TRƯỜNG THPT CHUYấN HƯNG YấN BAN CHUYấN MễN ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA 2015 Mụn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 3 2 y x mx = + + (1), với m là tham số thực. a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. b) Tỡm m để đồ thị hàm số (1) cú hai điểm cực trị A, B sao cho diện tớch tam giỏc OAB bằng 2 (O là gốc tọa độ). Cõu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trỡnh ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 log 4 4 log 2 3 log 2 x x x + + ³ - - . Cõu 3 (1,0 điểm). a) Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho cỏc số phức là nghiệm của phương trỡnh 2 2 3 0 z z + + = . Tớnh độ dài đoạn thẳng AB. b) Trong kỡ thi THPT Quốc gia năm 2015, mỗi thớ sinh cú thể dự thi tối đa 8 mụn: Toỏn, Lý, Húa, Sinh, Văn, Sử, Địa và Tiếng anh. Một trường Đại học dự kiến tuyển sinh dựa vào tổng điểm của 3 mụn trong kỡ thi chung và cú ớt nhất 1 trong hai mụn là Toỏn hoặc Văn. Hỏi trường Đại học đú cú bao nhiờu phương ỏn tuyển sinh? Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 2 0 sin cos 2 3cos 2 x I dx x x p = + + ũ Cõu 5 (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( ) 4;2;2 , 0;0;7 A B và đường thẳng 3 6 1 : 2 2 1 x y z d - - - = = - . Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cựng thuộc một mặt phẳng. Tỡm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giỏc ABC cõn đỉnh A. Cõu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C cú đỏy là tam giỏc cõn, AB AC a = = , ã 0 120 BAC = . Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đỏy gúc 60 0 . Tớnh thể tớch lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cỏch từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( ) ' ' AB C theo a . hoctoancapba.com Cõu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú ( ) 1;2 A - . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BMK, biết BN cú phương trỡnh 2 8 0 x y + - = và điểm B cú hoành độ lớn hơn 2. Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 3 , 1 2 2 y x y x y xy x y y x y y x ỡ - + = + + ù ẻ ớ ù + + + = - ợ Ă Cõu 9 (1,0 điểm). Cho , , x y z là cỏc số thực dương thỏa món ( ) ( ) 2 2 2 5 9 2 x y z xy yz zx + + = + + Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: ( ) 3 2 2 1 x P y z x y z = - + + + ưưưưưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưưưưưưư Cảm ơn bạn MathLove(lovemaths.@yahoo.com.vn) đó gửi tới www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN Cõu Nội dung Điểm 1 a) Khảo sỏt hàm số 3 2 3 2 y x mx = + + Với m = 1, ta cú hàm số: y = x 3 + 3x 2 + 2 *) TXĐ: Ă *) Sự biến thiờn: +) Giới hạn tại vụ cực: lim x y đ±Ơ = ±Ơ 0,25 +) Chiều biến thiờn: y' = 3x 2 + 6x ị y' = 0 Û x = 0 hoặc x = ư2 Bảng biến thiờn: x ưƠ ư 2 0 +Ơ y ’ + 0 ư 0 + y 6 +Ơ 2 ưƠ 0,25 ị hàm số đồng biến trờn (ưƠ; ư2) và (0; +Ơ); hàm số nghịch biến trờn (ư2; 0) hàm số đạt cực đại tại x = ư2, yCĐ = 6; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 2 0,25 *) Đồ thị: Nhận xột: đồ thị hàm số nhận điểm I(ư1; 4) làm tõm đối xứng. 0,25 b) Tỡm m để đồ thị hàm số (1) cú hai điểm cực trị A, B sao cho diện tớch tam giỏc OAB bằng 2 Với mọi x ẻ Ă , y' = 3x 2 + 6mx ị y' = 0 Û x = 0 hoặc x = ư2m Để hàm số cú cực đại, cực tiểu thỡ phương trỡnh y' = 0 cú hai nghiệm phõn biệt Û m ạ 0 Khi đú, tọa độ cỏc điểm cực trị là: A(0; 2); B(ư2m; 4m 3 + 2) 0,5 SOAB = 1 Û OA.d(B;OA) = 4 Û 1 2 2 1 m m m = ộ - = Û ờ = - ở (thỏa món) Vậy với m = ± 1 thỡ hàm số cú 2 cực trị thỏa món bài. 0,5 2 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 log 4 4 log 2 3 log 2 x x x + + ³ - - 0,5 6 4 2 ư2 ư5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 log 4 4 log 2 3 log 2 log 4 4 log 2 3.2 x x x x x x + + Û + ³ - + Û + ³ - ( ) 2 1 4 4 2 3.2 4 3.2 4 0 2 1 2 2 4 x x x x x x x L x + Û + Ê - Û - - ³ ộ Ê - Û Û ³ ờ ³ ờ ở Vậy BPT cú tập nghiệm: S = [ ) 2;+Ơ 0,5 3 a) Xột phương trỡnh: 2 2 3 0 z z + + = D' = 1 ư 3 = ư2 = ( ) 2 2 i Phương trỡnh cú hai nghiệm: 1 2 1 2; 1 2 z i z i = - + = - - 0,25 ị ( ) ( ) 1; 2 ; 1; 2 A B - - - AB = 2 2 0,25 b) TH1: Trường ĐH chỉ xột 1 trong 2 mụn Toỏn hoặc Văn: Cú: 2 6 2. 30 C = (cỏch) 0,25 TH2: Trường ĐH xột cả hai mụn Toỏn và Văn: Cú: 1 6 1. 6 C = (cỏch) Vậy cú cỏc trường hợp là: 30 + 6 = 36 (cỏch) 0,25 4 2 2 2 0 0 sin sin cos2 3cos 2 2cos 3cos 1 x x I dx dx x x x x p p = = + + + + ũ ũ Đặt cosx = t ị dt = ưsinxdx Với x = 0 ị t = 1; với x = 2 p ị t = 0 0,25 ( )( ) 1 1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 3 1 2 1 1 2 1 2 2 dt dt I dt t t t t t t ổ ử = = = - ỗ ữ + + + + + + ố ứ ũ ũ ũ 0,25 = 1 0 2 1 3 ln ln 2 2 2 t t + ổ ử = ỗ ữ + ố ứ 0,5 5 Đường thẳng d cú vộctơ chỉ phương ( ) 2;2;1 u - r và đi qua M(3;6;1) Đường thẳng AB cú vộctơ chỉ phương ( ) 4; 2;5 AB - - uuur ( ) 1;4; 1 AM - - uuuur Ta cú: ( ) , 12;6;12 u AB ộ ự = ở ỷ r uuur ị , . 12 24 12 0 u AB AM ộ ự = - + - = ở ỷ r uuur uuuur Vậy AB và d đồng phẳng 0,5 ( ) 3 2 ;6 2 ;1 C d C t t t ẻ ị - + + Tam giỏc ABC cõn tại A Û AB = AC Û (1 + 2t) 2 + (4 + 2t) 2 + (1 ư t) 2 = 45 Û 9t 2 + 18t ư 27 = 0 Û t = 1 hoặc t = ư3 Vậy C(1; 8; 2) hoặc C(9; 0; ư2) 0,5 6 + Xỏc định gúc giữa (AB'C') và mặt đỏy là ã ' AKA ã 0 ' 60 AKA ị = . Tớnh A'K = 1 ' ' 2 2 a A C = ị 0 3 ' ' . tan 60 2 a AA A K = = 3 . ' ' ' 3 =AA'.S 8 ABC A B C ABC a V = hoctoancapba.com 0,5 +) d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C')) Chứng minh: (AA'K) ^ (AB'C') Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuụng gúc với AK ị A'H ^ (AB'C') ị d(A';(AB'C')) = A'H Tớnh: A'H = 3 4 a Vậy d(B;(AB'C')) = 3 4 a 0,5 H K C' B' A' C B A 7 Gọi E = BN ầ AD ị D là trung điểm của AE Dựng AH ^ BN tại H ị ( ) 8 AH d A;BN 5 = = Trong tam giỏc vuụng ABE: 2 2 2 2 1 1 1 5 AH AB AE 4AB = + = ị 5.AH AB 4 2 = = 0,25 B ẻ BN ị B(b; 8 ư 2b) (b > 2) AB = 4 ị B(3; 2) 0,25 Phương trỡnh AE: x + 1 = 0 E = AE ầ BN ị E(ư1; 10) ị D(ư1; 6) ị M(ư1; 4) 0,25 Gọi I là tõm của (BKM) ị I là trung điểm của BM ị I(1; 3) BM R 5 2 = = . Vậy phương trỡnh đường trũn: (x ư 1) 2 + (y ư 3) 2 = 5. 0,25 8 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 3 1 1 2 2 2 y x y x y xy y x y x y ỡ - + = + + ù ớ + + + = - + ù ợ ĐK: y ³ ư1 Xột (1): ( ) 2 2 1 2 2 3 y x y x y xy - + = + + Đặt ( ) 2 2 2 0 x y t t + = ³ Phương trỡnh (1) trở thành: ( ) 2 2 2 1 2 2 3 0 t y t x y x y xy + - - - - - - = D = (1 ư y) 2 + 4(x 2 + 2y 2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 x y x y t x y t x y x y x y ộ + = - - - = - - - ộ ờ ị Û ờ = + ờ ở + = + ở 0,5 Với 2 2 2 1 x y x y + = - - - , thay vào (2) ta cú: 2 1 1 3 1 0 3 9 5 0 y y y y y y ỡ ³ - ù + = + Û Û = ớ ù + = ợ ị 2 1 x x = - - (vụ nghiệm) 0,25 H E K N M D C B A Với 2 2 2 2 x y x y + = + , ta cú hệ: 2 2 1 5 1 2 4 1 5 2 2 2 x y x x y x y y ỡ - - = ù ỡ + = - ù ù Û ớ ớ + + = + ù ù ợ = ù ợ Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( ) 1 5 1 5 ; ; 4 2 x y ổ ử - - + = ỗ ữ ố ứ 0,25 9 Từ điều kiện: 5x 2 + 5(y 2 + z 2 ) = 9x(y + z) + 18yz hoctoancapba.com Û 5x 2 ư 9x(y + z) = 18yz ư 5(y 2 + z 2 ) Áp dụng BĐT Cụsi ta cú: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 yz y z ;y z y z 4 2 Ê + + ³ + ị 18yz ư 5(y 2 + z 2 ) Ê 2(y + z) 2 . Do đú: 5x 2 ư 9x(y + z) Ê 2(y + z) 2 Û [x ư 2(y + z)](5x + y + z) Ê 0 ị x Ê 2(y + z) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 2 x 1 2x 1 4 1 P y z y z x y z y z x y z 27 y z = - Ê - Ê - + + + + + + + + Đặt y + z = t > 0, ta cú: P Ê 4t ư 3 1 t 27 Xột hàm ị P Ê 16. Vậy MaxP = 16 khi 1 y z 12 1 x 3 ỡ = = ù ù ớ ù = ù ợ Cảm ơn bạn MathLove(lovemaths.@yahoo.com.vn) đó gửi tới www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: