Đề thi thử đại học lần 2 - Năm học 2011 môn: Toán (thời gian : 180 phút)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 - NĂM HỌC 2011
Mụn: TOÁN (Thời gian : 180 phỳt)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Cõu I (2 điểm):
 1).Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số : . Tỡm điểm thuộc (C) cỏch đều 2 đường tiệm cận .
 2).Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh sau cú 2 nghiệm trờn đoạn .
sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x )
Cõu II (2 điểm):
 1).Tỡm cỏc nghiệm trờn của phương trỡnh : 
	2).Giải phương trỡnh: 
Cõu III (1 điểm):	Cho chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bờn SA = 5 vuụng gúc với đỏy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.
1).Tớnh gúc giữa AC và SD;	2).Tớnh khoảng cỏch giữa BC và SD.
Cõu IV (2 điểm):
1).Tớnh tớch phõn: I =
2). a.Giải phương trỡnh sau trờn tập số phức C : | z | - iz = 1 – 2i
 b.Hóy xỏc định tập hợp cỏc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn cỏc số phức z thoả món : 
 1 < | z – 1 | < 2
PHẦN TỰ CHỌN: Thớ sinh chọn cõu V.a hoặc cõu V.b 
Cõu V.a.( 2 điểm ) Theo chương trỡnh Chuẩn
 1).Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phõn giỏc trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y – 5 = 0
 2). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc đường thẳng:
 và 
Chứng minh rằng (d1) và (d2) chộo nhau.
Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú đường kớnh là đoạn vuụng gúc chung của (d1) và (d2).
3). Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh . Một hộp khỏc chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh . Lấy ngẫu nhiờn từ mỗi hộp bi một viờn bi . Tỡm xỏc suất để 2 bi lấy ra cựng màu .
Cõu V.b.( 2 điểm ) Theo chương trỡnh Nõng cao
	1).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcỏc vuụng gúc Oxy , xột tam giỏc ABC vuụng tại A, phương trỡnh đường thẳng BC là : x – y - = 0, cỏc đỉnh A và B thuộc trục hoành và bỏn kớnh đường trũn nội tiếptam giỏc ABC bằng 2 . Tỡm tọa độ trọng tõm G của tam giỏc ABC .
2).Cho đường thẳng (d) : và 2 mp (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q) : x + 2y + 2z + 7 = 0
a. Viết phương trỡnh hỡnh chiếu của (d) trờn (P) 
b. Lập ph.trỡnh mặt cầu cú tõm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xỳc với hai mặt phẳng (P) và (Q)
3). Chọn ngẫu nhiờn 5 con bài trong bộ tỳ lơ khơ . Tớnh xỏc suất sao cho trong 5 quõn bài đú cú đỳng 3quõn bài thuộc 1 bộ ( vớ dụ 3 con K )
	 ----------------------------- Hết -----------------------------
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
trường thpt hậu lộc 2
đáp án đề thi thử đại học lần 1 năm học 2009-2010
Môn thi: toán 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu
Nội dung
Điểm
I
2.0đ
1
1,25đ
Khảo sát và vẽ ĐTHS
 - TXĐ: D =\ {2}
- Sự biến thiên:
+ ) Giới hạn : nên đường thẳng y = 3 là tiêm cận ngang của đồ thị hàm số 
+) . Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
+) Bảng biến thiên:
Ta có : y’ = < 0 , 
y’
y
x
-
-
2
3
3
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và 
- Đồ thị
+ Giao điểm với trục tung : (0 ;2)
+ Giao điểm với trục hoành : ( 4/3 ; 0)
+ ĐTHS nhận giao điểm I(2 ;3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng	
x
O
y
Gọi M(x;y) (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3 
| x – 2 | = | y – 3 | 
Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6)
0,25
0,25
0,25
0.5
2
0.75đ
Xét phương trình : sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x ) (2)
(1) 
Đặt t = sin22x . Với thì . Khi đó (1) trở thành :
2m = với 
Nhận xét : với mỗi ta có : 
Để (2) có 2 nghiệm thuộc đoạn thì 
Dưa vào đồ thị (C) ta có : y(1)< 2m ≤ y(3/4) 
Vậy các giá trị cần tìm của m là : 
0,25
0,5
II
2,0đ
1
1,0đ
 (1) 
ĐK : sinx ≠ 0 
Khi thì sinx > 0 nên :
(1) cos2x = cos
Do nên 
Khi thì sinx < 0 nên :
(1) cos2x = cos
Do nên 
0,5
0,5
2
1,0đ
Đặt . Ta có : 
Với u = -3 , v = - 4 ta có : x = - 61
Với u = 4, v = 3 ta có : x = 30
Vậy Pt đã cho có 2 nghiệm : x = -61 và x = 30
0,25
0,5
0.25
III
1.0đ
1đ
a)Ta có : AB = , 
Gọi M là trung điểm của BC ,
 ta có : DM = 1
SD = , 
SC = 
SM = 
Ta có : (*)	
Góc giữa hai đường thẳng AC và SD là góc giữa hai đường thẳng DM và SD hay bù với góc SDM . Do đó : cos = 
b) Kẻ DN // BC và N thuộc AC . Ta có : BC // ( SND) . Do đó : 
d(BC, SD) = d( BC/(SND)) = d(c/(SND))
Kẻ CK và AH vuông góc với SN , H và K thuộc đường thẳng SN 
Ta có : DN // BC 
 Và 
Từ (1) và (2) suy ra : DN ( SAC) 
Do cách dựng và (3) ta có : CK (SND) hay CK là khoảng cách từ C đến mp(SND) 
Mặt khác : ΔANH = ΔCNK nên AH = CK 
Mà trong tam giác vuông SAN lại có : 
Vậy khoảng cách giữa BC và SD là : CK = 
0.5
0,5
IV
2đ
1
1.0đ
Ta có : sinx – cosx + 1 = A(sinx + 2cosx + 3) + B(cosx – sinx) + C 
 = (A – 2B) sinx + ( 2A + B) cosx + 3A + C
Vậy I = 
I = 
I = 
Tính J = . 
Đặt t = tan
Đổi cận : Khi x = thì t = 1
 Khi x = 0 thì t = 0 
Vậy 
Lại đặt t = 1 = 2 tan u . suy ra dt = 2 ( tan2u + 1)du
Đổi cận khi t = 1 thì u = 
Khi t = 0 thì u = với tan
Do đó : I = 
0,25
0,25
0.5
2a
0.5đ
G/s số phức z có dạng : z = x + iy với x,y , | z | = 
Ta có : | z | = 1 + ( z – 2 ) i 
= ( 1 – y ) + ( x – 2 ) i
0,5
0.5
2b
0.5đ
G/s số phức z có dạng : z = x + iy với x,y , 
Ta có : | z - i | = | x + ( y - 1)i | = 
Do đó : 1 < | z - i | < 2 1 < | z - i |2 < 4
Gọi (C1) , (C2) là hai đường tròn đồng tâm I( 0 ; 1) và có bán kính lần lượt là : R1=1 , R2 = 2 . Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần nằm giữa hai đường tròn (C1) và (C2)
Va
3đ
1
+) PT cạnh BC đi qua B(2 ; -1) và nhận VTCP của (d2) làm VTPT 
(BC) : 4( x- 2) + 3( y +1) = 0 hay 4x + 3y - 5 =0
+) Tọa độ điểm C là nghiệm của HPT : 
+) Đường thẳng ∆ đi qua B và vuông góc với (d2) có VTPT là 
∆ có PT : 2( x - 2) - ( y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0 
+) Tọa độ giao điểm H của ∆ và (d2) là nghiệm của HPT :
+) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (d2) thì B’ thuộc AC và H là trung điểm của BB’ nên : 
+) Đường thẳng AC đi qua C( -1 ; 3) và B’(4 ; 3) nên có PT : y - 3 = 0
+) Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT : 
+) Đường thẳng qua AB có VTCP , nên có PT : 
0,25
0,5
0,25
2a
Đường thẳng (d1) đi qua M1( 1; -4; 3) và có VTCP 
Đường thẳng (d2) đi qua M2( 0; 3;-2) và có VTCP 
Do đó : và 
Suy ra . Vậy (d1) và (d2) chéo nhau 
0.5
2b
Lấy A( 1; -4 + 2t; 3 + t) thuộc (d1) và B(-3u; 3 + 2u; -2) thuộc (d2) .Ta có :
A,B là giao điểm của đường vuông góc chung của (d1) và (d2) với hai đường đó 
Suy ra : A( 1; -2; 4) và B(3; 1; -2) AB = 7
Trung điểm I của AB có tọa độ là : ( 2; -; 1) 
Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I và bán kính là AB/2 và có PT :
0,5
3
Số cách lấy 2 bi bất kì từ hai hộp bi là : 52.25 = 1300
Số cách lấy để 2 viên bi lấy ra cùng màu là : 30x10+7x6+15x9 = 477
Xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu là : 	
0.5
0.5
Vb
3.0 đ
1
O
y
x
A
B
C
600
+) Tọa độ điểm B là nghiệm của HPT :
Ta nhận thấy đờng thẳng BC có hệ số góc 
k = , nên . Suy ra 
đường phân giác trong góc B của 
ΔABC có hệ số góc k’ = 
nên có PT : (Δ)
Tâm I( a ;b) của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc (Δ) và cách trục Ox một khoảng bằng 2 nên : | b | = 2
+ Với b = 2 : ta có a = , suy ra I=(  ; 2 )
+ Với b = -2 ta có a = , suy ra I = (  ; -2)
Đường phân giác trong góc A có dạng:y = -x + m (Δ’).Vì nó đi qua I nên 
+ Nếu I=(  ; 2 ) thì m = 3 + 2. 
 Suy ra : (Δ’) : y = -x + 3 + 2. Khi đó (Δ’) cắt Ox ở A(3 + 2. ; 0)
Do AC vuông góc với Ox nên có PT : x = 3 + 2. 
Từ đó suy ra tọa độ điểm C = (3 + 2 ; 6 + 2)
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lúc này là : . 
+ Nếu I=(  ; 2 ) thì m = -1 - 2. 
 Suy ra : (Δ’) : y = - x -1 - 2. Khi đó (Δ’) cắt Ox ở A(-1 - 2. ; 0)
Do AC vuông góc với Ox nên có PT : x = -1 - 2. 
Từ đó suy ra tọa độ điểm C = (-1 - 2 ; -6 - 2)
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lúc này là : . 
Vậy có hai tam giác ABC thoả mãn đề bài và trọng tâm của nó là :
G1 = và G2 = 
0.25
0.5
0,25
2a
+ Đường thẳng (d) đi qua M(0; -1; 0) và có VTCP 
+ Mp (P) có VTPT : 
Mp (R) chứa (d) và vuông góc với (P) có VTPT :
Thay x, y, z từ Pt của (d) vào PT của (P) ta có : 
t - 2 - 2t + 3 = 0 hay t =1 . Suy ra (d) cắt (P) tại K(1; -1; -1)
Hình chiếu (d’) của (d) trên (P) đi qua K và có VTCP :
Vậy (d’) có PTCT : 
0,25
0,25
2b
Lấy I(t; -1; -t) thuộc (d) , ta có :
d1 = d(I, (P)) = ; d2 = d(I, (Q)) = 
Do mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P0 và (Q) nên : R = d1 = d2 
 | 1 - t | = | 5 - t | t = 3
Suy ra : R = 2/3 và I = ( 3; -1; -3 ) . Do đó mặt cầu cần tìm có PT là : 
0,25
0,25
3. sai
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là : 
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là : 13.
Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là : = 	
0.5
0.5