Đề thi olympic môn Toán 6 năm học 2014 – 2015 trường THCS Cao Dương

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
Đề chính thức
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
ĐỀ THI OLYMPIC 
MÔN TOÁN 6
Năm học 2014 – 2015
 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề)
Câu 1( 6 điểm)
Tính , biết : A= 12+13+14++ 1200 ,
	B =
Chứng tỏ rằng: Nếu 6x + 11y chia hết cho 31 thì x + 7y chia hết cho 31.
3. Tìm hai số tự nhiên a,b biết: a + 2b = 48 và . 
Câu 2 ( 4,0 điểm) 
 Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 7x + 12y = 50.
 Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số có thể rút gọn được. 
 Câu 3 (2,0 điểm): Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n lớn hơn 6 đều biểu diễn được dưới dạng tổng hai số nguyên tố cùng nhau lớn hơn 1.
Câu 4 ( 6,0 điểm) : Người ta đã chứng minh được tính chất sau: Cho n tia chung gốc O là: Ox1, Ox2,, Oxn tạo thành n góc phân biệt x1Ox2, x2Ox3, xn-1Oxn, xnOx1. Khi đó : x1Ox2 + x2Ox3 ++ xn-1Oxn + xnOx1 = 3600. Hãy áp dụng tính chất trên để giải bài toán sau:
	Cho ba tia OA, OB, OC tạo thành ba góc không có điểm trong chung là: AOB, BOC và COA. 
	a, Chứng tỏ rằng trong ba góc đó ít nhất một góc lớn hơn hoặc bằng 1200 .
	b, Giả sử AOB = 1300, BOC = 1000. Gọi OM là tia đối của tia OA. Chứng tỏ rằng tia OM là tia phân giác của góc BOC .
Câu 5(2,0 điểm): Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho: 
a + b + c = abc và a > b > c > 0
------------------------ Hết -------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD& ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Năm học 2014 - 2015
 Môn thi : Toán - Lớp 6
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(6 điểm)
Ta có : B =
	= + +.++ 1
0,75
 = 
0,5
 = 200.= 200.A => 
0,75
Ta có 6x + 11y 31 (1)
Xét hiệu : 6(x + 7y) - (6x + 11y) = 31y 31 (2) 
Từ (1) và (2) 6(x + 7y) 31. Mà (6 ; 31) = 1 x + 7y 31
Vậy nếu 6x + 11y 31 thì x + 7y 31
0,25
0,75
0, 75
0,25
Gọi (a, b) = d 
Mà 
 a + 2b = 48 md + 2nd =48 d(m + 2n) = 48d Ư(48) (1)
 => d(3mn + 1) = 114 => d Ư(114) 	(2)
Từ (1) và (2) => d ƯC(48; 114) ={ 1; 2; 3; 6}
Nếu d = 1 => Loại
Nếu d = 2 => Loại
Nếu d = 3 => Loại
Nếu d = 6 => 
Vì (m, n ) = 1 nên ta có:
m
n
a
b
6
1
36
6
2
3
12
18
 Vậy (a, b) = (36; 6), (12 ; 18).
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 2
(4 điểm)
Ta có 122 = 144 > 50 và y ∈ N => 0y 1 => y ∈0;1
 73 > 50 và x ∈ N => 0 x 2
Với y = 1 => 7x + 121 = 50 => 7x = 38 => không tìm được x ∈N.
Với y = 0 => 7x + 120 = 50 => 7x = 49=72 => x = 2
Vậy x = 2, y = 0
0,5
0, 25
0,5
0,5
0,25
2. Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d => 18 n + 3 d, 21n + 7 d => 6( 21n + 7) – 7(18n + 3) d
=> 21 d => d Ư(21) = { 3 ; 7}
Mà 21n + 7 Không chia hết cho 3 => d ≠ 3
Ta lại có 21n + 7 7 => 18n + 3 7 => 18n + 3 – 21 7
=> 18(n - 1) 7 mà (18; 7) = 1 => n – 1 7 = > n = 7k + 1(kN) 
 Vậy để phân số có thể rút gọn được thì n = 7k + 1(kN) 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Câu 3
(2 điểm)
Xét trường hợp n lẻ => n = 2k + 1 = k + ( k + 1), ( k ∈N )
 Vì n > 6 => k + 1 > k > 1.
Mà k và k +1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên k và k + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau
- Xét trường hợp n chẵn: 
 + Với n = 4k =( 2k + 1) + (2k – 1) (k ∈N)
Vì n > 6 =>2 k + 1 > 2k - 1 > 1
Mà 2k - 1 và 2k +1 là hai số tự nhiên lẻ liên tiếp nên 2k - 1và 2k + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
 + Với n = 4k + 2 = (2k – 1) + (2k + 3) (k ∈N)
Gọi (2k – 1, 2k + 3) = d => 2k – 1⋮ d, 2k + 3 ⋮ d 
=> 2k + 3 – (2k - 1) ⋮ d => 4 ⋮ d, mà 2k – 1 và 2k + 3 là hai số lẻ 
=> d = 1 => 2k – 1và 2k + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Vậy với mọi số tự nhiên n lớn hơn 6 đều biểu diễn được dưới dạng tổng hai số nguyên tố cùng nhau lớn hơn 1.
0,75
0,5
0, 5
0,25
Câu 4
(6 điểm)
Vì các góc AOB, BOC, COA không có điểm trong chung nên ta có:
= 3.1200 (1)
Giả sử trong ba góc trên không có góc nào lớn hơn hoặc bằng 1200
 trái với (1)
Vậy trong ba góc trên có ít nhất một góc lớn hơn 1200.
Ta có: 	= 1300
Mà : 
=> Tia OM (là tia đối của tia OA ) nằm giữa 2 tia OB và OC (2) 
Vì hai góc MOB và AOB kề bù nên góc MOB = 1800 – 1300 = 500
hai góc MOC và AOC kề bù nên góc MOC = 1800 – 1300 = 500
=> góc MOB = góc MOC (3)
Từ (2) và (3) suy ra OM là tia phân giác của góc BOC.
0,75
0,75
0,75
0,75
0,5
0,75
0,75
0,5
0,5
Câu 5
(5 điểm)
Vì a > b > c > 0 => a+ b + c < a + a+ a = 3a, mà a + b + c = abc
Nên abc bc c > 0 = > b = 2, c = 1
=> a + 1 + 2 = a.1.2 => a = 3 
Vậy a = 3, b = 2, c = 1
0,5
0,75
0,5
0,25
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa