Đề thi olympic toán sinh viên học sinh năm 2016 môn thi: Đại số thời gian làm bài: 180 phút

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016
MÔN THI: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút
Bảng A
Bài A.1. Cho a, b là các số thực và
A =

−a b 0 0
0 −a b 0
0 0 −a b
b 0 0 −a
 .
(i) Tính định thức của A.
(ii) Với các giá trị a, b nào thì A khả nghịch và trong trường hợp đó hãy tính A−1.
(iii) Công ty cây xanh đô thị thực hiện Dự án thay thế các cây già cỗi và cây không đúng chủng
loại bởi các cây mới. Công ty thực hiện chương trình trong bốn tháng. Trong mỗi tháng công
ty sẽ chặt bỏ 10% tổng số cây xanh trong thành phố tính tới ngày đầu tiên của tháng, đồng
thời thực hiện trồng thêm một số cây xanh. Cụ thể trong tháng thứ nhất sẽ trồng thêm 100
cây, tháng thứ hai trồng thêm 102 cây, tháng thứ ba trồng thêm 104 cây, tháng cuối cùng
trồng thêm 106 cây. Tại buổi tổng kết Dự án người ta cho biết, tổng số cây hiện tại trong
thành phố đã tăng thêm 80 so với trước khi thực hiện Dự án. Hỏi hiện nay thành phố có bao
nhiêu cây xanh?
Bài A.2. Ký hiệu V là không gian véc tơ các đa thức có bậc nhỏ hơn n với hệ số thực. Xét ánh xạ
tuyến tính
Φ : V → V, cho bởi Φ(p(x)) = p(x + 1).
(i) Tìm ma trận biểu diễn của Φ theo cơ sở {1, x, x2, . . . , xn−1} của V .
(ii) Chứng minh rằng tồn tại các số thực a0, a1, . . . , an−1 với tính chất sau đây: với mọi đa
thức p(x) hệ số thực bậc nhỏ hơn n thì
p(x + n) + an−1p(x + n− 1) + · · ·+ a1p(x + 1) + a0p(x) = 0.
Bài A.3. Với mỗi số nguyên dương n ≥ 2 xét đa thức Pn(x) = nxn − xn−1 − . . .− x− 1. Hỏi
Pn(x) có bao nhiêu nghiệm thực:
(i) Khi n = 2, 3?
(ii) Khi n ≥ 4?
Bài A.4. Xét mảng 16 × 16 tạo thành từ các dãy điểm như Hình 1 (khoảng cách giữa các hàng
và các cột là 1 đơn vị).
Hình 1. Mảng 16× 16 điểm
(i) Tìm số hình vuông với đỉnh trên mảng và có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích).
(ii) Tìm số hình vuông với đỉnh trên mảng và có diện tích bằng 25 (đơn vị diện tích)?
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2