụng BĐT với A;B khụng õm dấu “=” khi A=B
nờn 
Min P=
 khi 
Cõu 3
Ta cú PNI=IAD ( cựng bằng gúc PCI) nờn tứ giỏc AIND nội tiếp (1)
Ta cú PMI=IDA ( cựng bằng gúc PBI) nờn tứ giỏc AMID nội tiếp (2)
từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A,M,I,N,D cựng thuộc đường trũn (K)
2. QMI=BPI=CNI nờn QMI+QNI=1800 nờn Q thuộc dường trũn (K)
3. Ta cú BIP=BMP ( cựng chắn cung BP), BMP =AMQ (dđ); AMQ=AIQ ( cựng chắn cung AQ), AIQ=PIC (đ đ) nờn
BIP=CIP nờn IP là phõn giỏc gúc BIC ỏp dụng tớnh chất phõn giỏc cho tam giỏc BIC (1) do BC //AD ỏp dụng định lớ ta lột ta cú (2)
từ (1) và (2) ta cú đpcm
Cõu 4
Giảsử tập A cú n phần tử 
Ta cú 2a2 >100;
 2a3>a2.
.................
2an>an-1
Nhõn từng vế ta cú 2n-1.an-1 >100 suy ra n 8
nếu n=8 ta cú a2<26 và a3<25 100<a2+a3<96 vụ lớ lấy n=9 thỏa món 
khi đú bộ số 
Cỏch khỏc 
Tập A có phần tử lớn nhất là 100, giả sử 100 = a1+a1/ 
	 Để số phần tử của A min a1 = a1/ = 30
Giả sử 50 = a2 + a2/ Để số phần tử của của A min
 	a2 = a2/ = 25
	Giả sử 25 = a3 + a3/. Để số phần tử của A min 
	 a3 – a3/ = 1 a3 = 13 , a3/ = 12
	 Tương tự :	a3/ = 2a4 = 6
	a4 = 2a5 = 5
	a5 = a6 + a6/ = 2 + 1 
	a6 = 1
	Vậy số phần tử nhỏ nhất của A là 9
	1; 2; 3; 6; 12; 13; 25; 30; 100
GV LT-PT