Đề thi thử học sinh giỏi lần 11 năm học 2013 - 2014 môn toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi

SỞ GD&ĐT HOÀ BèNH
TRƯỜNG THPT 19-5
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 11 NĂM HỌC 2013-2014
Mụn TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề, khụng sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi.
Cõu I (4 điểm) Cho hàm số (C)
 	1) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đú vuụng gúc với đường thẳng 
	2) Tỡm trờn đường thẳng (d): y = 2 cỏc điểm mà từ đú cú thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Cõu II (6 điểm) Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau:
tan(-x) + = 2
Cõu III (4 điểm)
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = và góc BAD = 600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. 
Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). 
Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Cõu IV (3 điểm)
Cho đường tròn (C) có phương trình : và đường thẳng (d) có phương trình : x + y – 2 = 0. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. 
Cõu V (3 điểm)
	1) Tỡm a để phương trỡnh sau cú nghiệm: 
 ( Dự bị KA-02)
	2) Cho tam giác nhọn ABC , tìm giá trị bé nhất của biểu thức:
----------------HẾT----------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 11
Cõu I. 2/ Gọi M(m; 2) ẻ d. Phương trỡnh đường thẳng D qua M cú dạng: .
	Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) Û Hệ phương trỡnh sau cú 3 nghiệm phõn biệt:
	 Û 
Cõu II.
1) (1) ( cosx+1)(1- 2sinx) = 0 
Vậy x= và x= (kZ) là 2 nghiệm
2) 
3) (2) Û . Đặt a = 2x; b = . (2) Û 
	Hệ đó cho cú nghiệm: 
Cõu III.
Chứng tỏ AC’ BD
C/m AC’ PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN. Suy ra AC’ (BDMN)
Tớnh đỳng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’. Nếu dựng cỏch hiệu cỏc thể tớch thỡ phải chỉ ra cỏch tớnh. Tớnh đỳng diện tớch hỡnh thang BDMN . Suy ra thể tớch cần tỡm là: .
Cõu IV
(C) cú tõm I(2;2), bỏn kớnh R=2
C
Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ:
 Hay A(2;0), B(0;2)
Hay (d) luụn cắt (C ) tại hai điểm phõn biệt A,B
Ta cú (H là hỡnh chiếu của C trờn AB)
 Dễ dàng thấy CH max 
Hay : y = x với Vậy thỡ 
Cõu V.
1) Đk . Đặt t=. Ta thấy 
Nờn 
Bài toỏn quy về: Tỡm a để phương trỡnh t2- (a+2)t +2a +1 =0 (1) cú nghiệm t thoả 
(1)f(t)=
số nghiệm của phương trỡnh (1) trong bằng số giao điểm của đường thẳng y=a và đồ thị hàm số f(t) = 
Lập bảng biến thiờn ta được kết quả: 
2) =.
 .
Vì nên , dấu bằng xẩy ra khi hay . Nhưng , dấu bằng xẩy ra khi hay A = 
Tóm lại : S có giá trị bé nhất bằng -1 khi ABC là tam giác đều.