Đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 môn Toán - Lần thứ 1 - Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề

Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh 
Hµ néi 
N¨m häc 2014 - 2015 
®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015 
M«n thi: To¸n - LÇn thø 1 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò 
-------------- Ngµy 8.2.2015 -------------- 
Câu 1 (2,0 ñiểm). Cho hàm số ( )4 23 2y x m x m= + − + − (1), với m là tham số thực. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 1m = . 
b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn ñiểm phân biệt có hoành ñộ nhỏ hơn 2. 
Câu 2 (1,0 ñiểm). 
a) Giải phương trình 2 23cos sin 1 cos sin 2 sinx x x x x+ − = + − . 
b) Giải phương trình ( )327 33
1
log log ( 2) 1 log 4 3
2
x x x+ + = + − . 
Câu 3 (1,0 ñiểm). Tính tích phân 
2
1
1
ln .
e
x
I xdx
x
+
= ∫ 
Câu 4 (1,0 ñiểm). 
a) Cho số phức z thỏa mãn ñiều kiện ( ) 12 5
1
i
i z i
i
−
+ + = −
+
. Tìm môñun của số phức 21w z z= + + . 
b) Có hai thùng ñựng táo. Thùng thứ nhất có có 10 quả (6 quả tốt và 4 quả hỏng). Thùng thứ hai có 8 
quả (5 quả tốt và 3 quả hỏng). Lấy ngẫu nhiên mỗi thùng một quả. Tính xác suất ñể hai quả lấy ñược có 
ít nhất một quả tốt. 
Câu 5 (1,0 ñiểm). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho hai ñiểm (1; 1;2), (3;0; 4)A B− − và mặt 
phẳng ( ) : 2 2 5 0P x y z− + − = . Tìm tọa ñộ giao ñiểm của ñường thẳng AB và mặt phẳng ( )P . Lập 
phương trình mặt phẳng ( )Q chứa ñường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng ( ).P 
Câu 6 (1,0 ñiểm). Cho hình chóp .S ABCD có ñáy là hình chữ nhật, , 2AB a AD a= = . Tam giác SAB 
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng 
( )ABCD bằng 045 . Gọi M là trung ñiểm của SD . Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABCD và 
khoảng cách từ ñiểm M ñến mặt phẳng ( )SAC . 
Câu 7 (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15. ðường 
thẳng AB có phương trình 2 0x y− = . Trọng tâm của tam giác BCD là ñiểm 
16 13
;
3 3
G
 
 
 
. Tìm tọa ñộ 
bốn ñỉnh của hình chữ nhật biết ñiểm B có tung ñộ lớn hơn 3. 
Câu 8 (1,0 ñiểm). Giải hệ phương trình 
3 2
2
2 3 2 3 2
 ( , ).
3 0
x y y x y y
x y
x y y
 − + + = +
∈
− + + =
ℝ 
Câu 9 (1,0 ñiểm). Cho các số thực , a b không âm và thỏa mãn: ( ) ( ) ( )2 23 2 1 5a b ab a b+ + + ≥ + . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2 23 3 2( )T a b a b a b ab= + − + + + − . 
---------------- Hết ---------------- 
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: ..; Số báo danh:  
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
 1/4 
Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh 
Hµ néi 
Năm học 2014 – 2015 
®¸p ¸n – thang ®iÓm 
®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015 
M«n thi: To¸n – LÇn thø 1 
--------------- ðáp án có 04 trang -------------- 
Câu ðáp án ðiểm 
a) (1,0 ñiểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số 4 22 1y x x= − + 
Tập xác ñịnh: D = R . lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞ 
ðạo hàm: 3' 4 4y x x= − ; ' 0 0y x= ⇔ = hoặc 1x = ± . 
0,25 
Các khoảng ñồng biến: ( ) ( )1;0 ; 1;− +∞ . Khoảng nghịch biến: ( ) ( ); 1 ; 0;1−∞ − 
Cực trị: Hàm số ñạt cực tiểu tại 1x = ± , 0CTy = ; ñạt cực ñại tại 0x = , yCð = 1. 
0,25 
Bảng biến thiên: 
x −∞ -1 0 1 +∞ 
y' - 0 + 0 - 0 + 
y +∞ 1 +∞ 
 0 0 
0,25 
ðồ thị: (Hs có thể lấy thêm ñiểm ( 2;9); (2;9)− ) 0,25 
b) (1,0 ñiểm) Tìm m ñể ñồ thị (1) cắt trục hoành tại bốn ñiểm phân biệt có hoành ñộ nhỏ hơn 2. 
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm ( )4 23 2 0x m x m+ − + − = (1) 
ðặt ( )2 20 3 2 0t x t m t m= ≥ ⇒ + − + − = (2) 
0,25 
ðể (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt 0, 0, 0S P⇔ ∆ > > > 
2; 1m m⇔ < ≠ . 
0,25 
ðiều kiện: Phương trình (2) phải có nghiệm thỏa mãn ñiều kiện 1 20 , 4t t< < 
Phương trình (2) có 1 1t = (thỏa mãn), 2 2t m= − 
0,25 
1 
(2,0ñ) 
ðiều kiện: 2 4 2m m− − 
ðáp số: 2 2, 1m m− < < ≠ . 0,25 
a) (0,5 ñiểm) Giải phương trình 2 23cos sin 1 cos sin 2 sinx x x x x+ − = + − . 
Phương trình ñã cho tương ñương với 22cos cos sin 2sin cos 0x x x x x− + − = 
( )( )2cos 1 cos sin 0x x x⇔ − − = 0,25 
• ( )cos sin 0 tan 1 ,
4
x x x x k k
π
π− = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ 
• 
1
2cos 1 0 cos 2 ,
2 3
x x x k k
π
π− = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ℤ 
Vậy phương trình ñã cho có nghiệm: , 2 ,
4 3
x k x k k
π π
π π= + = ± + ∈ℤ . 
0,25 
b) (0,5 ñiểm) Giải phương trình ( )327 33
1
log log ( 2) 1 log 4 3
2
x x x+ + = + − 
2 
(1,0ñ) 
ðiều kiện: 
4
0
3
x< < . Phương trình ñã cho tương ñương với 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3log log 2 log 3 log 4 3 log 2 log 3 4 3x x x x x x+ + = + − ⇔  +  =  −     
0,25 
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
 2/4 
( ) ( ) 2
1( )
2 3 4 3 11 12 0
12( )
x tm
x x x x x
x L
=
⇔ + = − ⇔ + − = ⇔  = −
ðáp số: 1x = . 
0,25 
Tính tích phân 
2
1
1
ln .
e x
I xdx
x
+
= ∫ 
2
1 1
1 1
ln ln
e e
I xdx xdx A B
x x
= + = +∫ ∫ 
1 1
1
ln ln (ln )
e e
A xdx xd x
x
= =∫ ∫ 
0,25 
21 1ln
12 2
e
A x= = . 0,25 
2
1
1
ln ;
e
B xdx
x
= ∫ ðặt 2
1 1 1
ln ' ; 'u x u v v
x x x
= ⇒ = = ⇒ = − 
2
1
1 1 1 1
ln ln
1 1 1
ee e e
B x dx x
x x x x
= − + = − −∫ 
0,25 
3 
(1,0ñ) 
1 1 2 2
1 1
e
B
e e e e
− = − − − = − + = 
 
1 2 3 4
2 2
e e
I A B
e e
− −
= + = + = . ( 0,764)I ∼ (Hs cũng có thể tính ngay 
2
1
ln ; '
x
u x v
x
+
= = ) 
0,25 
a) (0,5 ñiểm) Cho ( ) 12 5
1
i
i z i
i
−
+ + = −
+
. Tìm môñun của số phức 21w z z= + + . 
Phương trình ñã cho tương ñương với ( )2 5i z+ = 5 2
2
z i
i
⇔ = = −
+
 0,25 
Từ ñó 21 6 5w z z i= + + = − . Suy ra | | 36 25 61w = + = . 0,25 
b) (0,5 ñiểm) Tính xác suất có ít nhất 1 quả tốt 
Gọi A là biến cố “Có ít nhất 1 quả tốt”, suy ra A là biến cố: “Cả 2 quả ñều hỏng” 
Số biến cố ñồng khả năng: 10.8 = 80 
Số cách chọn 2 quả hỏng: 1 14 3. 4.3 12C C = = 
0,25 
4 
(1,0ñ) 
Xác suất của biến cố A là: ( ) 12 3
80 20
p A = = 
Suy ra, xác suất của biến cố A là: ( ) ( ) 31 1
20
p A p A= − = − =
17
20
. 
0,25 
Cho (1; 1;2), (3;0; 4)A B− − , ( ) : 2 2 5 0P x y z− + − = 5 
(1,0ñ) 
ðường thẳng AB ñi qua ñiểm A và có vtcp ( )2;1; 6AB = −

Phương trình tham số của AB là 
1 2
1 ( )
2 6
x t
y t t
z t
= +

= − + ∈
 = −
R . 
0,25 
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
 3/4 
Gọi ( )( ) 1 2 ; 1 ;2 6I AB P I AB I t t t= ∩ ⇒ ∈ ⇒ + − + − 
1
( ) (1 2 ) 2( 1 6 ) 2(2 6 ) 5 0
6
I P t t t t∈ ⇒ + − − + + − − = ⇒ = 
Suy ra tọa ñộ giao ñiểm của AB và ( )P là ñiểm 
4 5
; ;1
3 6
I  − 
 
. 
0,25 
Mặt phẳng ( )Q qua A và có vtpt ,Q Pn AB n =  
  
, trong ñó Pn

 là vtpt của ( )P 
Ta có ( )1; 2;2Pn = −

0,25 
Suy ra ( ), 10;10;5PAB n  = 
 
. Chọn ( )2;2;1Qn =

Phương trình mặt phẳng ( ) : 2( 1) 2( 1) 1( 2) 0Q x y z− + + + − = ⇔ 2 2 2 0x y z+ + − = . 
0,25 
Cho hình chóp .S ABCD có ñáy là hình chữ nhật, , 2AB a AD a= = ... 
Gọi H là trung ñiểm của ( )AB SH AB SH ABCD⇒ ⊥ ⇒ ⊥ , 
suy ra HC là hình chiếu của SC lên ( )  045ABCD SCH⇒ = . 
22ABCDS a= 
0,25 
2
2 174
4 2
a a
SH HC a= = + = 
2
.
1 1 17
. . . .2
3 3 2S ABCD ABCD
a
V SH S a= = =
3 17
3
a
. 
0,25 
( ) ( ) ( ) ( )1 1,( ) ,( ) ,( ) ,( )
2 2
d M SAC d D SAC d B SAC d H SAC= = = 
Kẻ ( ), ( ) ,( )HI AC HK SI HK AC HK SAC d H SAC HK⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . 
0,25 
6 
(1,0ñ) 
Kẻ 
1
2
BE AC HI BE⊥ ⇒ = . 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 2
4 4 5 5
a a
BE HI
BE BA BC a a a
= + = + = ⇒ = ⇒ = 
Từ ñó suy ra ( )2 2 2 2 2 2
1 1 1 5 4 89 17
,( )
17 17 89
a
d M SAC
HK HI HS a a a
= + = + = ⇒ = =
1513
89
a
. 
0,25 
Trong mặt phẳng tọa ñộ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15 
Ta có 
10 3 10
( , ) . 5 3 5
23 5 3 5
d G AB BC AB= ⇒ = = ⇒ = 
ðường thẳng d qua G và vuông góc với : 2 15 0AB d x y⇒ + − = 
0,25 
Gọi ( )6;3N d AB N= ∩ ⇒ . Suy ra 1 5
3
NB AB= = 0,25 
Gọi ( ) ( )2 2
2( )
2 ; 5 6 8 0 8;4
4
b L
B b b AB NB b b B
b
=
∈ ⇒ = ⇔ − + = ⇒ ⇒ =
Ta có ( )3 2;1BA BN A= ⇒
 
0,25 
7 
(1,0ñ) 
( )3 7;6
2
AC AG C= ⇒
 
. ( )1;3CD BA D= ⇒
 
ðáp số: ( ) ( ) ( ) ( )2;1 , 8;4 , 7;6 , 1;3A B C D . 
0,25 
A D
B C
S
H E
I
K
I
G
A B
D CK
N
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
VN
.co
m
 4/4 
Giải hệ phương trình 
3 2
2
2 3 2 3 2 (1)
 ( , ).
3 0 (2)
x y y x y y
x y
x y y
 − + + = +
∈
− + + =
ℝ 
ðiều kiện: ( )23 40,(1) 2 2 3 2 ( 3) 3y x x y y y y y y y y x≥ ⇒ − + = + − + + = + − = 
( ) ( ) ( ) ( )( )224 3 2 2 2 22 2 0 2 0 2 0x x x y y x y x x y x x y x y⇒ − + − = ⇔ − − − = ⇔ − + − = 
0,25 
• 2y x= : 2 2(2) 3 2x x⇔ + = 
4 2 24 3 0 1 ( ; ) (1; 1),( 1; 1)x x x x y⇔ − − = ⇔ = ⇒ = − . 
0,25 
• 22 :y x x= − (3) ( )22(2) 3 2 2x x x⇔ + − = 
3 2
4 3 3 2
0 1
( 1)( 3 3 3) 0
4 3 0 3 3 3 0
x x
x x x x
x x x x x
≥ = 
⇔ ⇒ − − − − = ⇔ 
− + = − − − = 
0,25 
8 
(1,0ñ) 
1 1.x y= ⇒ = 3 2 23 3 3 0 ( 3) 3 3 0x x x x x x− − − = ⇔ − − − = (4) 
Từ (3) suy ra 22 0 0 2x x x− ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇒ (4) vô nghiệm. 
ðáp số: ( ; ) (1; 1), ( 1; 1).x y = − 
0,25 
( ) ( ) ( )2 2, 0 : 3 2 1 5a b a b ab a b≥ + + + ≥ + . Tìm max: ( ) ( )2 23 3 2T a b a b a b ab= + − + + + − 
Ta có ( ) ( ) ( )2 22 23( ) 2( 1) 5( ) 2 3 3 2a b ab a b a b a b a b+ + + ≥ + ⇔ + + − ≤ + + 
Vì ( )23 0 ,a b a b− ≥ ∀ ( ) ( )22 3 2a b a b⇒ + ≤ + + 
ðặt 2
1
0 2 3 2 0 2
2
t a b t t t= + ≥ ⇒ − − ≤ ⇒ − ≤ ≤ . Vì 0 0 2t t≥ ⇒ ≤ ≤ . 
0,25 
Ta có ( ) ( ) ( )
2
2 22 23 2 1 1 3 1
2
a b
T ab a b a b a b a b a b
+ = + + − + + − + − ≤ + + − + + 
 
[ ]23 3 1 ( ), 0;2
4
T t t f t t⇒ ≤ − + + = ∈ 
0,25 
Ta có 
3 3 3 1
'( ) .
2 22
t t
f t t
t t
−
= − + = − 
'( ) 0 1f t t= ⇔ = 
0,25 
9 
(1,0ñ) 
13
(0) 1; (1) ; (2) 3 2 2
4
f f f= = = − 
Từ ñó: 
[ ]0;2
13 1
1 .
4 2t
MaxT t a b
∈
= ⇔ = ⇔ = = 
0,25 
-------------------- Hết -------------------- 
Lưu ý: - Học sinh làm theo cách khác, nếu ñúng vẫn cho ñiểm tối ña. 
- Học sinh trình bày khác, song vẫn ñủ ý, không có dấu hiệu làm tắt thì không trừ ñiểm. 
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh 
Hµ néi 
N¨m häc 2014 - 2015 
®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015 
M«n thi: To¸n - LÇn thø 2 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò 
-------------- Ngµy 29.3.2015 -------------- 
Câu 1 (2,0 ñiểm). Cho các hàm số 3 23 2y x mx= − + ( mC ), 2 ( )y x d= − + , với m là tham số thực. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( mC ) khi 1m = . 
b) Tìm các giá trị của m ñể ( mC ) có hai ñiểm cực trị và khoảng cách từ ñiểm cực tiểu của ( mC ) ñến ñường 
thẳng ( )d bằng 2 . 
Câu 2 (1,0 ñiểm). 
a) Giải phương trình ( ) ( )sin 2sin 1 cos 2cos 3x x x x+ = + . 
b) Giải phương trình ( )3log 3 6 3x x− = − . 
Câu 3 (1,0 ñiểm). Tính tích phân 
( )
2
2
0
sin 2
.
sin 2
x
I dx
x
π
=
+∫
Câu 4 (1,0 ñiểm). 
a) Gọi 1 2, z z là hai nghiệm phức của phương trình 
2 4 9 0z z− + = ; , M N lần lượt là các ñiểm biểu diễn 
1 2, z z trên mặt phẳng phức. Tính ñộ dài ñoạn thẳng .MN 
b) Một tổ có 7 học sinh (trong ñó có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam). Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh ñó 
thành một hàng ngang. Tìm xác suất ñể 3 học sinh nữ ñứng cạnh nhau. 
Câu 5 (1,0 ñiểm). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm (3;6;7)I và mặt phẳng 
( ) : 2 2 11 0P x y z+ + − = . Lập phương trình mặt cầu ( )S tâm I và tiếp xúc với ( ).P Tìm tọa ñộ tiếp 
ñiểm của ( )P và ( )S . 
Câu 6 (1,0 ñiểm). Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có ñáy ABC là tam giác vuông tại B ; 

 0, 30AB a ACB= = ; M là trung ñiểm cạnh AC . Góc giữa cạnh bên và mặt ñáy của lăng trụ bằng 060 . 
Hình chiếu vuông góc của ñỉnh 'A lên mặt phẳng ( )ABC là trung ñiểm H của BM . Tính theo a thể tích 
khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách từ ñiểm 'C ñến mặt phẳng ( ').BMB 
Câu 7 (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ ,Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D ; diện tích 
hình thang bằng 6; 2CD AB= , (0;4)B . Biết ñiểm (3; 1), (2;2)I K− lần lượt nằm trên ñường thẳng AD và 
DC . Viết phương trình ñường thẳng AD biết AD không song song với các trục tọa ñộ. 
Câu 8 (1,0 ñiểm). Giải hệ phương trình 
2 3
2 3
( 3 3) 2 3 1
 ( , ).
3 1 6 6 2 1
x x x x y y
x y
x x x y
 + − + = + + + +
∈
− − − + = + +
ℝ 
Câu 9 (1,0 ñiểm). Cho các số thực , x y dương và thỏa mãn 1 0x y− + ≤ . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 2
22 4
3 2
5 5
x y x y
T
x yx y
+ +
= −
++
. 
---------------- HẾT ---------------- 
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: ..; Số báo danh:  
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
TH
VN
.co
m
 1/4
Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh 
Hµ néi 
Năm học 2014 – 2015 
®¸p ¸n – thang ®iÓm 
®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015 
M«n thi: To¸n – LÇn thø 2 
--------------- ðáp án có 04 trang -------------- 
Câu ðáp án ðiểm 
1 
(2,0ñ) 
a) (1,0 ñiểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số 3 23 2y x x= − + 
Tập xác ñịnh: D = R . lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞ 
ðạo hàm: 2' 3 6y x x= − ; ' 0 0y x= ⇔ = hoặc 2x = . 
0,25 
Khoảng ñồng biến: ( ) ( );0 ; 2;−∞ +∞ . Khoảng nghịch biến: ( )0;2 
Cực trị: Hàm số ñạt cực tiểu tại 2x = , 2CTy = − ; 
ñạt cực ñại tại 0x = , yCð = 2. 
0,25 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 0 2 +∞ 
y' + 0 - 0 + 
y 2 +∞ 
−∞ -2 
0,25 
ðồ thị: (Hs có thể lấy thêm ñiểm ( 1; 2); (1;0); (3;2)− − ). 0,25 
b) (1,0 ñiểm) Tìm các giá trị của m ñể ( mC ) có k/c ñiểm cực tiểu của ( mC ) ñến ( )d bằng 2 . 
2' 3 6 3 ( 2 )y x mx x x m= − = − . ' 0 0; 2y x x m= ⇔ = = 
ðiều kiện ñể hàm số có hai cực trị là 0m ≠ . 0,25 
Tọa ñộ hai ñiểm cực trị: (0;2)A và 3(2 ;2 4 )B m m− . 0,25 
• 0 :m < A là ñiểm cực tiểu. Khi ñó ( , ) 0 2d A d = ≠ (loại). 0,25 
• 0 :m > B là ñiểm cực tiểu. Khi ñó: 
3
3
3
2 1 1( )
( , ) 2 | 2 | 1
1( )2 1
m m m tm
d B d m m
m ktmm m
 − = =
= ⇔ − = ⇔ ⇔  = −− = − 
ðáp số: 1m = . 
0,25 
2 
(1,0ñ) 
a) (0,5 ñiểm) Giải phương trình ( ) ( )sin 2sin 1 cos 2cos 3x x x x+ = + . 
Phương trình ñã cho tương ñương với 
( )2 2 1 3sin 3 cos 2 cos sin sin 3 cos 2cos 2 sin cos cos 2
2 2
sin sin 2 .
3 2
x x x x x x x x x x
x x
π π
− = − ⇔ − = ⇔ − =
   ⇔ − = −   
   
 0,25 
• ( )5 22 2 ,
3 2 18 3
x x k x k k
π π π π
π− = − + ⇔ = + ∈ℤ . 
• ( )52 2 2 ,
3 2 6
x x k x k k
π π π
π π− = + + ⇔ = − + ∈ℤ . 
Vậy phương trình ñã cho có nghiệm: 
5 2 5
, 2 ,
18 3 6
x k x k k
π π π
π= + = − + ∈ℤ . 
0,25 
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
 2/4
b) (0,5 ñiểm) Giải phương trình ( )3log 3 6 3x x− = − 
ðiều kiện: 3log 6x > . Phương trình ñã cho tương ñương với 
3 273 6 3 3 6
3
x x x
x
−− = ⇔ − = . ðặt 2
27
3 0 6 6 27 0xt t t t
t
= > ⇒ − = ⇔ − − = 
0,25 
9
3( )
t
t l
=
⇔  = −
 Với 9 3 9 2xt x= ⇒ = ⇔ = (tmñk). 
ðáp số: 2x = . 
0,25 
3 
(1,0ñ) 
Tính tích phân 
( )
2
2
0
sin 2
.
sin 2
x
I dx
x
π
=
+∫
( ) ( )
2 2
2 2
0 0
sin 2 2sin cos
.
sin 2 sin 2
x x x
I dx dx
x x
π π
= =
+ +∫ ∫
ðặt sin cost x dt xdx= ⇒ = . 0 0;x t= ⇒ = 1.
2
x t
π
= ⇒ = 
0,25 
( )
1
2
0
2
2
tdt
I
t
=
+∫ ( ) ( )
1 1 1
2 2
0 0 0
2 2
2 2 4
22 2
t dt dt
dt
tt t
+ −
= = −
++ +∫ ∫ ∫
. 0,25 
1 11
2ln( 2) 4
0 02
I t
t
= + +
+
 0,25 
1 1
2(ln 3 ln 2) 4
3 2
I  = − + − = 
 
3 2
2ln
2 3
− . ( 0.144)I ≈ . 0,25 
4 
(1,0ñ) 
a) (0,5 ñiểm) Cho 2 4 9 0z z− + = . M, N biểu diễn 1 2,z z . Tính ñộ dài ñoạn MN. 
Phương trình ñã cho có 2' 4 9 5 5i∆ = − = − = nên có hai nghiệm 1,2 2 5z i= ± . 0,25 
Từ ñó (2; 5), (2; 5) 2 5M N MN− ⇒ = . 
ðáp số: 2 5MN = . 
0,25 
b) (0,5 ñiểm) Tính xác suất có 3 học sinh nữ cạnh nhau. 
Gọi A là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau” 
+ Số biến cố ñồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán vị là 7! 
+ Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau: 
Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có 5! cách sắp xếp. 
Với mỗi cách sắp xếp ñó lại có 3! cách hoán vị 3 học sinh nữ. Vậy có 5!.3! cách sắp xếp. 
0,25 
+ Xác suất của biến cố A là: ( ) 5!.3!
7!
p A = =
1
7
. ( ( ) 0.14)p A ≈ . 
(Cách 2: - - - - - - - 7 vị trí. Xếp 3 nữ cạnh nhau có 5 cách: (123)(567). Mỗi cách xếp lại có 3! cách 
hoán vị 3 nữ. Có 4! cách hoán vị 4 nam. Vậy P(A) = 5.3!.4!/7! = 1/7) 
0,25 
5 
(1,0ñ) 
Cho ( ) : 2 2 11 0P x y z+ + − = , (3;6;7)I 
Mặt cầu ( )S tâm I có bán kính 
| 3 12 14 11|
( , ( )) 6
3
R d I P
+ + −
= = = . 0,25 
Phương trình mặt cầu 2 2 2( ) : ( 3) ( 6) ( 7) 36S x y z− + − + − = . 0,25 
ðường thẳng ( )d qua I và vuông góc với ( )P có phương trình 
3
6 2 ( )
7 2
x t
y t t
z t
= +

= + ∈
 = +
R . 0,25 
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
 3/4
Giả sử ( ) ( ) (3 ) (12 4 ) (14 4 ) 11 0 9 18 0 2M d P t t t t t= ∩ ⇒ + + + + + − = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ (1;2;3)M . 0,25 
6 
(1,0ñ) 
Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có ñáy ABC là tam giác vuông tại B ;  0, 30AB a ACB= = ; 
' ( ) 'A H ABC A H⊥ ⇒ là ñường cao của hình lăng trụ. 
AH là hình chiếu vuông góc của 'AA lên ( )ABC  0' 60A AH⇒ = 
. ' ' ' .ABC A BC ABCV A H S= 
0,25 
3 3
2 , '
2 2
a a
AC a MA MB AB a AH A H= = = = ⇒ = ⇒ = . 
21 1 3
. . . . 3
2 2 2ABC
a
S BA BC a a= = = . 
2
. ' '
3 3
.
2 2ABC A BC
a a
V⇒ = =
33 3
4
a
. 
0,25 
( ) ( ) ( ) . '
'
3
',( ') , ( ') , ( ') A BMB
BMB
V
d C BMB d C BMB d A BMB
S
= = = . 
3
. ' '. . ' '
1 3
6 8A BMB B ABM ABC A BC
a
V V V= = = . 
0,25 
Do ( ')BM AHA⊥ nên ' 'BM AA BM BB⊥ ⇒ ⊥ ⇒ 'BMB∆ vuông tại B 
2
'
1 1 3
'. . 3.
2 2 2BMB
a
S BB BM a a⇒ = = = . 
Suy ra ( )
3 23 3 3
',( ') :
8 2
a a
d C BMB = =
3
4
a
. 
(Cách 2:  0
3 3
( , ( ')) .sin .sin 60
2 4
a a
d A BMB AE AH AHE= = = = ). 
0,25 
7 
(1,0ñ) 
 Trong mặt phẳng tọa ñộ ,Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D ; diện tích hình 
thang bằng 6; 2CD AB= , (0;4)B . (3; 1), (2;2)I K− . Viết phương trình ñường thẳng AD. 
Vì AD không song song các trục tọa ñộ nên gọi véc tơ pháp tuyến của AD là 
(1; ), 0;n b b= ≠

 suy ra: Phương trình :1( 3) ( 1) 0AD x b y− + + = . 
 Phương trình : ( 4) 0AB bx y− − = . 
0,25 
3 3
. . . ( , ). ( , )
2 2 2ABCD
AB CD AB
S AD AD d B AD d K AB
+
= = = 
2 2
3 | 3 5 | |2 2|
. .
2 1 1
b b
b b
− + +
=
+ +
. 
0,25 
2
2 2
1
| 3 5 | | 1| 5
6 3 . 6 | 5 3 | . | 1| 2( 1)
31 1
1 2 2
7
ABCD
b
b b
S b b b b
b b
b

 =

− + + = ⇔ = ⇔ − + = + ⇔ = −+ + 
− ± =
. 0,25 
ðáp số: 2 0;3 5 14 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0x y x y x y x y+ − = − − = − + − − = − − + − = . 0,25 
8 
(1,0ñ) Giải hệ phương trình 
2 3
2 3
( 3 3) 2 3 1 (1)
 ( , ).
3 1 6 6 2 1 (2)
x x x x y y
x y
x x x y
 + − + = + + + +
∈
− − − + = + +
ℝ 
A C
A' C'
B
B'
M
H
A
C
A'
C'
B
B'
M
H
Q
P
E
I
K
A B
D C
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
TH
VN
.co
m
 4/4
ðiều kiện: 1 3 3; 3 3; 3x x y≤ ≤ − ≥ + ≥ − 
( )33 3 3(1) 1 ( 1) 1 2 2 1x x y y⇔ − + − + = + + + + 
0,25 
Xét hàm 3( ) 1, 1f t t t t= + + ≥ − . Ta có 
2
3
3
'( ) 1 0 1
2 1
t
f t t
t
= + > ∀ > −
+
, suy ra ( )f t ñồng biến 
1t∀ ≥ − , suy ra 31 2x y− = + . 
0,25 
Thay vào (2) ta có 2 23 1 6 6 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 4( 1) 1 3 1x x x x x x x x− − − + = − + ⇔ − + + − − − + = − 
Do 1x = không thỏa mãn nên chia cả 2 vế cho 1 0x − > ta ñược: 
1 1
1 1 4 3
11
x x
xx
− + + − − + =
−−
. 
ðặt 2 2
2 2
31 5
1 2 6 3 6 3
26 (3 )1
t
t x t t t t t
t tx
≤
= − + > ⇒ + − = ⇒ − = − ⇔ ⇔ =
− = −− 
. 
0,25 
Với 
5 621 2
5 1 5
1 5 12712 21 1
4 642
x yx
t x
x yx x
 = ⇒ =− =
 = ⇒ − + = ⇒ ⇔  = ⇒ = −− − =
 
. 
ðáp số 
5 127
( ; ) (5;62), ( ; )
4 64
x y = − . 
0,25 
9 
(1,0ñ) Cho , 0 : 1 0x y x y> − + ≤ . Tìm max: 
2 2
22 4
3 2
5 5
x y x y
T
x yx y
+ +
= −
++
. 
Ta có 
2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 0
4 2 4
x
x y
y y y y
 
≤ − ⇒ < ≤ − = − − ≤ 
 
. ðặt 
2
1
0
4
x
t t
y
= ⇒ < ≤ 0,25 
Ta có 
2 2
2 2
2
2
3 2 1
1 3 1 2 1
. ( ) .
5 5 111
1
x x
t ty y
T T f t
x ttx
y
y
+ +
+ +
= − ⇒ = = −
++  +
+ 
 
 với 
1
0
4
t< ≤ . 
( ) ( )
232
1 3 1 1
'( ) .
5 11
t
f t
tt
−
= −
++
Nhận xét: ( )
( )
3
32
32
1 1 17 17 17 1 3 4
0 1 3 ; 1
4 4 16 16 16 171 17
16
t
t t t
t
− < ≤ ⇒ − ≥ + ≤ = ⇒ ≥ 
  +
Và 
2
1 1 1
.
5 ( 1) 5t
− > −
+
. Do ñó 
4 1
'( ) 0
517
17
16
f t > − > . 
0,25 
Từ ñó ( )f t ñồng biến 
1 1 13 6
(0; ] ( )
4 4 2517
t f t f
 ∀ ∈ ⇒ ≤ = − 
 
. 
0,25 
ðáp số: 
1
(0; ]
4
13 6 1
1; 2
25 417t
MaxT t x y
∈
= − ⇔ = ⇔ = = . 0,25 
-------------------- Hết -------------------- 
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh 
Hµ néi 
N¨m häc 2014 - 2015 
®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015 
M«n thi: To¸n - LÇn thø 3 
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò 
-------------- Ngµy 16.5.2015 -------------- 
Câu 1 (2,0 ñiểm). Cho hàm số 
3 2
1
x
y
x
−
=
−
. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) của hàm số ñã cho. 
b) Tìm các giá trị của m ñể ñường thẳng :d y x m= − + cắt ñồ thị (C ) tại hai ñiểm phân biệt. 
Câu 2 (1,0 ñiểm). 
a) Cho góc α thỏa mãn: 
3
2
π
π α< < và tan 2α = . Tính 2
5
sin sin sin 2
2 2
M
π π
α α α   = + + + −   
   
. 
b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: 
2
( 3) (2 )
i
i z i z
i
+
+ + = − . Tìm môñun của số phức w z i= − . 
Câu 3 (0,5 ñiểm). Giải bất phương trình: 2 0,5log ( 2) log 1x x− + < . 
Câu 4 (1,0 ñiểm). Giải bất phương trình: 3 2 3 22 4 5 3 4x x x x x x x− − > − + − − + . 
Câu 5 (1,0 ñiểm). Tính tích phân: ( )
2
0
cos 2 .I x x x dx
π
= +∫ 
Câu 6 (1,0 ñiểm). Cho hình chóp .S ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và B ; ;AB BC a= = 
2AD a= ; ( )SA ABCD⊥ . Góc giữa mặt phẳng ( )SCD và mặt phẳng ( )ABCD bằng 045 . Gọi M là trung 
ñiểm AD . Tính theo a thể tích khối chóp .S MCD và khoảng cách giữa hai ñường thẳng SM và BD . 
Câu 7 (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ ,Oxy cho tam giác ABC có phương trình ñường phân giác 
trong góc A là : 3 0d x y+ − = . Hình chiếu vuông góc của tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ABC lên 
ñường thẳng AC là ñiểm (1;4)E . ðường thẳng BC có hệ số góc âm và tạo với ñường thẳng AC góc 
045 . ðường thẳng AB tiếp xúc với ñường tròn ( )2 2( ) : 2 5C x y+ + = . Tìm phương trình các cạnh của tam 
giác ABC . 
Câu 8 (1,0 ñiểm). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm ( )1; 1;0A − và ñường thẳng 
1 1
:
2 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
. Lập phương trình mặt phẳng ( )P chứa A và d . Tìm tọa ñộ ñiểm B thuộc trục Ox 
sao cho khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng ( )P bằng 3 . 
Câu 9 (0,5 ñiểm). Trong ñợt xét tuyển vào lớp 6A của một trường THCS năm 2015 có 300 học sinh ñăng 
ký. Biết rằng trong 300 học sinh ñó có 50 học sinh ñạt yêu cầu vào lớp 6A. Tuy nhiên, ñể ñảm bảo quyền 
lợi mọi học sinh là như nhau, nhà trường quyết ñịnh bốc thăm ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh nói 
trên. Tìm xác suất ñể trong số 30 học sinh chọn ở trên có ñúng 90% số học sinh ñạt yêu cầu vào lớp 6A. 
Câu 10 (1,0 ñiểm). Cho các số thực , a b dương và thỏa mãn 1ab ≥ . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 1 32
1 1 2 (1 ) 2 (1 ) 8
T
a b a a b b
= + −
+ + + + + +
. 
---------------- HẾT ---------------- 
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: ..; Số báo danh:  www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
 1/6
Tr−êng thpt l−¬ng thÕ vinh 
Hµ néi 
Năm học 2014 – 2015 
®¸p ¸n – thang ®iÓm 
®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015 
M«n thi: To¸n – LÇn thø 3 
--------------- ðáp án có 06 trang -------------- 
Câu ðáp án ðiểm 
1 
(2,0ñ) a) (1,0 ñiểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số 
3 2
1
x
y
x
−
=
−
. 
Tập xác ñịnh: D = R \{1} . lim 3; lim 3
x x
y y
→−∞ →+∞
= = suy ra tiệm cận ngang 3y = . 
1 1
lim ; lim
x x
y y
+ −→ →
= +∞ = −∞ suy ra tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số là ñường thẳng 1x = . 
ðạo hàm: 
( )2
1
' 0 1
1
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
. 
0,25 
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ . 
Hàm số không có cực trị. 
0,25 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 1 +∞ 
y' - - 
y 3 +∞ 
 −∞ 3 
0,25 
ðồ thị: (Hs có thể lấy ñiểm (2;4); (0;2) ). 0,25 
b) (1,0 ñiểm) Tìm các giá trị của m ñể :d y x m= − + cắt ñồ thị (C ) tại hai ñiểm phân biệt. 
Phương trình tương giao: 
3 2
1
x
x m
x
−
= − +
−
 ( 1)x ≠ 
2( ) (2 ) 2 0f x x m x m⇔ = + − + − = (1) 
0,25 
ðK: (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 
0
(1) 0f
∆ >
⇔ 
≠
 0,25 
2 4 12 0m m⇔ − − > 0,25 
6; 2m m⇔ > < . 0,25 
2 
(1,0ñ) a) (0,5 ñiểm) Cho tan 2α = . 
3
2
π
π α< < . Tính 2
5
sin sin sin 2
2 2
M
π π
α α α   = + + + −   
   
. 
Ta có 2 2
2
1 1 1 3
1 tan 1 4 5 cos cos 
cos 5 25
x
π
α α α π
α
 = + = + = ⇒ = ⇒ = − < < 
 
. 0,25 
2 2 2 2sin cos cos2 sin cos 2cos 1 cos cosM α α α α α α α α= + + = + + − = + =
1 1
5 5
− . 0,25 
b) (0,5 ñiểm) Cho 
2
( 3) (2 )
i
i z i z
i
+
+ + = − . Tìm môñun của số phức w z i= − . 
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
 2/6
Gọi ( )2 , , 1z a ib a b R i= + ∈ = − . Từ giả thiết ta có: 
( 3)( ) 1 2 (2 )( )
1
1 0 4
( 1) (2 5 2) 0 1 .4
2 5 2 0 5
5
i a bi i i a bi
a
a
a a b i z i
a b b
+ + + − = − −
= −+ = 
⇔ + + + − = ⇔ ⇔ ⇒ = − + 
+ − = = 
0,25 
Từ ñó: 
1 1
| | | 1 | 1
5 25
z i i− = − − = + =
26
5
. 0,25 
3 
(0,5ñ) 
Giải bất phương trình: 2 0,5log ( 2) log 1x x− + < . 
ðiều kiện: 2x > . 
Bpt ( )2 2 2
2 2
log 2 log 1 log 1 2
x x
x x
x x
− −
⇔ − − < ⇔ < ⇔ < 0,25 
2 2 2x x x⇔ − − . 
Kết hợp ñiều kiện ta ñược nghiệm của bpt là 2x > . 
0,25 
4 
(1,0ñ) Giải bất phương trình: 
3 2 3 22 4 5 3 4x x x x x x x− − > − + − − + . 
Bpt ( ) ( )2 22 2 1 2 ( 1)x x x x x x ⇔ − − > − + − − +  ( )0x ≥ . 
( )2( 2) | 2 | 1 1 2 1x x x x x ⇔ − + − + > + − +  
. (1) 
• 2 :x = (1) 0 2 2⇔ > (loại). 0 : (1) 2 2x = ⇔ − > − (loại). 
0,25 
• 2 :x > ( ) ( )2(1) ( 2) 1 1 1 2 1x x x x ⇔ − + + > + − +   
Chia 2 vế cho .( 2) 0x x − > ta ñược: 
( )2
1 1 1 1
(1) 1 1
2 2x xx x
⇔ + + > + +
− −
. 
Xét hàm 2
2
( ) 1 , 0 '( ) 1 0 0
1
t
f t t t t f t t
t
= + + > ⇒ = + > ∀ >
+
( )f t⇒ ñồng biến 0t∀ > 
1 1
(1)
2xx
⇔ >
−
. 
0,25 
22 5 4 0 4; 1x x x x x x⇔ − > ⇔ − + > ⇔ > < . 
Kết hợp 2 4x x> ⇒ > . 
0,25 
• 0 2 :x< < 
( ) ( )2(1) ( 2) 1 1 1 2 1x x x x ⇔ − − + > + − +   . 
Chia 2 vế cho .( 2) 0x x − < ta ñược: 
( )2
1 1 1 1
(1) 1 1
2 2x xx x
⇔ − + < − +
− −
. 
Xét hàm 
2
2
2 2
1
( ) 1 , '( ) 1 0 
1 1
t t t
f t t t t f t t
t t
+ −
= − + ∈ ⇒ = − = > ∀
+ +
R ( )f t⇒ ñồng biến t∀ . 
Từ ñó 
1 1
(1)
2xx
⇔ <
−
. Trường hợp này vô nghiệm vì 
1
0
2x
<
−
. 
ðáp số: 4x > . 
0,25 
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
 3/6
Cách 2: ðK 0x ≥ (mỗi dấu + ứng với ¼ ñiểm) 
0x = không là nghiệm. Xét 0 :x > 
+ ( )( )
2
3 2 3 2
5 4
(1) 2 1
4 5 3 4
x x
x x
x x x x x
− +
⇔ − + >
− + + − +
( )
3 2 3 2
1 1
( ) 4 0
2 4 5 3 4
x x
f x x
x x x x x x
 + −
⇔ = − + > 
+ − + + − + 
. 
+ Xét 
3 2 3 2
1 1
( )
2 4 5 3 4
x x
g x
x x x x x x
+ −
= +
+ − + + − +
 Nếu 1x ≥ thì ( ) 0g x > . 
+ Nếu 0 1:x ⇒ + > . Ta có: 
1 1 1
 (1)
22 2 2
x x
x x
+ +
> =
+ +
 ( )( )23 23 4 1 2 2 1 2 2x x x x x x x x− + = + − = − + > − = − 
 3 2 3 24 5 3 4 2x x x x x x⇒ − + + − + > − 
3 2 3 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 24 5 3 4
x x x x
x x x xx x x x x
− − − −
⇒ < = < =
− − + −− + + − +
3 2 3 2
1 1
 (2)
24 5 3 4
x
x x x x x
−
⇒ > −
− + + − +
. Từ (1) và (2) suy ra ( ) 0 0g x x> ∀ > . 
+ ( ) 0 4 0 4f x x x> ⇔ − > ⇔ > . Kết hợp ðK suy ra ñáp số: 4x > . 
5 
(1,0ñ) 
Tính tích phân: ( )
2
0
cos 2 .I x x x dx
π
= +∫ 
2 2
2
0 0
cos 2I x dx x xdx
π π
= +∫ ∫ . Ta có 
32
2 3 2
0
0
1
3 24
A x dx x
π
π π
= = =∫ . 0,25 
2
0
cos 2 .B x xdx
π
= ∫ ðặt 
1
' 1. ' cos 2 sin 2
2
u x u v x v x= ⇒ = = ⇒ = . 
2
2
0
0
1 1
sin 2 sin 2
2 2
B x x xdx
π
π
= − ∫ . 
0,25 
( )
2
0
1 1 1 1
0 cos2 1 1
2 2 4 2
x
π
 = − − = − − = − 
 
 0,25 
I A B= + =
3 1
24 2
π
− . ( 0,792)I ≈ . 0,25 
6 
(1,0ñ) 
.S ABCD ñáy là hình thang vuông tại A và B ; ;AB BC a= = 2AD a= ; ( )SA ABCD⊥ . Góc giữa 
( )SCD và ( )ABCD bằng 045 . M là trung ñiểm AD . Tính thể tích .S MCD , ( , )d SM BD 
Ta có ( ) ( ) .SCD ABCD CD∩ = 
 0, ( ) 45 .CD SA AC CD SAC SC CD SCA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 0,25 
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
m
 4/6
H
B
A
C
I
D
F
E
J
.
1
. .
3S MCD MCD
V SA S= . 2
1
2; .
2MCD
SA AC a S a= = = 
Suy ra 2.
1 1
. 2.
3 2S MCD
V a a= =
3 2
6
a
. 
0,25 
Gọi N là trung ñiểm AB //( )BD SMN⇒ . 
Suy ra: 
( , ) ( ,( )) ( ,( )) ( , ( ))d SM BD d BD SMN d D SMN d A SMN= = = . 
Kẻ 
( ) ( ),
( ) ( ,( ))
AP MN P MN AH SP H SP
AH SMN d A SMN AH
⊥ ∈ ⊥ ∈
⊥ ⇒ =
. 
0,25 
Tam giác vuông SAP có 
2 2 2
1 1 1
AH AS AP
= + 
22 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 11
2 2
4
aAS AN AM a a a
= + + = + + = 
Suy ra 
22
11
a
AH = ⇒
22
( , )
11
a
d SM BD = . 
0,25 
7 
(1,0ñ) 
Tam giác ABC có phân giác trong góc A là : 3 0d x y+ − = . Hình chiếu của tâm ñường tròn nội 
tiếp tam giác ABC lên AC là (1;4)E . BC có hệ số góc âm và tạo với ñường thẳng AC góc 045 . 
ðường thẳng AB tiếp xúc với ( )2 2( ) : 2 5C x y+ + = . Tìm phương trình các cạnh. 
Gọi F là ñiểm ñối xứng với E qua d ( 1;2)F⇒ − . Nhận xét: ( )C có tâm ( 2;0),I − bán kính 5R = 
và ( )F C∈ . 
Từ ñó AB qua F và vuông góc với IF nên có phương trình : 2 3 0AB x y+ − = . 
0,25 
(3;0)AB d A∩ = ⇒ : 2 6 0AC x y+ − = . 
Gọi J là tâm ñường tròn nội tiếp ABC∆ . ðường thẳng ∆ qua 
1 10
, : 2 7 0 ;
3 3
E AC x y d