1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 90 phút1 Bài 1: Cho dãy số x1, x2, . . . , xn, . . . , xác định như sau: xn > 0, xn = ln(1 + xn−1)∀n ≥ 1 Chứng minh rằng dãy số ấy hội tụ đến một giới hạn l.Tính l. Bài 2: Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số xác định trên R, thỏa mãn điều kiện |f(x1)− f(x2)| ≤ |x1 − x2|3, ∀x1, x2 ∈ R, thì f(x) là hàm hằng. Bài 3: f(x) là một hàm số xác định và liên tục tại mọi x 6= 0, lấy giá trị ≤ 0 , thỏa mãn điều kiện f(x) ≤ k ∫ x 0 f(t)dt.∀x ≥ 0 trong đó k là một hằng số dương, Chứng minh rằng f(x) = 0, ∀x ≥ 0. (Gợi ý : Có thể xét sự biến thiên của hàm số F (x) = e−kx ∫ x 0 f(t)dt trên khoảng (0,+∞)) Bài 4: Hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện f ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Chứng minh rằng f [tx + (1− t)y] ≤ tf(x) + (1− x)f(y), ∀x, y ∈ R, ∀t ∈ (0, 1). Bài 5: Cho số thực k1, k2, . . . , kn, khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng a1e k1x + a2e k2x + . . . + ane knx = 0 ∀x ∈ R Khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an = 0. 1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp
Tài liệu đính kèm: