Đề thi thử trung học phổ thông quốc gia năm 2016 môn: Toán học thời gian: 180 phút

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC Môn: TOÁN
ĐỀ THI THỬ LẦN 2 Thời gian: 180 phút
Câu 1: (2,0 điểm).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 23 2y x x   (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1.
Câu 2: (1,0 điểm).
a) Giải phương trình 9
3
22log 1 logx x  .
b) Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 4z z i   .
Câu 3: (1,0 điểm). Tính tích phân  2
1
4 3 .lnI x xdx  .
Câu 4: (1,0 điểm).
a) Cho  là góc thỏa mãn 2sin cos 2   . Tính sin 2P  .
b) Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X. Ban quản lý
chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ở quầy C. Mỗi mẫu
thịt này có khối lượng như nhau và để trong các hộp kín có kích thước giống hệt nhau. Đoàn kiểm tra
lấy ra ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt lợn có chứa hóa chất “Super tạo nạc”
(Clenbuterol) hay không. Tính xác suất để 3 hộp lấy ra có đủ ba loại thịt ở các quầy A, B, C.
Câu 5: (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z    ,
đường thẳng 1 3: 2 3 2
x y zd    và điểm (2;1; 1)I  . Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với
mặt phẳng ( )P . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho 11IM  .
Câu 6: (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là
điểm 3 1;2 2K
     , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình là
3 4 5 0x y   và 2 0x y  . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 7: (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều,
3SC SD a  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và
(SBC).
Câu 8: (1,0 điểm). Giải phương trình 4 232 16 9 9 2 1 2 0x x x x      trên tập số thực.
Câu 9: (1,0 điểm). Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 4a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức 2 2 2 2 2 2
3 3 3a b cP b c c a a b     .
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI KỲ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC Môn: TOÁN
ĐỀ THI THỬ LẦN 2 HƯỚNG DẪN CHẤM
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu
1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 23 2y x x   . 1.0điểm
1. Tập xác định .D  
2. Sự biến thiên
- Đạo hàm 2 2 0' 3 6 , ' 0 3 6 0 2
xy x x y x x x
         .
Bảng xét dấy y’
 Hàm số đồng biến trên các khoảng    ;0 ; 2;  .
Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;2 .
Hàm số đạt cực đại 0,x  d 2cy  . Hàm số đạt cực tiểu tại 2,x  2cty  
0.25
- Giới hạn, tiệm cận
3
3
3 2lim lim 1
x x
y x x x 
        ,
3
3
3 2lim lim 1
x x
y x x x 
       
 đồ thị hàm số không có tiệm cận.
0.25
- Bảng biến thiên
0.25
3. Đồ thị 0.25
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
'' 6 6 '' 0 1y x y x     
1 0x y  
Đồ thị hàm số có điểm uốn
 1;0U
1 2x y    
3 2x y  
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1.x   1.0
Với    3 21 1 3 1 2 2x y         
Tiếp điểm ( 1; 2)M   . 0.25
Ta có      22' 3 6 ' 1 3 1 6 1 9y x x y        
Hệ số góc của tiếp tuyến 9k  . 0.25
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm ( 1; 2)M   có hệ số góc 9k  là:
 9 1 2 9 7y x y x      0.25
Vậy tiếp tuyến cần tìm là 9 7y x  0.25
Câu
2
1.0
điểm
a) Giải phương trình 9
3
22log 1 logx x  . 0.5
Điều kiện 01
x
x
  .
Đặt 3 9 1log , ( 0) log 2t x t x t    . Ta được phương trình ẩn t
2 11 2 22. 1 1 2 0 22
tt t t t tt t
            
0.25
Với 31 log 1 3t x x     .
Với 23 12 log 2 3 9t x x
        .
Kết luận: Phương trình có tập nghiệm 1 ;3 .9S
    
0.25
b) Tìm môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 4z z i   . 0.5
Đặt , ( , ) 2 2 2z x yi x y z x yi z x yi           .
Khi đó phương trình đã cho trở thành 0.25
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
2 2 3 4
3 3 4
3
3 4
3
4
3
x yi x yi i
x yi i
x
y
x
y
    
    
   
   
Vậy   224 4 97 973 33 3 9 3z i z
            0.25
Câu
3 Tính tích phân  
2
1
4 3 .lnI x xdx  . 1.0điểm
Đặt   2
1ln
4 3 2 3
u x du dxxdv x dx v x x
       
. Khi đó 0.25
  2 222 1 1
2 32 3 ln x xI x x x dxx
    0.25
     22 2
1
2.2 3.2 ln 2 2.1 3.1 ln1 2 3x dx      0.25
 
   
 
22
1
2 2
14ln 2 0 3
14ln 2 0 2 3.2 1 3.1
 14 ln 2 10 4
 14 ln 2 6.
x x   
       
  
 
0.25
Câu
4
1.0
điểm
a) Cho  là góc thỏa mãn 2sin cos 2   . Tính sin 2P  . 0.5
Từ giả thiết 2sin cos 2   . Suy ra 0.25
 2 1 1sin cos 1 2sin .cos2 2       
1 12sin .cos sin 22 2       
Vậy 1sin 2 2P   
0.25
b) Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X. Ban quản lýchợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ở quầy C. 0.5
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Mỗi mẫu thịt này có khối lượng như nhau và để trong các hộp kín có kích thước giống hệt
nhau. Đoàn kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt lợn có
chứa hóa chất “Super tạo nạc” (Clenbuterol) hay không. Tính xác suất để 3 hộp lấy ra có đủ
ba loại thịt ở các quầy A, B, C.
Không gian mẫu  là tập hợp tất cả các tập con gồm 3 phần tử của tập hợp các hộp đựng
thịt gồm có 4 5 6 15   phần tử, do đó:   315 15! 455.12!.3!n C   
0.25
Gọi D là biến cố “Chọn được một mẫu thịt ở quầy A, một mẫu thịt ở quầy B, một mẫu thịt
ở quầy C”.
Tính  n D
Có 4 khả năng chọn được một hộp thịt ở quầy A.
Có 5 khả năng chọn được một hộp thịt ở quầy B.
Có 6 khả năng chọn được một hộp thịt ở quầy C. 0.25
Suy ra, có 4.5.6 120 khả năng chọn được 3 hộp đủ loại thịt ở các quầy A, B, C  120.n D 
Do đó: 120 24( ) .455 91P D  
Câu
5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z    , đường
thẳng 1 3: 2 3 2
x y zd    và điểm (2;1; 1)I  . Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc
với mặt phẳng ( )P . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho 11IM  .
1.0
điểm
Khoảng cách từ I tới (P) là
2 2 2
2 2.1 2.( 1) 1 3( ,( )) 131 ( 2) 2
d I P        
0.25
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) có bán kính ( ,( )) 1R d I P  có phương trình
     2 2 22 1 1 1.x y z      0.25
Từ giả thiết ta có
 
1 2
: 3 3 , .
2
x t
d y t t
z t
     

(1 2 ;3 3 ;2 )
M d
M t t t
 
  
(2 1;2 3 ;2 1)IM t t t    
0.25
Từ giaie thiết 11IM 
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
     
     
2 2 2
2 2 2
2
2 1 2 3 2 1 11
4 4 1 4 12 9 4 4 1 11
17 12 5 0
1
5
17
t t t
t t t t t t
t t
t
t
      
         
   
   
Với 1 1 (3;0;2)t M 
0.25
Với 5 7 66 10; ;17 17 17 17t M
      
Vậy, có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là :
 3;0;2M và 7 66 10; ;17 17 17M
    .
Câu
6
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm
3 1;2 2K
     , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình là
3 4 5 0x y   và 2 0x y  . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
1,0
điểm
Từ giả thiết, tọa độ của A là nghiệm của
hệ
3 4 5 0 1 (1;2)2 0 2
x y x Ax y y
         
Gọi M là trung điểm của BC 1/ /KM d .
Đường thẳng KM đi qua 3 1;2 2K
     và
có vec tơ chỉ phương  4;3u có phương
trình
 
3 42
1 32
x t
t
y t
       

0.25
Tọa độ của M là nghiệm của hệ
3 42 11 13 ( ;1)22 212 0
x t
xy t M
yx y
              
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Đường thẳng BC đi qua điểm 1( ;1)2M vuông góc với 1 : 3 4 5 0d x y   có phương trình
 
1 32
1 4
x m m
y m
     

0.25
 2 2 222 2
1( 3 ;1 4 )2
1 3 1 3 253 1 4 2 3 4 252 2 2 2 4
B m m
KB m m m m m
  
                           
Từ giả thiết, ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
2 2
2 3 1 501 2 .2 2 4AK
             
Mà
2 2 2
2 225 50 1 125 .4 4 4 2
BK AK CK
m m m
 
       
0,25
Với 21 12
xm y
     ta có điểm  2; 1 .
Với 11 32
xm y
      ta có điểm  1;3 .
Vậy tọa độ 2 đỉnh còn lại B và C có tọa độ là  2; 1 ,  1;3 . 0.25
Câu
7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều,
3SC SD a  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC).
1.0
điểm
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có
0.25
Gọi I là trung điểm của AB; J là
trung điểm của CD từ giả thiết ta
có IJ a ; 32
aSI 
và
2
2 2 2 113 4 2
a aSJ SC JC a    
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
 
2 2
22 2 2 2
2
3 11
34 4cos 02. . 33 32. . 2
a aaIJ IS SJ aSIJ IJ IS a aa
        
Suy ra, tam giác SIJ là tam giác có SIJ tù.
Từ giả thiết tam giác SAB đều và tam giác SCD là cân đỉnh S. Gọi H là hình chiếu của S
trên (ABCD), ta có H thuộc IJ và I nằm giữa HJ tức là tam giác vuông SHI có  090H  ; góc
I nhọn và   3cos cos cos 3I SIH SIJ   
 (SIJ và SIH kề bù)   6sin .3SIH  0.25
Xét tam giác SHI ta có  3 6 2sin .2 3 2
a aSH SI SIH  
Vậy
3
2
.
1 1 2 2. . .3 3 2 6S ABCD ABCD
a aV S SH a  
Từ giả thiết giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng d qua S và song
song với AD. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt DA và CB
kéo dài tại M, N. Theo định lý ba đường vuông góc ta có
, ;SN BC SM AD SM d SN d MSN      là góc giữa hai mặt phẳng. (SBC) và (SAD),
MN AB a  .
0.25
Xét tam giác HSM vuông tại H có
2 2
2 22 2 3,2 2 4 4 2
a a a a aSH HM SM SH HM SN        
Theo định lý cosin cho tam giác SMN cân tại S có

2 2 2
22 2 2
2 2
3 3
14 4 2cos 3 32 . 32 4 2
a a aaSM SN MNMSN a aSM SN
      .
0.25
Câu
8 Giải phương trình
4 232 16 9 9 2 1 2 0x x x x      trên tập số thực. 1.0điểm
Điều kiện 12x  , phương trình đã cho tương đương
0.25     
     
4 2 2
2 2
2
32 32 16 16 7 7 9 9 2 1 0
32 1 16 1 7( 1) 9 1 2 1 0
9 2 232 1 ( 1) 16 1 7( 1) 01 2 1
x x x x x x
x x x x x x
xx x x x x x x
        
         
         
 
 
2
3 2
181 32 ( 1) 16 7 01 2 1
181 32 32 16 7 0 (*)1 2 1
x x x x x
x x x x x
          
          
0.25
Ta có 0.25
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
3
2 3 2
3 2
3232 48
1 3232 8 32 32 16 7 272 4
1616 82
181 2 1 1 181 2 1
1832 32 16 7 9 0.1 2 1
x
x x x x x
x
x x
x x x x
            
       
       
Vậy (*) 1x  .
Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1. 0.25
Câu
9
Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 4a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức 2 2 2 2 2 2
3 3 3a b cP b c c a a b     .
1.0
điểm
Từ giả thiết  2 2 2 4 , , 0;2, , 0
a b c a b ca b c
      
và 2 2 2 2 2 24 4a b c b c a       
0.25Do đó
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
a b c a b c a b cP b c c a a b a b c a a b b c c                
Vì , , 0a b c  .
Xét hàm số   34f x x x  với  0;2x . Có
   2 2 3' 4 3 ' 0 , (0) 0, (2) 03f x x f x x f f
        .
Ta có bảng biến thiên của hàm số  f x trên  0;2 là
32 3 2 3 2 3 16 343 3 3 9f
              
Từ bảng biến thiên ta có  16 30 ( ) , 0;2 .9f x x   
0.25
Tức  2 23 3 316 3 1 9 3 9 30 4 , 0;29 4 416 3 16 3
x xx x xx x x x          . 0.25
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Dấu “=” khi 2 33x  .
Áp dụng ta có
 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 33 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 9; ; , ( , , 0;2 )4 16 4 16 4 1616 3 16 3 16 3
a a a b b b c c c a b ca a b b c c        
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được
 2 2 2 2 2 29 9 9 9 916 16 16 16 4a b cP a b c       .
Và dấu “=” xảy ra 2 33a b c    .
Vậy 9min 4P  đạt được, khi và chỉ khi
2 3
3a b c   .
0.25
Chú ý:
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách
nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định.
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng
dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo.
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả.
4) Với bài hình học (Câu 8) nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.