Đề thi olympic tháng 4 TPHCM lần II năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC THÁNG 4 TP.HCM LẦN II 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 20152016 
 MÔN TOÁN LỚP 10 
 THỜI GIAN 150 PHÚT (không kể thời gian giao đề) 
 Ngày 02 tháng 4 năm 2016 
Bài 1. (6 điểm) 
Giải các phương trình, hệ phương trình sau: 
a) 22 1 3 1x x x    
b) 
2 2
2 2
5
4
5
5 5
x y
x y x y
x y
x y
xy

   

   

Bài 2. (3 điểm) 
Trong mpOxy, cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;2) và C(2;3).Viết phương 
trình đường thẳng (d) đi qua B và cắt AC tại D (khác A) sao cho AB = BD. 
Bài 3. (3 điểm) 
Cho 2 số thực dương , a b . Chứng minh rằng: 
2 2
2
a b
a b ab

  
Bài 4. (4 điểm) 
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BD = 2CD; 
E là trung điểm của AD. Một đường thẳng bất kỳ qua E cắt các cạnh AB, AC lần 
lượt tại M, N. 
a) Chứng minh: 
2
6
AB AC
AM AN
  
b) Tìm vị trí của M trên AB sao cho diện tích tam giác AMN bằng 
1
3
 diện 
tích tam giác ABD. 
Bài 5. (2 điểm) 
Một cửa hàng có 350 đồ lưu niệm với các mức giá tương ứng là 1 ngàn, 2 
ngàn, 3 ngàn, , 349 ngàn và 350 ngàn đồng. Bạn Nam có 50 tờ 2 ngàn và 50 tờ 5 
ngàn ngoài ra không có tờ tiền nào khác. Bạn ấy muốn mua một món đồ lưu niệm 
và khẳng định chỉ trả chính xác một số tiền (không thối lại). Có bao nhiêu trong số 
350 đồ lưu niệm mà Nam có thể chọn? 
Bài 6. (2 điểm) 
Trên một đường cao tốc hình tròn, có 3 trạm thu phí cầu đường được đặt tại: 
một chiếc cầu, một con kênh, một đập thủy điện theo chiều kim đồng hồ. Khi đi qua 
cầu người đó phải trả 1000 đồng, tiếp đến qua con kênh người đó phải trả 1500 
đồng và qua đập thủy điện người đó phải trả 1800 đồng. Người đó xuất phát ở vị trí 
giữa đập thủy điện và cây cầu, đi theo chiều kim đồng hồ đến khi phải trả phí cầu 
đường tổng cộng 58400 đồng, hỏi người đó phải trả bao nhiêu ở trạm tiếp theo? 
HẾT 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN 
Bài 1. (6 điểm) 
a) 2 2
1 1
2 1 3 1 2 1 2 1
4 4
x x x x x x x            
2 21 1( 2 1 ) ( )
2 2
x x     (1đ) 
2 1 1
2 2
2 1
x x
x
x x
   
   
  
 (1đ) 
b) 
2 2
2 2
1 5
5 4
4
5
55 5
5 5
x y
y x
x yx y x y
x y
x y
x yx y
x yxy
y x

       
 
   
    

Đặt ;
y x
a x b y
x y
    , hệ trở thành
11
1 5
4 22
55
5 5
22
y
xa
x
a b
x
ya b b
y
      
   
         
 (2đ) 
1
1( )
( )2
2
1 1 5
3( )
112 2
2
2
y x x
y x x
x x
x x
x

     
  
       
  

 (1đ) 
3
1 3
2
21
3
32
2
x x
x
y
yy

      
    
    
 (1đ) 
Bài 2. (3 điểm) 
Trong mpOxy, cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;2) và C(2;3).Viết phương 
trình đường thẳng (d) đi qua B và cắt AC tại D (khác A) sao cho AB = BD. 
Giải 
Ta có (1;1)AC  
Đường thẳng AC qua A và nhận AC làm vtcp có phương trình: 1 0x y   (0,75đ) 
Phương trình đường thẳng qua B(3;2) và vuông góc với AC: 1 0x y   (0,75đ) 
Tọa độ hình chiếu H của B lên AC là nghiệm của hệ phương trình: 
1 0
1 0
x y
x y
  

  
Suy ra H(0;1) (0,5đ) 
Do AB = BD nên tam giác ABD cân tại B suy ra H là trung điểm của AD. 
Suy ra D(1;0) (0,5đ) 
Phương trình đường thẳng (d) qua B và nhận ( 4;2)BD   làm vtcp: 2 1 0x y   (0,5đ) 
Bài 3. (3 điểm) 
Cho 2 số thực dương , a b . Chứng minh rằng: 
2 2
2
a b
a b ab

  
2 2
2 2( ) 2 2
2
a b
a b ab a b ab a b

       
2 2 2 2 22( ) 2 2 2 ( )a b ab a b ab a b       (0,5đ) 
2 2 2( ) 2 2 ( )a b ab a b    
4 2 2( ) 8 ( )a b ab a b    (0,5đ) 
4 2 2 2( ) 8 ( ) 16a b ab a b a b     
2
2( ) 4 0a b ab      (2đ) 
4( ) 0a b   (Bất đẳng thức luôn đúng) 
Bài 4. (4 điểm) 
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BD = 2CD; E 
là trung điểm của AD. Một đường thẳng bất kỳ qua E cắt các cạnh AB, AC lần lượt 
tại M, N. 
a) Chứng minh: 
2
6
AB AC
AM AN
  
Do M nằm trên cạnh AB nên ta có ( 1)AB k AM k  (0,25đ) 
Do N nằm trên cạnh AC nên ta có ( 1)AC l AN l  (0,25đ) 
Ta có 2 2( ) 2 3DB DC AB AD AC AD AB AC AD          (0,5đ) 
Suy ra 2 6 2 2 6k AM l AN AE k AE kEM l AE lEN AE       
( 2 6) 2k l AE kEM lEN      (0,5đ) 
Do 2 đường thẳng AE và MN không cùng phương nên 2 6 0k l   (1) (0,5đ) 
Hay 
2
6
AB AC
AM AN
  
b) Tìm vị trí của M trên AB sao cho diện tích tam giác AMN bằng 
1
3
 diện tích tam 
giác ABD. 
Ta có 
2 2
3 9
ABD ABC AMN ABCS S S S   (0,5đ) 
2 . 2 9
9 . 9 2
AMN
ABC
S AM AN
kl
S AB AC
      (2) (0,5đ) 
Giải hệ (1) và (2) ta được 2 3k l  (0,5đ) 
Suy ra 3 AB AM hay 
1
3
AM AB (0,5đ) 
N
E
A
B CD
M
Bài 5. (2 điểm) 
Rõ ràng Nam không thể mua được các đồ lưu niệm giá 1 ngàn, hoặc 3 ngàn. (0,25đ) 
Nam cũng không thể mua các món đồ giá 349 ngàn hoặc 347 ngàn (vì nếu mua được 1 
trong 2 món đồ này thì Nam cũng mua được 1 trong 2 món đồ 1 ngàn hoặc 3 ngàn).(0,25đ) 
Ta sẽ chứng minh rằng Nam sẽ mua được hết các món đồ còn lại. 
 Với 50 tờ 2 ngàn, Nam mua được các món đồ 2, 4, 6, ..., 100 ngàn. (0,25đ) 
 Với 50 tờ 2 ngàn và 20 tờ 5 ngàn, Nam mua được các món đồ 102, 104, 106, ..., 
200 ngàn. 
 Với 50 tờ 2 ngàn và 40 tờ 5 ngàn, Nam mua được các món đồ 202, 204, 206, ..., 
300 ngàn. 
 Với 50 tờ 2 ngàn và 50 tờ 5 ngàn, Nam mua được các món đồ 252, 254, 256, ..., 
350 ngàn. (0,5đ) 
 Với 50 tờ 2 ngàn và 1 tờ 5 ngàn, Nam mua được các món đồ 5, 7, 9, ..., 105 ngàn. 
 Với 50 tờ 2 ngàn và 21 tờ 5 ngàn, Nam mua được các món đồ 107, 109, ..., 205 
ngàn. 
 Với 50 tờ 2 ngàn và 41 tờ 5 ngàn, Nam mua được các món đồ 207, 209, ..., 305 
ngàn. 
 Với 50 tờ 2 ngàn và 49 tờ 5 ngàn, Nam mua được các món đồ 245, 247, ..., 345 
ngàn. (0,5đ) 
Vậy Nam có thể chọn mua đúng giá 346 đồ lưu niệm. (0,25đ) 
Bài 6. (2 điểm) 
Nhận thấy rằng sau khi đi một vòng (về vị trí cũ) thì người đó sẽ đóng phí là 1000 + 
1500 + 1800 = 4300 đồng (0,5đ) 
58400 = 13.4300 + 2500 (0,5đ) 
Như vậy sau khi đi 13 vòng, qua cầu và con kênh người đó đóng phí 58400 đồng. 
 (0,5đ) 
Do đó người đó đóng phí ở trạm tiếp theo (đập thủy điện) là 1800 đồng . (0,5đ)