Đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 lần thứ nhất môn toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
LẦN THỨ NHẤT 
Môn TOÁN 
Thời gian làm bài: 180phút, không kể phát đề. 
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: 3 2
1
2 3 1.
3
y x x x    
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng 1.y   
Câu 2 (1,0 điểm). 
a) Cho hàm số 4 2 4 2f(x) sin 4cos cos 4sinx x x x    , chứng minh: '(x) 0, xf    . 
b) Tìm môđun của số phức 
25i
z
, biết rằng:  4 3 26 6
2
z
i z i
i
   

. 
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình: 
2 14 5.4 1 0.x x    
Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: 
3 2 9
3 1 3
x x
xx x
 

  
. 
Câu 5 (1,0 điểm).Tính tích phân: 
1
3 ln
2 ln x.
e x
I x d
x
 
  
 
 
Câu 6 (1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC//AD). Biết đường cao 
SH a ,với H là trung điểm của AD, , 2AB BC CD a AD a    . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD theo a. 
Câu 7. (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của B lên AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, trên cạnh CD lấy K 
sao cho MNCK là hình bình hành. Biết 
9 2
M ;
5 5
 
 
 
, K(9;2) và các đỉnh B, C lần lượt nằm trên các 
đường thẳng 2 2 0x y   và 5 0x y   , hoành độ đỉnh C lớn hơn 4.Tìm tọa độ các đỉnh của 
hình chữ nhật ABCD. 
 Câu 8 (1,0 điểm).Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm (1; 2;3), ( 1;0;1)M N  và mặt 
phẳng ( ) : 4 0P x y z    . Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng 
6
MN
, tâm nằm trên 
đường thẳng MN và (S ) tiếp xúc với (P). 
Câu 9 (0,5 điểm).Trong kì thi TN THPT, Bình làm đề thi trắc nghiệm môn Hóa học. Đề thi gồm 
50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi 
câu được 0,2 điểm. Bình trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu; 5 câu còn lại Bình chọn 
ngẩu nhiên. Tính xác suất để điểm thi môn Hóa học của Bình không dưới 9,5 điểm. 
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: 4 4
1
2a b ab
ab
    
 Chứng minh rằng: 
2 2
2 2 3 7
.
1 1 1 2 6a b ab
  
  
..HẾT 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:. Số báo danh.. 
 1 
xo
y
-1
-1-3
-7
3
1
 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM 
 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
 Môn: TOÁN; 
 (ĐÁP ÁN GỒM 6 TRANG) 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
TXĐ: D   
 Giới hạn: lim , lim
x x
y y
 
    
Đồ thị không có tiệm cận 
2' x 4x+3,y    ; 
1
' 0
3
x
y
x
 
    
0,25 
Bảng biên thiên: 
X - -3 -1 + 
y’ + 0 - 0 + 
y 
  
 -1 
 
7
3
 
0,25 
 Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 3  và  1;  , nghịch biến trên khoảng  3; 1  
Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1 và f( 1 )=
7
3
 ; hàm số đạt cực đại tại x=-3 và f(-3)=-1 
0,25 
Câu1a 
(1.0đ) 
Đồ thị: 
0,25 
Câu1b 
 2 
 Hoành độ giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng y=-1 là nghiệm của phương 
trình 3 2
1
2 3 1 1
3
x x x     . 
0,25 
Giải phương trình ta được nghiệm x=0 và x=-3 0,25 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 0 là y=3x-1. 0,25 
1.0đ 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -3 là y=-1. 0,25 
 
 
4 2 4 2
4 2 4 2
22 2 2
2 2
f(x) sin 4cos cos 4sin
sin 4 1 sin cos 4(1 cos )
2 sin (2 cos )
2 sin 2 cos
x x x x
x x x x
x x
x x
   
     
   
   
0,25 
Vì 1 sin ,cos 1,x x x     nên 
2 2f(x) 2 sin 2 cos 3, '( ) 0,x x x f x x           
0,25 
 Gọi ( , )z a bi a b   . 
Ta có          4 3 26 6 2 5 4 3 5 26 6
2
z
i z i i a bi i a bi i
i
           

   22 16 14 18 130 30a b a b i i       
0,25 
Câu 2a 
(0,5đ) 
2b 
(0,5đ) 
22 16 130 3
3 4
14 18 30 4
a b a
z i
a b b
   
     
     
Do đó 
25 25 (3 4 ) 25
4 3 5
25
i i i i
i
z z

      
0,25 
 2 14 5.4 1 0x x    
2
1
4
4.4 5.4 1 0 4
4 1
x
x x
x

    


0,25 
Câu 3 
(0,5đ) 
 Với 
1
4 1
4
x x    
 Với 4 1 0x x   
 Vậy nghiệm bất phương trình là: 1; 0x x   
0,25 
3 2 9
3 1 3
x x
xx x
 

  
 (*) 
Câu 4 
(1,0đ) 
ĐK: 1 9; 0x x    
 3 
 2 3 2 9 3 3 1
0
x(3 1 3)
x x x x x
x x
     
 
  
0,25 
 2( 3) 9( 1) 2 9 3 3 1
0
x(3 1 3)
x x x x x
x x
       
 
  
  3 3 1 3 3 1 2 9
0
x(3 1 3)
x x x x x
x x
       
 
  
3 3 1 2 9
0
x
x x x    
  
0,25 
   
1 3 1 2 2 9
0
x
1 1 3 2 1 9
0
x
x x x
x x x
     
 
     
 
0,25 
8 1 2
0
x 1 3 1 9
8
0 0 8
x
x x
x x
x
x
  
        

    
Đối chiếu điều kiện bài toán ta được nghiệm 0 8x  
0,25 
1 1 1
3 ln 3 ln
2 ln x 2 ln
e e ex x
I x d dx xdx J K
x x
  
      
 
   
0,25 
Ta có 
1 1
2 ln 2 ln 2 2 ln 2 2
1 1 1
e ee e e
K xdx x x dx x x x       
0,25 
Đặt 23 ln 3 ln 2
dx
t x t x tdt
x
       
0,25 
Câu 5 
(1.0đ) 
Khi đó 
2
2 3
3
22 16 6 3
2
3 33
J t dt t

   
Vậy 22 6 3
3
I

 . 
0,25 
 4 
K
N
M
H
C
A B
D
S
I
HA
D
B C
K
J
 Kẻ đường cao BK của hình thang ABCD, ta có 
 2 2
3
2
a
BK AB AK   
Diện tích ABCD là 
2
( )
3 3
.
2 4
ABCD
AD BC a
S BK

  . 
0,25 
Thể tích khối chóp S.ABCD:  
31 a 3
.
3 4ABCD
V SH S  .( đvtt) 
0,25 
Gọi I là trung điểm của BC, kẻ HJ vuông góc SI tại J. 
Vì BC SH và BC HI nên BC HJ . Từ đó suy ra ( )HJ SBC 
 Khi đó ( , ) ( ,( )) ( ,( )d AD SB d AD SBC d H SBC HJ   . 
0,25 
Câu 6 
(1.0đ) 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHI ta có. 
2 2
2 2
3
.
. 212
73
4
a
a
SH HI a
HJ
SH HI a a
  
 
.Vậy ( , )d AD SB HJ =
a 21
7
. 
0,25 
Câu 7 
(1.0đ) 
 5 
MN là đường trung bình của tam giác HAB suy ra MN//AB và MN=
1
2
AB 
MNCK là hình bình hành nên CK//MN ; CK=MN=
1 1
2 2
AB CD suy ra K là trung 
điểm CD và N là trực tâm của tam giác BCM, do đó CN MB mà MK//NC nên 
MK MB 
0,25 
: 2 2 0 (b;2 b 2)B d x y B      , 
36 8
;
5 5
MK
 
  
 

, 
9 8
;2
5 5
MB b b
 
   
 

52 52
. 0 0 1
5 5
MK MB b b     
 
 (1;4)B 
0,25 
' : 5 0 (c;c 5), (c 4)C d x y C       ,  1;c 9BC c  

,  9; 7KC c c  

     . 0 1 9 + 9 7 0BC KC c c c c      
  9
4 ( )
b
c L

  
 9;4C 
0,25 
Vì K(9;2) là trung điểm CD và C(9 ;4) suy ra D(9 ;0). 
Gọi I là trung điểm BD thì I(5 ;2) và I là trung điểm AC nên A(1 ;0). 
0,25 
Ta có  2;2; 2MN   

nên phương trình đường thẳng MN là
1
2 ( )
3
x t
y t t
z t
 

   
  
 
0,25 
Mặt cầu (S) có bán kính 
1
6 3
MN
R   , có tâm (1 t; 2 ;3 )I MN I t t      
0,25 
(S) tiếp xúc với (P) nên 
1 2 3 4 1
( ; ( ))
3 3
t t t
d I P R
     
   
7
5
t
t

  
0,25 
Câu 8 
(1.0đ) 
Với 7 ( 6;5; 4)t I    , phương trình (S) là 2 2 2
1
( 6) ( 5) ( 4)
3
x y z      
Với 5 ( 4;3; 2)t I    , phương trình (S) là 2 2 2
1
( 4) ( 3) ( 2)
3
x y z      
0,25 
Bạn Bình được không dưới 9,5 điểm khi và chỉ khỉ trong 5 câu trả lời ngẩu nhiên, 
Bình trả lời đúng ít nhất 3 câu 
Xác suất trả lời đúng một câu hỏi là 0,25, trả lời sai là 0,75. 
0,25 
Câu 9 
(0,5đ) 
Xác suất Bình trả lời đúng 3 câu trên 5 câu là 3 3 25 .(0,25) .(0,75) ;C 
Xác suất Bình trả lời đúng 4 câu trên 5 câu là 4 45 .(0, 25) .(0,75) ;C 
Xác suất Bình trả lời đúng cả 5 câu là 5 55 .(0,25) ;C 
Vậy xác suất Bình được không dưới 9,5 điểm là : 
3 3 2
5 .(0,25) .(0,75)C 
4 4
5 .(0, 25) .(0,75)C 
5 5
5 .(0,25) 0,104C  
0,25 
 6 
Đặt ( 0)t ab t  , M 
2 2
2 2 3
1 1 1 2a b ab
 
  
4 4 2 21 12 2ab a b a b
ab ab
      
hay 2 3 2
1 1
2 2 2 2 1 0 1
2
t t t t t t
t
           ( vì t>0) 
0,25 
Với , 0a b  và 1ab  , ta có 
2 2
1 1 2
(*)
1 1 1a b ab
 
  
Thật vậy 
Với , 0a b  và 1ab  ,
   
  
2
2 2
1
(*) 0
(1 ) 1 1
a b ab
a b ab
 
 
  
 (Đúng) 
0,25 
Khi đó 
4 3
(1)
1 1 2
M
ab ab
 
 
Xét hàm số 
4 3
( ) ,
1 1 2
g t
t t
 
 
với 
1
1
2
t  
ta có 
     
2
2 2 22
4 6 5 2 1 1
'( ) 2 0, ;1
( 1) 22 1 1 2 1
t t
g t t
t t t t
   
            
0,25 
Câu 10 
(1,0đ) 
Suy ra 
1 7
(t) ( )
2 6
g g  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
7
6
M  . Dấu đẳng thức xảy ra khi 
1 1
( , )
22
a b a b t ab     
0,25