Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2004 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 90 phút

1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2004
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 90 phút1
Bài 1:
Tìm các số a, b, c sao cho :
lim
x→±∞
a(2x3 − x2) + b(x3 + 5x2 − 1) − c(3x3 + x2)
a(5x4 − x)− bx4 + c(4x4 + 1) + 2x2 + 5x = 1
Bài 2:
Chứng minh rằng với mọi tham số m, phương trình :
x3 − 9x −m(x2 − 1) = 0
luôn có 3 nghiệm.
Bài 3:
f(x) là một hàm số xác định trên đoạn [0, 1], lấy giá trị trên đoạn [0, 1],
thỏa mãn điều kiện :
|f(x1) − f(x2)| ≤ |x1 − x2|, ∀ x1, x2 ∈ [0, 1]
Chứng minh rằng tồn tại một điểm duy nhất x0 ∈ [0, 1], sao cho f(x0) = x0.
Bài 4:
1/ Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì :
|
∫ b
a
f(x)dx| ≤
∫ b
a
|f(x)|dx
2/ Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]
và thỏa mãn điều kiện f(a) = f(b) = 0 thì :
|
∫ b
a
f(x)dx| ≤ (b− a)
2
4
M
trong đó
M = maxa≤x≤b|f ′(x)|
Khi nào xảy ra dấu đẳng thức ?
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp