Đề thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên môn Toán - Đề 2 - Năm 2020-2021 (Có đáp án)

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2020 – 2021 
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho các số thực khác 0. Đặt và 
Chứng minh 
Cho các số thực khác thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức 
Câu 2. (2,0 điểm)
Giải phương trình : 
Giải hệ phương trình : 
Câu 3. (3,0 điểm)
	Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh tại và có tâm thuộc cạnh Kẻ đường cao của tam giác 
Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn và là tia phân giác của góc 
Đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt tại K. Chứng minh đi qua trung điểm của 
Tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tai S. Chứng minh 
Câu 4. (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên thỏa mãn 
Cho các số nguyên dương thỏa mãn Chứng minh là lập phương của một số nguyên dương
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho các số thực không âm thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng : 
Ban đầu có 2020 viên sỏi để trong một chiếc túi. Có thể thực hiện công việc như sau:
Bước 1: Bỏ đi 1 viên sỏi và chia túi này thành 2 túi mới
Bước 2:Chọn 1 trong 2 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó thành 2 túi mới
Bước 3: Chọn 1 trong 3 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó thành 2 túi mới, khi đó có 4 túi.
Tiếp tục quá trình trên. Hỏi sau một số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi hay không ?
ĐÁP ÁN
Câu 1.
Ta có: 
Ta có : 
Từ điều kiện bài toán rút được 
Suy ra 
Câu 2.
Điều kiện , đặt , phương trình trở thành:
Với 
Với 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Điều kiện xác định 
Phương trình (2) tương đương 
Với điều kiện xác định ta có 
Đặt kết hợp (1) và ta có hệ phương trình
Trường hợp 1: hệ vô nghiệm
Trường hợp 2: Đặt ,
Hệ trở thành: 
Câu 3.
Do là các tiếp tuyến của đường tròn nên suy ra các điểm thuộc đường tròn đường kính 
Ta có là đường cao của tam giác nên đường tròn đường kính 
Suy ra các điểm cùng thuộc đường tròn đường kính 
Do tứ giác nội tiếp nên và 
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, suy ra cân tại A, 
là tia phân giác của 
Kẻ đường thẳng đi qua và song song với cắt AB và AC tại P và Q
Ta có: là tứ giác nội tiếp 
Chứng minh tương tự ta có 
Xét tam giác có vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên nó là tam giác cân, suy ra là đường trun tuyến hay là trung điểm của 
Dựng là giao điểm của và 
Do , áp dụng định lý Ta – let ta có: 
là trung điểm của 
Gọi là giao điểm của và là giao điểm thứ 2 của và 
Trên cạnh lấy điểm khác E sao cho , cần chứng minh là trung điểm của 
Ta có: và 
Ta có: 
Ta có: 
Chứng minh tương tự ta được 
Từ (1), (2), (3) suy ra là trung điểm của 
Câu 4.
Ta có: 
Lập bảng xét các trường hợp ta thu được 
Vậy tập các giá trị 
Ta có: 
Suy ra , đặt , thay vào điều kiện ta được:
Suy ra chia hết cho k và k chia hết cho b nên 
Câu 5. 
Xét hiệu 
Do không âm nên không âm
b) Sau mỗi bước, số sỏi giảm đi 1 và số túi tăng lên 1, suy ra tổng số sỏi và túi không thay đổi sau mỗi bước, tổng này là 2021
Giả sử sau một số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi, khi đó tổng số sỏi và túi phải chia hết cho 3.
Do không chia hết cho 3 nên mâu thuẫn, suy ra giả sử sai
Vậy không thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi sau một số bước .