Đề thi thử đại học, cao đẳng 2013 môn thi : Toán học

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
 Môn thi : TOÁN 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) 
 Cho hµm sè y=-x3+3x2-2 (C)
 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
 2. T×m trªn ®­êng th¼ng (d): y=2 c¸c ®iÓm kÎ ®­îc ba tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C ).
Câu II (2,0 điểm) 
 1. Giải bất phương trình ( x R).
 2. Giải phương trình .
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
Câu IV(1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’ và BC là 
Câu V (1,0 điểm) 
 Cho x, y, z thoả mãn x + y + z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a( 2,0 điểm)
 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:, và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’. 
 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: ; d2: và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng D, biết D nằm trên mặt phẳng (P) và D cắt hai đường thẳng d1, d2 .
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0
B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b(2,0 điểm)
1. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 4 y – 5 = 0 và (C2): x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0 Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) 
 2.Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
-----------------Hết---------------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG .
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
1
*Tập xác định: D = R
* y’ = - 3x2 + 6x ; y’ = 0 
*Bảng biến thiên 
 x -¥ 0 3 + ¥
 y’ - 0 + 0 - 
 + ¥ 2 
 y
 -2 	-¥
* Hàm số nghịch biến trên ( -;1) và ( 3; +); đồng biến trên ( 1; 3)
* Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yCT = -2; hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCĐ = 2
* Đồ thị : 
1đ
2
 (1,0 điểm): Gọi M M(m;2). Gọi là đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k PTĐT có dạng : y=k(x-m)+2.
ĐT là tiếp tuyến của (C ) khi và chỉ khi hệ PT sau có nghiệm (I).
Thay (2) và (1) được: 2x3 -3(m+1)x2+6mx-4=0 (x-2)[2x2-(3m-1)x+2]=0
 . Đặt f(x)=VT(3)
Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C) hệ (I) có 3 nghiệm x phân biệt PT(3) có hai nghiệm phan biệt khác 2 .
Vậy M(m;2) thuộc (d): y=2 với thì từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
0,25
0,25
0,25
0,25
II
1
Điều kiện 
Bình phương hai vế ta được 
Đặt ta được bpt ( do) Với 
 ( do ) Vậy bpt có nghiệm 
0,5
0,5
2
4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0(sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0
 . PT (2) có nghiệm .
Giải (2) : Đặ , thay vào (2) được PT: t2-4t-5=0 t=-1( t/m (*)) hoặc t=5(loại )
Với t=-1 ta tìm được nghiệm x là : .
KL: Họ nghiệm của hệ PT là:, 
0,25
0,25
0.25
0,25
III
Đặt . Đổi cận 
Suy ra 
0,5
0,5
IV
Gọi M là trung điểm BC ta thấy: 
Kẻ (do nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)
Do .Vậy HM là đọan vông góc chung của
A
B
C
C’
B’
A’
H
O
M
AA’và BC, do đó .
Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH
 ta có: 
 suy ra 
Thể tích khối lăng trụ: 
0,5
0,5
V
Trước hết ta có: (biến đổi tương đương) 
Đặt x + y + z = a. Khi đó 
(với t = , )
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t. Có
Lập bảng biến thiên GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0
0,5
0,5
VIa
1
Tâm I của đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t)
Theo yc thì k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nên ta có 
Giải tiếp được t = -3 Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.
0,25
0,25
0,5
2
Gọi A = d1Ç(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 Ç (P) suy ra B(2; 3; 1)
Đường thẳng D thỏa mãn bài toán đi qua A và B.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng D là 
Phương trình chính tắc của đường thẳng D là: 
0,5
0,5
VIIa
Xeùt phöông trình Z4 – Z3 + 6Z2 – 8Z – 16 = 0
Deã daøng nhaän thaáy phöông trình coù nghieäm Z1 = –1, sau ñoù baèng caùch chia ña thöùc hoặc Honer ta thaáy phöông trình coù nghieäm thöù hai Z2 = 2. Vaäy phöông trình trôû thaønh:
(Z + 1)(Z – 2)(Z2 + 8) = 0 Suy ra: Z3 = vaø Z4 = –
Ñaùp soá: 
0,5
0,5
VIb
1
Gọi tiếp tuyến chung của là 
 là tiếp tuyến chung của 
Từ (1) và (2) suy ra hoặc 
Trường hợp 1: .Chọn 
Trường hợp 2: . Thay vào (1) được
0,5
0,5
2
Gọi 
0,5
0,5
VIIb
 Điều kiện: 
Hệ phương trình 
 ( loại) Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
0,5
0,5
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định.
------------------Hết------------------