Đề thi thử quốc gia môn toán - Đề số 31

THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
1 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐỀ SỐ 31 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 
2
x m
y
x
 


 (Cm) 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1. 
b) Tỡm cỏc giỏ trị thực của tham số m để đường thẳng d: 2x+2y -1= 0 cắt đồ thị (Cm) tại hai 
điểm phõn biệt A, B sao cho tam giỏc OAB cú diện tớch bằng 1 (O là gốc toạ độ). 
Cõu 2 1,0 điể 
 a) Tỡm giỏ trị l n nh t và giỏ trị nh nh t của hàm số 
2x x 1
f(x)
x 1
 


 trờn đoạn 
1
;2
2
 
 
 
. 
 b) Tớnh tớch phõn: 
0
2
1
2
dx
I
(x 1) 3 2x x


  
 . 
Cõu 3 2,0 điể Giải cỏc phương trỡnh sau: 
 a)     212log1log
3
2
3  xx . 
 b) 
3sin 2x 2sin x
2
sin 2x cosx

 . 
Cõu 4 1,0 điể 
 a) Cho số phức z th a món: 
1 i
(2 i)z 5 i.
1 i

   

 Tớnh mụ đun của số phức 2w z z  . 
 b) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học sinh 
để lập một tốp ca hát chào mừng ngày thành lập Quân đội nhân dân Việt Nam(22 tháng 
12). Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ. 
Cõu 5 1,0 điể Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đ u cạnh a, m t bờn SAB là tam 
giỏc vuụng cõn tại đ nh S và nằm trong m t phẳng vuụng gúc v i m t phẳng đỏy Tớnh theo a thể 
tớch hối chúp S.ABC và hoảng cỏch gi a hai đường thẳng SB và AC. 
Cõu 6 1,0 điể Trong m t phẳng v i hệ t a độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD iểm 
11
F ;3
2
 
 
 
 là 
trung điểm của cạnh AD ường thẳng EK cú phương trỡnh 19x 8y 18 0   v i E là trung điểm 
của cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC Tỡm t a độ điểm C của hỡnh vuụng ABCD 
biết điểm E cú hoành độ nh hơn 3 
Cõu 7 1,0 điể Trong hụng gian v i hệ toạ độ Oxyz, cho m t phẳng  P : 2x 2y z 4 0    và 
m t cầu   2 2 2S : x y z 2x 4y 6z 11 0       . Chứng minh rằng m t phẳng (P) cắt m t cầu (S) 
theo một đường trũn Xỏc định toạ độ tõm và tớnh bỏn ớnh của đường trũn đú 
Cõu 8 1,0 điể Cho , ,a b c là ba số thực dương Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4 4
a b c
b c a a b b c c a
  
    
  
. 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
2 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 31 
Cõu 1 
1a 
1
2
 


x
y
x
, TX :  D \ 2  
-Gi i hạn : lim 1 ; lim 1
 
   
x x
y y ường thẳng y = -1 là tiệm cõn ngang của đồ thị 
hàm số 
   2 2
lim ; lim
 
   
   
x x
y ường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
0.25 
-Chi u biến thiờn 
2
3
' 0 2
( 2)
y x
x

    

Hàm số nghịch biến trờn mỗi khoảng ( ; 2)  và ( 2; )  
Hàm số hụng cú cực trị 
0.25 
Bảng biến thiờn 
x 2 - 
y' || 
y 1
1
0.25 
 ồ thị 
*Giao v i trục Ox tại A(1;0) 
*Giao v i trục Oy tại 
1
B(0; )
2
* ồ thị nhận I(-2;-1) giao 
của hai tiệm cận làm tõm đối 
xứng 
8
6
4
2
2
4
6
8
15 10 5 5 10 15O-2
-1
0.25 
1b 
 Phương trỡnh hoành độ giao điểm:
1
2 2
x m
x
x
 
  
 2
2
2 2 2 0 (1)
 
 
   
x
x x m
 ường thẳng (d) cắt (Cm) tại 2 điểm A,B  (1) cú hai nghiệm phõn biệt 2x   
0.25 
2
17
1 8(2 2) 0 17 16 0
16
22.( 2) ( 2) 2 2 0
2
m m m
mm
m
        
    
          
 0.25 
1 1 2 2
1 1
A x ; x ,B x ; x
2 2
   
      
   
 trong đú x1; x2 là hai nghiệm phõn biệt của phương 0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
3 
trỡnh (1), theo viet ta cú 1 2
1 2
1
x x
2
x .x m 1

 

  
2 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2
2(17 16m)
AB (x x ) (x x ) 2 (x x ) 4x x
2

          
  
1
d O,d
2 2
 ; 
OAB
2(17 16m)1 1 1 47
S AB.d(O,d) . . 1 m
2 2 2 162 2

 
     (t/m) 
Vậy:
47
m
16

 
0.25 
Cõu 2 
2a 
Hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn 
1
;2
2
 
 
 
. 
+) 
2
2
2
'( )
( 1)
x x
f x
x



, 
1
0 ;2
2
'( ) 0
1
2 ;2
2
  
   
  
  
    
 
x
f x
x
0.25 
+) 
1 7
2 6
 
 
 
f ; 
7
(2)
3
f  
Vậy: 
1
;2
2
7
min ( )
6 
 
 

x
f x khi 
1
2
x ; 
1
;2
2
7
max ( )
3 
 
 

x
f x khi x=2. 
0.25 
2b 
0 0 0
2
1 1 1 2
2 2 2
dx dx dx
I
(x 1) (x 1)(3 x) 3 x(x 1) 3 2x x
(x 1)
x 1
  
  
     


   
 t: 
3 x
t
x 1


 2
dx 1
tdt
(x 1) 2
  

 ổi cận: 
1
x t 7;x 0 t 3.
2
       
0.25 
 
3
7
1 1
I dt 7 3
2 2
    0.25 
Cõu 3 
3a 
 K
1
1
2




x
x
 0.25 
     3 3(1) 2log x 1 2log 2x 1 2  3 3log x 1 2x 1 log 3    0.25 
 x 1 2x 1 3    
 

  
   
   
2
2
1
x 1x 1
hoac2 2x 3x 2 0
2x 3x 4 0(vn)
0.25 
x 2  (th a món đi u kiện) 
Vậy: x=2 
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
4 
3b 
 K:
k
sin2x 0 x (k )
2

    0.25 
(2) 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx  2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0 0.25 
 
x k2 
cosx 1
k2
sin 2x sin x x
3 3
 
      

 0.25 
 ối chiếu v i đi u kiện 
Vậy : phương trỡnh cú nghiệm 

2
3
kx  
0.25 
Cõu 4 
4a 
(3) (2 i)z 5 z 2 i      0.25 
w 5 5i w 5 2    0.25 
4b 
Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp, có 535 C (cách) 
Gọi A l¯ biến cố: ‘‘Chọn được 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ’’ 
Suy ra A l¯ biến cố: ‚Chọn được 5 học sinh trong đó không có hs nữ n¯o‛ 
Ta có số kết quả thuận lợi cho A là 520C 
0.25 
 
5
20
5
35
 
C
P A
C
   
5
20
5
35
2273
1 1 0,95224
2387
C
P A P A
C
      0.25 
Cõu 5 
d
H
A C
B
S
J
K
+) Theo bài ta cú:
( )
2




SH ABC
a
SH
 0.25 
+) 
2 3
4

ABC
a
S 
3
.
3
24S ABC
a
V  0.25 
+) Dựng đường thẳng d đi qua B và d // AC 
( , ) ( ;( , )) 2 ( ;( ; ))d AC SB d A SB d d H SB d   
Kẻ đoạn thẳng HJ sao cho HJ d, J d  ; Kẻ 
đoạn thẳng HK sao cho HK SJ,K SJ  
+) ( ;( , ))d H SB d HK 
0.25 
2 2 2 2
1 1 1 28 3
3 2 7
a
HK
HK HJ SH a
     
3
( , ) 2
7
d AC SB HK a   
0.25 
Cõu 6 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
5 
P
I
F
E
C
A
B
D K
H
+) G i AB=a (a>0) 
2
EFK ABCD AEF FDK KCBE
5a
S S S S S
16
         
EFK
1
S FH.EK
2
  , 
25 a 17
FH d(F,EK) ;EK a 5
42 17
     
ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng 5
5 2
EF
2
  
0.25 
+) T a độ E là nghiệm: 
2
211 25( 3)
2 2
19 8 18 0
 
    
 
   
x y
x y
2
58
(loai)
17
5
2
 

 
 

 

x
x
y
5
2;
2
 
  
 
E 0.25 
+) AC qua trung điểm I của EF và ACEF 
AC: 7 29 0x y   
Cú :  
10
7 29 0 3
19 8 18 0 17
3

   
    
    

x
x y
AC EK P
y
y
10 17
;
3 3
 
  
 
P 
0.25 
Ta xỏc định được: 
9
(3;8)
5
 IC IP C 0.25 
Cõu 7 
M t cầu (S) cú tõm I(1;2;3), bỏn ớnh R=5 
2.1 2.2 3 4
d(I, (P)) 3
4 4 1
  
 
 
0.25 
Vỡ d(I,(P)) <R nờn (P) cắt (S) theo đường trũn 0.25 
- G i H là hỡnh chiếu của điểm I trờn (P) thỡ H là giao của mp(P) v i đường thẳng d 
qua I, vuụng gúc v i (P). 
- Phương trỡnh đường thẳng d: 
x 1 2t
y 2 2t
z 3 t
 

 
  
   d (P) H H 3;0;2 .   
0.25 
Bỏn ớnh đường trũn là: 2 2r R IH 4   0.25 
Cõu 8 
 Ta cú: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
4 4 4 4 4 4
a b c
VT
b b c c a a
     
          
     
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
 
      
 
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
6 
 M t hỏc: 
2 2 2
1 2 1 2 1 2
; ;
a b c
b a b c b c a c a
      
 Cộng theo vế cỏc B T trờn ta được: 
2 2 2
1 1 1a b c
b c a a b c
     
 Suy ra: 
0.25 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4
VT
a b c a b b c c a
        
                
        
0.25 
VT 
1 4 4 4 1 1 1
4
VP
a b b c c a a b b c c a
 
             
 ẳng thức xảy ra hi và ch khi: 1a b c   
0.25 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐỀ SỐ 32 
Cõu 1. 2,0 điểm) 
a. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
4 22y x x  
b. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trỡnh : 
4 22 0x x m   
Cõu 2. 1,0 điểm) 
a. Giải phương trỡnh 3sin 2 1 cos2 2cosx x x   . 
 b Tỡm cỏc số thực x, y th a món đẳng thức: 
 3(3 5 ) (1 2 ) 9 14x i y i i     
Cõu 3. 0,5 điểm) Giải phương trỡnh:    22 1
2
log 1 log 1x x   . 
Cõu 4. 1,0 điểm) Giải b t phương trỡnh: 
 2 3 5 4 3
15 5 2 9
2 9 3
x x x
x
x
  
  
 
. 
Cõu 5. 1,0 điểm) Tớnh tớch phõn : I =
  
2 2
2 2
1
1
1 3 1
x
dx
x x x x

   
. 
Cõu 6. 1,0 điểm) Trong hụng gian v i hệ t a độ Oxyz cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3). Viết 
phương trỡnh m t phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cỏch từ B đến (P) bằng khoảng cỏch C đến 
(P). 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
7 
Cõu 7. 1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A’B’C’ cú A’ ABC là hỡnh chúp tam giỏc đ u, cạnh đỏy 
AB = a, cạnh bờn AA’= b G i là gúc gi a hai m t phẳng (ABC) và (A’BC) Tớnh tan và thể 
tớch hối chúp A’ BB’C’C 
Cõu 8. 1,0 điểm) Trong m t phẳng Oxy, cho đường trũn (C): và đường 
thẳng d: Tỡm m để trờn d cú duy nh t một điểm M mà từ đú ẻ được hai tiếp 
tuyến MA, MB t i (C) (A, B là cỏc tiếp điểm) sao cho gúc AMB=1200. 
Cõu 9. 0,5 điểm) Một l p h c cú 15 h c sinh nam và 10 h c sinh n Giỏo viờn g i ngẫu nhiờn 4 
h c sinh lờn bảng làm bài tập Tớnh xỏc su t để 4 h c sinh được g i cú cả nam và n . 
Cõu 10. (1 0 điểm) Cho 3 số thực , ,x y z hỏc 0 th a món: x 5y z   và . . 1x y z  Tỡm giỏ trị 
l n nh t của biểu thức: 
1 1 1
P
x y z
   . 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 32 
Cõu 1 
1a 
i/ TXĐ: D=R 
ii/ Sự biến thiờn 
+ Gi i hạn- tiệm cận 
 Gi i hạn tại vụ cực: lim
x
y

  ; lim
x
y

  
 ồ thị hàm số hụng cú tiệm cận. 
0.25 
+ Chi u biến thiờn 
Ta cú : y’ = 4x3 - 4x = 4x(x2-1 ; y’ = 0 0; 1x x    
Trờn cỏc hoảng  1;0 và  1; ,y’>0 nờn hàm số đồng biến 
Trờn cỏc hoảng  ; 1  và  0;1 ,y’<0 nờn hàm số nghịch biến 
0.25 
+ Cực trị 
 Hàm số cú hai cực tiểu tại x = 1 ; yCT = y( 1 ) = –1 
 Hàm số cú một cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 0 
+ Bảng biến thiờn 
 x  -1 0 1  
 y’ – 0 + 0 – 0 + 
 + 0 + 
 y –1 –1 
0.25 
iii/ Đồ thị: 
Hàm số đó cho là chẵn, do đú đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng 
 ồ thị đi qua gốc toạ độ và cắt trục Ox tại  2;0 
 iểm đ c biệt:  1; 1  
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
8 
y 
-1 
1 - 2 2 1 
1b 
Phương trỡnh đó cho tương đương v i: 
4 22x x m  
NX: Số nghiệm thực của phương trỡnh bằng số giao điểm của đường thẳng y = m 
và đồ thị (C) 
0.5 
. Suy ra: 
 * m< –1 : phương trỡnh vụ nghiệm 
 * m = -1 hay m > 0 : phương trỡnh cú 2 nghiệm 
 * m = 0 : phương trỡnh cú 3 nghiệm 
 * -1< m < 0 : phương trỡnh cú 4 nghiệm 
0.5 
Cõu 2 
2a 
Pt 2cos ( 3sinx-cos 1) 0x x   0.25 
cos 0
1
cos( )
3 2
x
x



  

2
2 ( )
2
2
3
x k
x k k
x k






 

  

  

 0.25 
2b 
Ta cú: 3(3 5 ) (1 2 ) (3 11 ) (5 2 ) .x i y i x y x y i       
0.25 
x, y là cỏc số thực th a món đ bài hi và ch hi x, y là nghiệm của hệ: 
3 11 9
5 2 14
x y
x y
 

 
Giải hệ ta được: 
172
61
x  và 
3
61
y  
0.25 
Cõu 3 
 i u kiện xỏc định: x >1
   
       
2
2 2
2 2 2
2
log 1 log 1
log 1 1 0 1 1 1 1 0
x x
x x x x x x x
   
           
0.25 
 
 
 
0
1 5
2
1 5
2
x l
x n
x l



 


 

 0.25 
x 
O 
y 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
9 
 ỏp số : 
1 5
2
x

 
Cõu 4 
 i u kiện xỏc định: 
5
3
x  0.25 
      
 
1 2 3 5 4 3 5 2 9 3 2 9 3
2 3 5 4 3 5.2
x x x x x
x x x x
        
    
 0.25 
2
2
3 5 4 3 5
2 12 29 15 33 7
5 33
3 7
346 1029 0
x x
x x x
x
x x
    
    

 
 
   
0.25 
5 33
3 7
3 343
5
3
3
x
x x
x

 
 
   
  
 ỏp số : 
5
3
3
x  
0.25 
Cõu 5 
2
2
1
1
1
1 1
1 3
xI dx
x x
x x


  
     
  
 0.25 
 t 
2
1 1
1t x dt dx
x x
 
     
 
 ổi cận : 
5
1 2; 2
2
x t x t      
0.25 
  
5 5
2 2
2 2
1 1 1
1 3 4 1 3
dt
I dx
t t t t
 
   
    
  0.25 
5
2
2
1 1 1 15
ln ln
4 3 4 11
t
I
t
  
   
  
 0.25 
Cõu 9 
 Khụng gian mẫu  là tập hợp t t cả cỏc bộ gồm 4 h c sinh được ch n từ 25 h c 0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
10 
sinh nờn ta cú:   425 12650n C   
G i A là biến cố “4 h c sinh được ch n cú cả nam và n ” 
Cú cỏc trường hợp: 
+ Ch n 1 n và 3 nam: cú 1 3
10 15 4550C C  
+ Ch n 2 n và 2 nam: cú 2 2
10 15 4725C C  
+ Ch n 3 n và 1 nam: cú 3 1
10 15 1800C C  
Suy ra số cỏch ch n 4 h c sinh cú cả nam và n là: 
4550 4725 1800 11075   
Vậy:  
 
 
11075 443
0,875
12650 506
An
P A
n

  

0.25 
Cõu 10 
  
1 1 1 1 1
5
y z
P x x
x y z x yz x

        
Ta cú:    
2 2 4
4 5 0 3 2 2 4 3 2 2y z yz x x x x
x
              
0.25 
Xột hàm số:      
2
1 1
5 5 2xf x x x f ' x
x x
        
V i: 0 3 2 2 4 3 2 2x x x        
 
1
0 1 2 1 2
2
f ' x x x x         
0.25 
 Lập bảng biến thiờn đỳng 
Tớnh được: 
   
   
1 2 3 2 2 1 4 2
1 2 3 2 2 1 4 2
f f
f f
    
     
0.25 
Vậy giỏ trị l n nh t của P bằng 1 4 2 
đạt tại: 1 2, 3 2 2 1 2, y 3 2 2x y z hay x z          
ho c 3 2 2, 1 2 3 2 2, 1 2x y z hay x z y          
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
11 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐỀ SỐ 33 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số    3 2y x 6x 9x 1 (1). 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
b) Tỡm m để phương trỡnh  2x(x 3) m cú 3 nghiệm phõn biệt. 
Cõu 2 (1,0 điểm). 
a) Giải phương trỡnh:   2(sinx cosx) 1 cosx . 
b) Giải b t phương trỡnh:    
0,2 0,2 0,2
log x log (x 1) log (x 2) . 
Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn: 

1
0
6x+7
I dx
3x 2
. 
Cõu 4 (1,0 điểm). 
 a) Cho 1z , 2z là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh 
22 4 11 0z z   Tớnh giỏ trị của biểu 
thức A = 
2 2
1 2
2
1 2( )
z z
z z


. 
 b) Xột cỏc số tự nhiờn cú 5 ch số hỏc nhau Tỡm xỏc su t để số tự nhiờn cú 5 ch số hỏc 
nhau l y ra từ cỏc số trờn thảo món: Ch số đứng sau l n hơn ch số đứng trư c. 
Cõu 5 (1,0 điểm). Trong hụng gian v i hệ t a độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d 
cú phương trỡnh . Lập phương trỡnh m t phẳng (P) đi qua A, song song v i d và 
khoảng cỏch từ d t i (P) là l n nh t. 
Cõu 6 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S ABC cú SA vuụng gúc v i m t phẳng (ABC), SA = 8a, tam 
giỏc ABC đ u cạnh bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC Tớnh theo a thể tớch 
khối chúp S ABC và hoảng cỏch từ điểm B đến m t phẳng (AMN). 
Cõu 7 (1,0 điểm). Trong m t phẳng v i hệ toạ độ ,Oxy cho tam giỏc ABC cú A(4; 6), phương 
trỡnh đường cao và trung tuyến kẻ từ đ nh C lần lượt là 0132  yx và 029136  yx . Viết 
phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC 
Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: 
        

     
2
2
x y x y 3 (x y) 2 x y
(x,y R)
x x y 2 x y 3
. 
Cõu 9 (1,0 điểm). Xột cỏc số thực dương x, y, z th a món đi u kiện x + y + z = 1. 
Tỡm giỏ trị nh nh t của biểu thức: 
2 2 2x (y z) y (z x) z (x y)
P
yz zx xy
  
   . 
3
1
12
1 

 zyx
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
12 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 33 
Cõu 1 
1a 
a) 196 23  xxxy . 
* Tập xỏc định: D = R 
* Sự biến thiờn 
 Chi u biến thiờn: )34(39123' 22  xxxxy 
Ta cú 





1
3
0'
x
x
y , 310'  xy . 
0.25 
Do đú: 
 + Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng )1,( và ),3(  . 
 + Hàm số nghịch biến trờn hoảng ).3,1( 
0.25 
 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1x và 3)1(  yyCD ; đạt cực tiểu tại 3x và 
1)3(  yyCT . 
 Gi i hạn: 

yy
xx
lim;lim . 
0.25 
 Bảng biến thiờn: 
0.25 
* ồ thị: 
 ồ thị cắt trục tung tại điểm 
)1,0(  
1 2 3 4
-1
1
2
3
x
y
O
0.25 
1b 
Ta cú:  2x(x 3) m     3 2x 6x 9x 1 m 1 . 0.25 
Phương trỡnh cú ba nghiệm phõn biệt hi và ch hi đường thẳng y = m – 1 cắt (C) 
tại 3 điểm phõn biệt 
0.25 
        1 m 1 3 0 m 4 0.25 
Cõu 2 
x 
y’ 
y 
3 
-1 


0 0 
3 1 

   
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
13 
2a 
Ta cú:   2(s inx cosx) 1 cosx    1 2sinxcosx 1 cosx 
 cosx(2sinx-1) 0 
0.25 
 



cosx 0
1
s inx=
2







 

  


 

x k
2
x= k2 (k Z).
6
5
x k2
6
 0.25 
2b 
 i u kiện: x 0 (*). 
   
0,2 0,2 0,2
log x log (x 1) log (x 2)   2
0,2 0,2
log (x x) log (x 2) 0.25 
   2x x x 2 x 2 (vỡ x > 0) 
Vậy b t phương trỡnh cú nghiệm x 2 . 
0.25 
Cõu 3 


1
0
6x+7
I dx
3x 2


1
0
(6x+4)+3
dx
3x 2
 

1
0
3
(2 )dx
3x 2
 0.25 
 
 
1 1
0 0
3
2 dx dx
3x 2
 
 
1 1
0 0
1
2 dx d(3x+2)
3x 2
 0.25 
  
11
0 0
2x ln 3x 2 0.25 
 
5
2 ln
2
. 0.25 
Cõu 4 
4a 
Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 
1 2
3 2 3 2
1 , 1
2 2
z i z i    
Suy ra 
2
2
1 2 1 2
3 2 22
| | | | 1 ; 2
2 2
z z z z
 
       
 
0.25 
 o đú 
2 2
1 2
2
1 2
11
...
4( )
z z
z z

 

 0.25 
4b 
Cỏc số tự nhiờn cú 5 ch số hỏc nhau: 1 2 3 4 5a a a a a trong đú i ja a v i i j 
a1 0  Cú 9 cỏch ch n a1 
 Mỗi cỏch ch n a1 cú 9 cỏch ch n a2 
 Mỗi cỏch ch n a1, a2 cú 8 cỏch ch n a3 
 Mỗi cỏch ch n a1, a2, a3 cú 7 cỏch ch n a4 
 Mỗi cỏch ch n a1, a2, a3, a4 cú 6 cỏch ch n a5 
9.9.8.7.6    27216 
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
14 
Xột biến cố A: “ Số cú năm ch số l y ra thoả món ch số đứng sau l n hơn ch 
số đứng trư c” Vỡ ch số 0 hụng thể đứng trư c b t kỳ số nào nờn xột tập hợp: 
X= 1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Mỗi bộ gồm 5 ch số hỏc nhau l y ra từ X cú một cỏch 
sắp xếp theo thứ tự tăng dần
5
9A C   
126 1
( )
27216 216
P A   
0.25 
Cõu 5 
G i H là hỡnh chiếu của A trờn d, m t phẳng (P) đi qua A và (P)//d, hi đú 
khoảng cỏch gi a d và (P) là hoảng cỏch từ H đến (P). 
0.25 
Giả sử điểm I là hỡnh chiếu của H lờn (P), ta cú HIAH  => HI l n nh t khi 
IA  
Vậy (P) cần tỡm là m t phẳng đi qua A và nhận AH làm vộc tơ phỏp tuyến. 
0.25 
)31;;21( tttHdH  vỡ H là hỡnh chiếu của A trờn d nờn 
)3;1;2((0.  uuAHdAH là vộc tơ ch phương của d) 
0.25 
)5;1;7()4;1;3(  AHH Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 
 7x + y -5z -77 = 0 
0.25 
Cõu 6 
*) Ta cú: 
2 2 2a 3AN AB BN   
Diện tớch tam giỏc ABC là: 
21 . 4a 3
2
ABCS BC AN   . 
0.25 
Thể tớch hỡnh chúp S ABC là: 
2
.
1 1
. 4a 3.8a
3 3
S ABC ABCV S SA  
332a 3
3
 (đvtt) 
0.25 
*) Ta cú: 
.
.
1
. .
4
B AMN
S ABC
V BA BM BN
V BA BS BC
  
3
. .
1 8a 3
4 3
B AMN S ABCV V  . 
0.25 
M t hỏc, 
1
4 5a 2 5a
2
SB SC MN SC     ; 
1
2 5a
2
AM SB  . 
G i H là trung điểm AN thỡ MH AN , 2 2 a 17MH AM AH    . 
Diện tớch tam giỏc AMN là 2
1 1
. 2a 3.a 17 a 51
2 2
AMNS AN MH    . 
0.25 
S 
A 
B 
N 
C 
M 
H 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
15 
Vậy khoảng cỏch từ B đến (AMN) là: 
3
.
2
3 8a 3 8a 8a 17
( , ( ))
17a 51 17
B AMN
AMN
V
d B AMN
S
    . 
Cõu 7 
- G i đường cao và trung tuyến kẻ từ C là CH và CM. 
Khi đú 
 CH cú phương trỡnh 0132  yx , 
 CM cú phương trỡnh .029136  yx 
- Từ hệ ).1;7(
029136
0132






C
yx
yx
- )2,1(
CHAB
unCHAB 
 0162:  yxABpt . 
0.25 
- Từ hệ )5;6(
029136
0162
M
yx
yx






 ).4;8(B 0.25 
- Giả sử phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp .0: 22  pnymxyxABC 
Vỡ A, B, C thuộc đường trũn nờn 








0750
04880
06452
pnm
pnm
pnm









72
6
4
p
n
m
. 
0.25 
Suy ra pt đường trũn: 0726422  yxyx hay .85)3()2( 22  yx 0.25 
Cõu 8 
Giải hệ: 
        

     
2
2
x y x y 3 (x y) 2 x y (1)
(x,y R)
x x y 2 x y 3 (2)
. 
 i u kiện: 
0
0
x y
x y
 

 
 (*) 
 t 0t x y   , từ (1) ta cú:    2t t 3 t 2 t 
0.25 
     2t t t 3 2 t 0 

   
 
3(1 t)
t(1 t) 0
t 3 2 t
 
    
  
3
(1 t) t 0
t 3 2 t
 t 1 (Vỡ    
 
3
t 0, t 0
t 3 2 t
). 
0.25 
Suy ra 1 1x y y x     (3). 
Thay (3) vào (2) ta cú:    2x 3 2x 1 3 
      2( x 3 2) ( 2x 1 1) 0
 
  
  
2
2
x 1 2x 2
0
2x 1 1x 3 2
0.25 
M(6; 5) 
A(4; 6) 
C(-7; -1) 
B(8; 4) 
H 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
16 
 
     
   
2
x 1 2
(x 1) 0
2x 1 1x 3 2
 x 1 (Vỡ 

  
  2
x 1 2 1
0,x
22x 1 1x 3 2
). 
Suy ra (x = 1; y = 0), thoả món (*) 
Vậy hệ đó cho cú nghiệm duy nh t ( x = 1; y = 0). 
0.25 
Cõu 9 
Ta cú : 
2 2 2 2 2 2x x y y z z
P
y z z x x y
      (*) 
Nhận th y : x2 + y2 – xy  xy x, y  R 
Do đú : x3 + y3  xy(x + y) x, y > 0 hay 
2 2x y
x y
y x
   x, y > 0 
0.25 
Tương tự, ta cú : 
2 2y z
y z
z y
   y, z > 0 
2 2z x
z x
x z
   x, z > 0 
0.25 
Cộng từng vế ba b t đẳng thức vừa nhận được ở trờn, ết hợp v i (*), ta được: 
P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 
0.25 
Hơn n a, ta lại cú P = 2 hi x = y = z = 
1
3
 Vỡ vậy, minP = 2. 0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
17 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐỀ SỐ 34 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: 4 2 22( 1) 1 (1)y x m x    
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. 
b) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số (1) cú 3 điểm cực trị th a món giỏ trị cực 
tiểu đạt giỏ trị l n nh t. 
Cõu 2 (1,0 điểm). 
a) Giải phương trỡnh : sin2 cos sin 1 ( )x x x x R    
b) Giải b t phương trỡnh : 21 2
2
log log (2 ) 0 ( )x x R     . 
Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 
2
31 1
dx
I
x x


 . 
Cõu 4 (0,5 điểm). Cho số phức z th a món đi u kiện 
11
1
2
z
z
z

 

 Hóy tớnh 
4
2
z i
z i


. 
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh lăng trụ . ' ' 'ABC A B C , ABC đ u cú cạnh bằng a , 'AA a và đ nh 
'A cỏch đ u , ,A B C . G i M , N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và 'A B Tớnh theo a thể 
tớch hối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và hoảng cỏch từ C đến m t phẳng ( )AMN . 
 Cõu 6 (1,0 điểm). Trong hụng gian v i hệ t a độ Oxyz , cho m t cầu ( )S cú phương trỡnh 
2 2 2 4 6 2 2 0x y z x y z       . Lập phương trỡnh m t phẳng ( )P chứa truc Oy và cắt m t cầu 
( )S theo một đường trũn cú bỏn ớnh 2 3r  . 
Cõu 7 (0,5 điểm). Giải búng chuy n VTV Cup gồm 12 đội búng tham dự, trong đú cú 9 đội nư c 
ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiờn để chia thành 3 bảng A, B, C 
mỗi bảng 4 đội Tớnh xỏc su t để 3 đội búng của Việt Nam ở ba bảng hỏc nhau 
Cõu 8 (1,0 điểm). Trong m t phẳng v i hệ t a độ Oxy, cho tam giỏc ABC v i đường cao AH
cú phương trỡnh 3 4 10 0x y   và đường phõn giỏc trong BE cú phương trỡnh 1 0x y   . 
 iểm (0;2)M thuộc đường thẳng AB và cỏch đ nh C một khoảng bằng 2 Tớnh diện tớch tam 
giỏc ABC . 
Cõu 9 (1,0 điểm). Giải b t phương trỡnh:  2 25 4 1 ( 2 4)x x x x x     (x R). 
Cõu10 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực ;x y thay đổi Tỡm giỏ trị nh nh t của biểu thức: 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
18 
2 2 2 22 1 2 1 2P x y x x y x y          
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 34 
Cõu 1 
1a H c sinh tự làm 1.0 
1b 
y’ = 4x3 – 4(m2+1)x 0.25 
y’ = 0  
2
0
1
x
x m


  
  hàm số (1) luụn cú 3 điểm cực trị v i m i m 0.25 
2 1CTx m    giỏ trị cực tiểu 
2 2( 1) 1CTy m    0.25 
2 2ỡ ( 1) 1 0CTV m y    
2max( ) 0 1 1 0CTy m m      0.25 
Cõu 2 
2a 
sin2 cos sin 1 x x x   (1) 
(1)  (sin cos )(1 sin cos ) 0x x x x    
0.25 
sin cos 0
1 sin cos 0
x x
x x
 
    
4
( )
3
2 2
2
x k
k Z
x k x k

  
 
     

 0.25 
2b 
2
1 2
2
log log (2 ) 0 ( )x x R     (2). 
 i u kiện: 2 22log (2 ) 0 2 1 1 1x x x        
0.25 
Khi đú (2)  22 2 2
1 1 1 1 1 1
log (2 ) 1
 02 2 0
x x x
x
xx x
         
      
    
Vậy tập nghiệm bpt là ( 1;0) (0;1)S    
0.25 
Cõu 3 
2
2 2
3 3 31 11 1
dx x dx
I
x x x x
 
 
  . 0.25 
 t 3 3 2 2
2
1 1 .
3
t x x t x dx t dt       . 
1 2 ; 2 3x t x t      
0.25 
3 3
22 2
2 . 1 1 1
3 3 1 1( 1)
t dt
I dt
t tt t
 
   
   
  0.25 
3
2
1 1 1 1 2 1 1 3 2 2
ln ln ln ln
3 1 3 2 3 22 1
x
I
x
   
    
  
 0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
19 
Cõu 4 
11
1
2
z
z
z

 

  2 4 13 0z z   , 2' 9 9i     
2 3
2 3
z i
z i
 
  
 0.25 
2 3z i   
4
2
z i
z i


=
2
1
2
i
i



2 3z i   
4
2
z i
z i


=
2 7 53
2 5 29
i
i



0.25 
Cõu 5 
 G i O là tõm tam giỏc đ u ABC  
A’O  (ABC) 
Ta cú 
3 2 3
, 
2 3 3
a a
AM AO AM   
2
2 2 2 6' '
3 3
a a
A O AA AO a     
; 
2 3
4
ABC
a
S  
Thể tớch hối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C : 
2 23 6 2
. ' .
4 3 4
ABC
a a a
V S A O   
0.25 
 Ta cú  
1
. ,( )
3
NAMC AMCV S d N ABC  
3
,( ) NAMC
AMC
V
d C AMN
S
  
 
21 3 1 6
; ,( ) '
2 8 2 6
AMC ABC
a a
S S d N ABC A O    
0.25 
Suy ra: 
2 21 3 6 2
.
3 8 6 48
NAMC
a a a
V   
lại cú : 
3
2
a
AM AN  , nờn AMN cõn tại A 
0.25 
G i E là trung điểm AM suy ra AE MN , 
'
2 2
A C a
MN   
2 2
2 2 3 11
4 16 4
a a a
AE AN NE      ; 
21 11
.
2 16
AMN
a
S MN AE  
 
23 2 11 22
,( ) :
48 16 11
a a a
d C AMN   (đvđd) 
0.25 
Cõu 6 
2 2 2 2 2 2( ) : 4 6 2 2 0 ( 2) ( 3) ( 1) 16S x y z x y z x y z              0.25 
E 
A 
B 
C 
C
'
’ 
B
'
’ 
A
'
’ 
M 
O 
N 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
20 
 ( )S cú tõm (2; 3;1)I  bỏn ớnh 4R  ; trục Oy cú VTCP (0;1;0)j  
G i ( ; ; )n a b c là VTPT mp(P) , 
( )P chứa Oy  2 20 ( ;0; ) ( 0)n j b n a c a c       
0.25 
Phương trỡnh mp(P): 0ax cz  
(P) cắt m t cầu (S) theo đường trũn cú bỏn inh 2 3r  
   2 2,( ) 2d I P R r    2 2 2 2
2 2
2
2 4 4 4 4
a c
a ac c a c
a c

     

0.25 
2
0
3 4 0
3 4
c
c ac
c a

     
Vậy phương trỡnh mp(P) : 0x  ho c 3 4 0x z  . 
0.25 
Cõu 7 
Số phần tử hụng gian mẫu là 4
4 4 4
12 8( ) . . 34.650n C C C   
G i A là biến cố “3 đội bong của Việt nam ở ba bảng hỏc nhau” 
0.25 
Số cỏc ết quả thuận lợi của A là 3 3 39 6 3( ) 3 .2 .1. 1080n A C C C  
Xỏc xu t của biến cố A là 
( ) 1080 54
( ) 0,31
( 34650 173
n A
P A
n
  

0.25 
Cõu 8 
G i N là điểm đối xứng của M qua phõn 
giỏc BE thỡ N thuộc BC 
Tớnh được N(1; 1) ường thẳng BC 
qua N và vuụng gúc v i AH nờn cú 
phương trỡnh 4x − 3y – 1 = 0 
B là giao điểm của BC và BE Suy ra 
t a độ B là nghiệm của hệ pt: 
4 3 1 0
(4;5)
 1 0
x y
B
x y
  

  
0.25 
 ường thẳng AB qua B và M nờn cú phương trỡnh : 3x – 4y + 8 = 0 
A là giao điểm của AB và AH, suy ra t a độ A là nghiệm hệ pt: 
3 4 8 0 1
( 3; )
 3 4 10 0 4
x y
A
x y
  
  
  
0.25 
 iểm C thuộc BC va MC = 2 suy ra t a độ C là nghiệm hệ pt: 
2 2
(1;1)1; 14 3 1 0
31 3331 33
;; ( 2) 2
25 2525 25
Cx yx y
Cx yx y
                
0.25 
Thế t a độ A và C(1; 1) vào phương trỡnh BE thỡ hai giỏ trị trỏi d u, suy ra A, C 
 hỏc phớa đối v i BE, do đú BE là phõn giỏc trong tam giỏc ABC. 
Tương tự A và 
31 33
;
25 25
C
 
 
 
 thỡ A, C cựng phớa v i BE nờn BE là phõn giỏc ngoài 
của tam giỏc ABC. 
0.25 
 A 
B 
C 
H 
E 
M(0;
2) 
N 
I 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
21 
BC = 5, 
49
( , )
20
AH d A BC  Do đú 
49
8
ABCS  (đvdt) 
Cõu 9 
 2 25 4 1 ( 2 4)x x x x x     (*) 
 K: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0  
1 5 0
1 5
x
x
   

  
Khi đú (*)  2 24 ( 2 4) 5 4x x x x x     
 2 24 ( 2 4) ( 2 4) 3x x x x x x      (**) 
0.25 
TH 1: 1 5x    , chia hai vế cho x > 0, ta cú: 
(**)  
2 22 4 2 4
4 3
x x x x
x x
   
  
 t 
2 2 4
, 0
x x
t t
x
 
  , ta cú bpt: 2 4 3 0t t   1 3t   
22
2
7 4 02 4
1 3
4 0
x xx x
x x x
     
   
  
  
1 17 7 65
2 2
x
  
  
0.25 
TH 2: 1 5 0x    , 2 5 4 0x x   , (**) luụn th a 0.25 
Vậy tập nghiệm bpt (*) là 
1 17 7 65
1 5;0 ;
2 2
S
   
      
 
 0.25 
Cõu 10 
2 2 2 22 1 2 1 2P x y x x y x y          
Xột cỏc điểm M x−1; −y , N(x+1; y). Ta cú OM + ON ≥ MN 
 2 2 2 2 2( 1) ( 1) 4 4x y x y y       
 22 1 2 ( )P y y f y     
0.25 
TH1: y ≤ 2: 
2( ) 2 1 2f y y y     
2
2
'( ) 1
1
y
f y
y
 

2
2
0 3
'( ) 0 2 1
33 1
y
f y y y y
y

      

Lập bảng biến thiờn f(y)  
( .2]
3
min ( ) 2 3
3x
f y f
 
 
   
 
0.25 
TH2: y ≥ 2: 
2( ) 2 1 2f y y y    ≥ 2 5 2 3  0.25 
Vậy 2 3 ;P x y   . 
Do đú 2 3MinP   khi x = 0 ; y = 
3
3
0.25 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
22 
THẦY HOÀNG HẢI-FB/ZALO 0966405831 
23 
TRUNG TÂM LUYỆN THI 
THĂNG LONG 
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 
ĐỀ SỐ 35 
Cõu 1: (2 điểm) 
Cho hàm số 
2
32



x
x
y 
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại M cú hoành độ 0 1x  
Cõu 2 (1 điểm) 
1. Giải phương trỡnh 






24
cos2sin
2
cossin
2
sin1
22 x
x
x
x
x 
2 Tỡm số phức z biết rằng: (1 ) 4 7z i z i    
Cõu 3 (0,5 điểm) 
 Giải b t