SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 ư LẦN 1 THPT Chuyờn Nguyễn Quang Diờu Mụn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( ) 3 2 2 1 1 1 3 y x mx m m x = - + - + + (1). a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số (1) khi 2 m = . b) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực đại tại 1 x = . Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh ( ) ( ) 2 3 3 log 1 log 2 1 2 x x - + - = . Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 3 2 2 2 1 5 4 x I dx x x + = - + ũ . Cõu 4 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa món điều kiện ( ) 2 2 3 z (4 ) (1 3 ) i i z i + + + = - + . Tỡm phần thực và phần ảo của z . b) Một chi đoàn cú 15 đoàn viờn trong đú cú 7 nam và 8 nữ. Người ta chọn ra 4 người trong chi đoàn đú để lập một đội thanh niờn tỡnh nguyện. Tớnh xỏc suất để trong 4 người được chọn cú ớt nhất 1 nữ. Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp . S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng 3 a ; ∙ 0 120 BAD = và cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Biết rằng số đo của gúc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABCD bằng 0 60 . Tớnh theo a thể tớch của khối chúp . S ABCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và SC . Cõu 6 (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0 P x y z - - + = và điểm ( ) 3; 5; 2 I - - . Viết phương trỡnh mặt cầu tõm I và tiếp xỳc với mặt phẳng ( ) P . Tỡm tọa độ tiếp điểm. Cõu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trũn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 2 5 C x y - + - = và đường thẳng ( ) : 1 0 x y D + + = . Từ điểm A thuộc ( ) D kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xỳc với ( ) C tại B và C . Tỡm tọa độ điểm A biết rằng diện tớch tam giỏc ABC bằng 8 . Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 4 1 2 1 6 x y y x x x y x x ỡ ù + + = + + ù ù ớ ù ù + + + = ù ợ . Cõu 9 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực khụng õm a, b, c thỏa món { } min , , c a b c = . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 1 P a b c a c b c = + + + + + + . ưưưưưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưưưưư Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh:..............................................; Số bỏo danh:.............................. Cảm ơn thầy Huỳnh Chớ Hào chủ nhõn đó chia sẻ đến www.laisac.page.tl SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM THPT Chuyờn Nguyễn Quang Diờu ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 ư LẦN 1 Mụn: TOÁN; Khối: A+B (Đỏp ỏn – thang điểm gồm 01 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Cõu Đỏp ỏn Điểm 1 (2,0 điểm) a.(1,0 điểm). ( ) 3 2 2 1 1 1 3 y x mx m m x = - + - + + (1) Với 2 m = , hàm số trở thành: 3 2 1 2 3 1 3 y x x x = - + + ♥ Tập xỏc định: D = Ă ♥ Sự biến thiờn: ᅳ Chiều biến thiờn: 2 ' 4 3 y x x = - + ; ' 0 1 y x = Û = hoặc 3 x = . 0.25 + Hàm số nghịch biến trờn khoảng ( ) 1;3 ; + Đồng biến trờn cỏc khoảng ( ) ;1 -Ơ và ( ) 3;+Ơ . ᅳ Cực trị: + Hàm số đạt cực tiểu tại 3 x = ; yCT (3) 1 y = = ; + Hàm số đạt cực đại tại 1 x = ; yCĐ 7 (1) 3 y = = . ᅳ Giới hạn: lim ; lim x x y y đ-Ơ đ+Ơ = -Ơ = +Ơ 0.25 ᅳ Bảng biến thiờn: 0.25 ♥ Đồ thị: 0.25 b.(1,0 điểm). Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực đại tại 1 x = . ã Tập xỏc định: D = Ă ã Đạo hàm: 2 2 ' 2 1 y x mx m m = - + - + 0.25 ♥ Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại 1 x = ị '(1) 0 y = 0.25 Û 2 3 2 0 m m - + = Û 1 2 m m ộ = ờ ờ = ở ♥ Điều kiện đủ: Với 1 m = , ta cú: 2 ' 2 1 = - + y x x , ' 0 1 = Û = y x Bảng biến thiờn x -Ơ 1 +Ơ ' y + 0 + y Từ BBT ta suy ra 1 m = khụng thỏa. 0.25 Với 2 = m , ta cú: 2 ' 4 3 = - + y x x , 1 ' 0 3 ộ = ờ = Û ờ = ở x y x Bảng biến thiờn x -Ơ 1 3 +Ơ ' y + 0 - 0 + y CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại 1 = x . ♥ Vậy hàm số đạt cực đại tại 1 x = khi 2 m = . 0.25 2 (1,0 điểm) Giải phương trỡnh ( ) ( ) 2 3 3 log 1 log 2 1 2 x x - + - = (1) ♥ Điều kiện: 1 1 0 1 2 1 0 2 x x x x ỡ ạ ù ỡ ù - ạ ù ù ù Û ớ ớ ù ù - > > ù ợ ù ù ợ 0.25 ♥ Khi đú: ( ) ( ) 3 3 1 log 1 log 2 1 1 x x Û - + - = ( ) 3 log 1 2 1 1 x x ộ ự Û - - = ở ỷ ( ) 1 2 1 3 x x Û - - = (2) 0.25 ã Với 1 1 2 x < < thỡ ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 3 2 3 4 0 x x x x Û - - = Û + + = : pt vụ nghiệm 0.25 ã Với 1 x > thỡ ( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 0 2 2 x x x x x x Û - - = Û - - = Û = - Ú = Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm phương trỡnh đó cho là 2 x = . 0.25 3 (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn 3 2 2 2 1 5 4 x I dx x x + = - + ũ . ♥ Ta cú: ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 1 5 4 1 4 4 1 x x x x x x x x + + = = - - + - - - - 0.25 ♥ Do đú: 3 3 2 2 1 1 3 4 1 I dx dx x x = - - - ũ ũ 0.25 3 3 2 2 3ln 4 ln 1 x x = - - - 0.25 4 ln 2 = - . 0.25 4 a.(0,5 điểm). Cho số phức z thỏa món điều kiện ( ) 2 2 3 z (4 ) (1 3 ) i i z i + + + = - + . Tỡm phần (1,0 điểm) thực và phần ảo của z . ♥ Đặt z a bi = + , ( ) , a b ẻ Ă ta cú: ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 3 z (4 ) (1 3 ) 2 3 (4 ) (1 3 ) i i z i i a bi i a bi i + + + = - + Û + + + + - = - + ( ) ( ) 6 2 4 2 8 6 a b a b i i Û - + - = - 0.25 6 2 8 7 4 2 6 17 a b a a b b ỡ ỡ - = = ù ù ù ù Û Û ớ ớ ù ù - = - = ù ù ợ ợ ♥ Vậy số phức z cần tỡm cú phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 17 . 0.25 b.(0,5 điểm). Một chi đoàn cú 15 đoàn viờn trong đú cú 7 nam và 8 nữ. Người ta chọn ra 4 người trong chi đoàn đú để lập một đội thanh niờn tỡnh nguyện. Tớnh xỏc suất để trong 4 người được chọn cú ớt nhất 1 nữ. ♥ Số phần tử của khụng gian mẫu là W = = 4 15 C 1365 Gọi A là biến cố "trong 4 người được chọn cú ớt nhất 1 nữ” Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là W = - = 4 4 A 15 7 C C 1330 0.25 ♥ Vậy xỏc suất cần tớnh là (A) W = = = W A 1330 38 P 1365 39 . 0.25 5 (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp . S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng 3 a ; ∙ 0 120 BAD = và cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Biết rằng số đo của gúc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABCD bằng 0 60 . Tớnh theo a thể tớch của khối chúp . S ABCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và SC . ã Do đỏy ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng 3 a ; ∙ 0 120 BAD = nờn cỏc tam giỏc , ABC ADC là cỏc tam giỏc đều cạnh 3 a . Suy ra: ( ) 2 2 3 . 3 3 3 2 2 4 2 ABCD ABC a a S S D = = = ã Gọi H là trung điểm của BC . Suy ra AH BC ^ SH BC ị ^ Do đú ( ) ( ) ∙ ( ) ∙ ∙ 0 ; ; 60 SBC ABCD AH SH SHA ộ ự = = = ở ỷ . 0.25 ã Xột tam giỏc SAH ta cú: ( ) 0 3 . 3. 3 3 3 . tan 60 2 2 = = = a a SA AH ã Vậy 2 3 1 1 3 3 3 3 9 . . . . 3 3 2 2 4 = = = ABCD a a a V S SA . 0.25 ã Gọi O AC BD = ầ . Vỡ DB AC ^ , BD SC ^ nờn ( ) BD SAC ^ tại O . ã Kẻ OI SC ^ ị OI là đường vuụng gúc chung của BD và SC . 0.25 ã Sử dụng hai tam giỏc đồng dạng ICO và ACS hoặc đường cao của tam giỏc SAC suy ra được 3 39 26 = a OI . Vậy ( ) 3 39 , 26 = a d BD SC . 0.25 6 (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0 P x y z - - + = và điểm ( ) 3; 5; 2 I - - . Viết phương trỡnh mặt cầu tõm I và tiếp xỳc với mặt phẳng ( ) P . Tỡm tọa độ tiếp điểm. ã Bỏn kớnh mặt cầu ( ) 2 2 2 2.3 ( 5) 3.( 2) 1 18 ;( ) 14 2 1 3 R d I P - - - - + = = = + + . 0.25 ã Phương trỡnh mặt cầu: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 162 3 5 2 7 x y z - + + + + = . 0.25 ã Tiếp điểm chớnh là hỡnh chiếu vuụng gúc H của I xuống mặt phẳng ( ) P đó cho ã Đường thẳng IH qua I và nhận PVT ( ) 2; 1; 3 n = - - r của mặt phẳng ( ) P làm VTCP cú phương trỡnh là 3 2 5 2 3 x t y t z t ỡ = + ù ù ù ù = - - ớ ù ù = - - ù ù ợ ( ) t ẻ Ă 0.25 ã Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trỡnh 3 2 5 2 3 2 3 1 0 x t y t z t x y z ỡ = + ù ù ù ù = - - ù ớ ù = - - ù ù ù - - + = ù ợ ã Hệ này cú nghiệm 9 3 26 13 , , , 7 7 7 7 t x y z = - = = - = ã Do đú tiếp điểm H cú tọa độ là 3 26 13 ; ; 7 7 7 H ổ ử ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . 0.25 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trũn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 2 5 C x y - + - = và đường thẳng ( ) : 1 0 x y D + + = . Từ điểm A thuộc ( ) D kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xỳc với ( ) C tại B và C . Tỡm tọa độ điểm A biết rằng diện tớch tam giỏc ABC bằng 8 . ã ( ) C cú tõm ( ) 2;2 , 5 I R = , ( ) ( ) ; 1 A A a a ẻ D ị - - ã Từ tớnh chất tiếp tuyến ị IA BC ^ tại H là trung điểm của BC . Giả sử , IA m IH n = = ( ) 0 m n > > 2 2 2 , 5 HA m n BH IB IH n ị = - = - = - ã Suy ra: ( ) 2 1 . . 5 8 2 ABC S BC AH BH AH m n n D = = = - - = (1) 0.25 ã Trong tam giỏc vuụng IBA cú 2 5 . 5 . BI IH IA m n m n = Û = Û = (2) 0.25 Thay (2) vào (1) ta cú: 2 6 4 2 5 5 8 15 139 125 0 n n n n n n ổ ử ữ ỗ - - = Û - + - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ( )( ) 2 4 2 1 14 125 0 n n n Û - - + = Suy ra 1, 5 n m = = . 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2; 3 2 5 2 3 25 6 0 3 3;2 A a IA a a a a a A ộ - ộ = ờ ờ = Û - + - - = Û + - = Û ị ờ ờ = - - ở ờ ở 0.25 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 (1) 4 1 2 1 6 (2) x y y x x x y x x ỡ ù + + = + + ù ù ớ ù ù + + + = ù ợ . ♥ Điều kiện: 0 x ³ Ta thấy 0 x = khụng thỏa món phương trỡnh (2) Với 0 x > thỡ ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 1 4 1 1 1 y y x x ổ ử ữ ỗ ữ Û + + = + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ (3) 0.25 ♥ Xột hàm số ( ) 2 ( ) 1 1 f t t t = + + , với t ẻĂ . Ta cú 2 2 2 1 '( ) 1 0 1 t f t t + = + > + , với mọi t ẻĂ . Suy ra ( ) f t đồng biến trờn Ă . Do đú: ( ) ( ) 1 1 3 2 2 f y f y x x ổ ử Û = Û = ỗ ữ ố ứ 0.25 ♥ Thay 1 2y x = vào phương trỡnh (2) ta được phương trỡnh: ( ) 3 2 2 1 6 0 x x x x + + + - = (4) Xột hàm số ( ) ( ) 3 2 2 1 6 g x x x x x = + + + - với ( ) 0; x ẻ +Ơ Ta cú ( ) ( ) 2 2 5 1 ' 3 1 0, 0; x g x x x x + = + + > " ẻ +Ơ . Suy ra ( ) g x đồng biến trờn ( ) 0;+Ơ Do đú: ( ) ( ) ( ) 4 1 1 g x g x Û = Û = 0.25 Với 1 1 2 x y = ị = ♥ Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( ) ; x y là 1 1; 2 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0.25 9 (1,0 điểm) Cho cỏc số thực khụng õm a, b, c thỏa món { } min , , c a b c = . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 1 P a b c a c b c = + + + + + + . ♥ Ta cú: 2 2 2 2 2 2 4 2 c c a c a ac a ac a ổ ử ữ ỗ + Ê + Ê + + = + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Tương tự ta cú 2 2 2 2 c b c b ổ ử ữ ỗ + Ê + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0.25 ♥ Do đú ta cú theo bất đẳng thức Cụưsi thỡ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 2 2 a c b c c c a b c a b + ³ + ³ + + ổ ử ổ ử + + ữ ữ ỗ ỗ + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ Vậy nờn ta cú 0.25 ( ) 2 8 P a b c a b c ³ + + + + + ♥ Đặt t a b c = + + với 0 t > Xột hàm số 4 8 ( ) f t t t = + trờn (0; ) +Ơ . Ta cú: 5 5 5 32 32 '( ) 1 0 2 t f t t t t - = - = = Û = . Bảng biến thiờn t 0 2 +Ơ ( ) ' f t - 0 + ( ) f t 5 2 0.25 ♥ Dựa vào BBT suy ra ( ) ( ) ( ) 0; 5 min 2 2 f t f +Ơ = = . Do đú 5 2 P ³ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 t a b = Û = = và 0 c = Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 5 2 , đạt được khi 2 a b = = và 0 c = 0.25 Cảm ơn thầy Huỳnh Chớ Hào chủ nhõn đó chia sẻ đến www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: