Đề thi thử học sinh giỏi lần 10 năm học 2013 - 2014 môn toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi

SỞ GD&ĐT HOÀ BÌNH
TRƯỜNG THPT 19-5
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 10 NĂM HỌC 2013-2014
Môn TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi.
Câu 1. (2 điểm)
1/ Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x
Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1 và x2 thỏa mãn x1 = - 4x2 
2/ Cho hàm số y = x3 – 3x2+2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y =3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
Câu 2. (6 điểm)
1) 
2) sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin(2x+) = 0
Giải hệ phương trình : 
Câu 3. (4 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc là 450. Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho . gọi K là trung điểm AA’, là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. 
1) Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ 
2) Tính tỉ số thể tích .
Câu 4. (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng . Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15.
2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
Câu 5 (3 điểm): 
1) Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 .
2) Cho a, b, c và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
----------------HẾT----------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 10
Câu 1:
1/. TXĐ: D = R
 - y’ = 12x2 + 2mx – 3 
 Ta có: D’ = m2 + 36 > 0 với mọi m, vậy luôn có cực trị 
 Ta có: 
2/Gọi tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2)
 Xét biểu thức P=3x-y-2
 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4P=6>0
 Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng
 Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2
 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
=> 
Câu 2.
1/ (2)
Điều kiện: 
+ Với ta có phương trình ; 
+ Với ta có phương trình (4); 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là hoặc 
2/sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin(2x+) = 0 
 Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x + )=0
sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x + )sinx + sin4x = 1+ sin4xsinx = 1
x = + k2, kZ
3/*Biến đổi hệ tương đương với 
*Đặt ẩn phụ , ta được hệ 
*Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3) 
*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)
Câu 3. Gọi Q, I, J lần lượt là 
trung điểm B’C’, BB’, CC’
ta có: 
Vì vuông cân tại H.
Vậy 
Ta có (đvdt)
(đvtt) (1)
Vì vuông cân 
G ọi E = MNKH BM = PE = CN (2)
mà AA’ = = 
Ta có thể tích K.MNJI là:
Câu 4.
1/ Gọi . Khi đó diện tích tam giác ABC là
 .
 Theo giả thiết ta có 
Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).
2/ A(0;2), I(-2 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’
Pt đường thẳng IA : , => I’(), 
(C’): 
Câu 5.
1/ Ta c ó: 
Xét hàm số , với 0<x<3
 Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7 .
2/ Ta có: P + 3 = 
Để PMin khi a = b = c = 1