Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học Mỏ Địa Chất năm 2013

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Mỏ Địa Chất năm 2013
Môn Giải tích
Bài 1 (3 điểm): Tính tích phân: .
Bài 2: (3 điểm): Tính giới hạn sau: .
Bài 3: (3 điểm): Tìm tất cả các giá trị của để hàm số: khả vi tại x=1.
Bài 4: (4 điểm): Cho hàm f(x) liên tục trên [0,1] , khả vi trên (0,1) có f(1)=0 chứng minh rằng tồn tại để: .
Bài 5: (3 điểm): Chứng minh hàm f(x) xác định trên R thỏa mãn: là một hàm tuần hoàn và tìm một chu kì của nó.
Bài 6: (4 điểm): Cho f(x) là hàm chẵn, liên tục trên , liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn [-a,a] và: , .
a. Chứng minh rằng: .
b. Tính: 
Môn Đại số
Câu 1: Cho và với . Hãy tính định thức sau:
Câu 2: Cho A,B là các ma trận vuông cấp n, , à ma trận đơn vị cấp n. Giả sử . Chứng minh rằng: AB=BA.
Câu 3: Cho X là ma trận cấp n không suy biến và có các cột là: , .
Cho Y là ma trận có các cột là .
a) Tìm ma trận J thỏa mãn: 
b) Chứng minh rằng các ma trận chỉ có giá tri riêng là 0 và đều có hạng bằng .
Câu 4: Cho ma trận A vuông cấp n có tất cả các phần tử bằng 1 hoặc -1. Chứng minh rằng: với thì 
Câu 5: Tìm điều kiện của n nguyên dương để đa thức phân tích được thành tích của 2 đa thức có hệ số nguyên bậc nhỏ hơn n.
Câu 6: Tìm tất cả các đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn: