Đề thi tuyển sinh 2007 môn toán thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG 
ĐỀ THI TUYỂN SINH 2007 
MÔN TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1: Cho phương trình: m)x1(x)xx1( 3 =−−+− (1) (m là tham số) 
1. Giải phương trình (1) khi m = 1 
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 
Câu 2: Với người sử dụnglà số nguyên dương, đặt: 
∫
π
−=
4
n21n2
n dx)x(sinxU và ∫
π
−−=
4
1n21n2
n dx)x2(cosxV 
Chứng minh rằng: 
1. 0VlimUlim n+nn+n == ∞→∞→ 
2. 1n
32
VU2
2
nn ≥∀π≤+ 
Câu 3: Ký hiệu R+ là tập các số thực dương. Giả sử f: R+ → R+ là một hàm số 
liên tục thoả mãn 5 5 1)1x())x(f(f ++= . Chứng minh rằng: 
1. Nếu )x(f)x(f 21 = thì 21 xx = 
2. Hàm số f(x) đơn điệu tăng và 1
)x(f
)1x(flim
x
=++∞→ 
Câu 4: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm C, D ở về 2 phía đối với (P) sao cho 
CD không vuông góc với (P). Hãy xác định vị trí 2 điểm A, B thuộc (P) sao 
cho AB = a (a > 0 cho trước) và tổng độ dài CA + AB + BD đạt giá trị nhỏ 
nhất. 
Câu 5: Cho k1, k2,  , kn là các số thực dương khác nhau từng đôi một. 
Chứng minh rằng: Rx0)xkcos(...)xkcos()xkcos( nn2n11 ∈∀=λ++λ+λ khi và chỉ 
khi 0... n21 =λ==λ=λ