Đề thi olympic môn toán 11 năm học 2015 - 2016 (thời gian làm bài: 120 phút)

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI 
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 11 
NĂM HỌC 2015 - 2016
 (Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1: (2,0 điểm). Tìm giới hạn 
Câu 2: (2,0 điểm). Cho lục giác đều .Viết các chữ cái vào 6 thẻ (Mỗi thẻ ghi 1 chữ cái). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ. Tính xác suất chọn được 2 thẻ sao cho đoạn thẳng nối 2 điểm ghi trên 2 thẻ đó là đường chéo của lục giác.
Câu 3: (3,0 điểm). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển biết
	 	, .
Câu 4: (3,0 điểm).Tính tổng các nghiệm của phương trình:
Câu 5: (3,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi: 
Hãy xác định công thức số hạng tổng quát của dãy sốvà tìm 
Câu 6: (3,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh D’C’, C’B’, B’B, AD. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trong một mặt phẳng và tính theo a diện tích tứ giác MNPQ.
Câu 7: (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) tại A, M ; cắt (O’) tại A, M’. Tìm quỹ tích trung điểm của MM’.
Câu 8: (2,0 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là hai điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng và không trùng sao cho 
Chứng minh rằng khi thay đổi, đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. 
---------------- Hết ----------------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC KHỐI 11- MÔN TOÁN-NĂM HỌC: 2015-2016
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2đ)
Tìm giới hạn 
0.5
0.5
1
Câu 2
(2đ)
Cho lục giác đều . Viết các chữ cái vào 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ. Tính xác suất chọn được 2 thẻ sao cho đoạn thẳng nối 2 điểm ghi trên 2 thẻ đó là đường chéo của lục giác.
+) Chọn 2 thẻ từ 6 thẻ có cách
 Số phần tử của không gian mẫu là 
+) Gọi A là biến cố “chọn ra đồng thời 2 thẻ mà đoạn thẳng nối hai điểm ghi trên 2 thẻ đó là đường chéo của ngũ giác”.
Từ 6 đỉnh của ngũ giác ta có thể tạo nên 15 đoạn thẳng.
Ngũ giác có 6 cạnh nên có 9 đường chéo.
Có 9 cách chọn ra đồng thời 2 thẻ mà đoạn thẳng nối hai điểm ghi trên 2 thẻ đó là đường chéo của ngũ giác
Vậy xác suất cần tìm là: 
1
0.5
0.5
Câu 3
(3đ)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển biết
	 , 
+ Từ khai triển , cho x=1 nên ta có:
Mà ta có: nên .
Suy ra .
Từ giả thiết suy ra 
+ Với n=8, ta có: .
Số hạng không chứa x ứng với . 
Vậy số hạng không chứa x là 
1
1
1
Câu 4
(3đ)
 Tính tổng các nghiệm của phương trình
Xét phương trình: .(1)
Biến đổi phương trình thành
(*). Đặt 
Phương trình (*) trở thành 
Suy ra .
Vậy phương trình (1) có nghiệm:,,
Kết hợp với 
TH1: . Ta được .
Các nghiệm lập thành cấp số cộng có 2016 số hạng, số hạng đầu là , công sai .
Tổng các nghiệm . 
TH2: . Ta được .
Các nghiệm lập thành cấp số cộng có 1007 số hạng, số hạng đầu là , công sai 
Tổng các nghiệm .
TH3: . Ta được 
Các nghiệm lập thành cấp cộng có 1008 số hạng, số hạng đầu là , công sai 
Tổng các nghiệm .
Từ 3 trường hợp trên tổng các nghiệm cần tìm là: .
0.5
1
0.5
0.5
0.5
Câu 5
(3đ)
Cho dãy số xác định bởi: 
Hãy xác định công thức số hạng tổng quát của dãy sốvà tìm 
Biến đổi 
Đặt 
Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy là 
Và 
1
1
1
Câu 6
(3đ)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh D’C’, C’B’, B’B, AD. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trong một mặt phẳng và tính theo a diện tứ giác MNPQ.
+) Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trong một mặt phẳng
Đặt .
Phân tích các vectơ theo các vectơ .
Ta được 
Suy ra ba vectơđồng phẳng.
Suy ra 4 điểm M,N,P,Q cùng nằm trên 1 mặt phẳng.(đpcm)
+) Tính diện tích tứ giác MNPQ.
 Ta có 
Diện tích tứ giác MNPQ là 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 7
(2đ)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) tại A, M ; cắt (O’) tại A, M’. Tìm quỹ tích trung điểm của MM’.
Gọi P và P’ lần lượt là trung điểm của AM và AM’.
Gọi Q, K lần lượt là trung điểm của OO’, PP’. Suy ra nên .
Suy ra điểm K nhìn đoạn thẳng cố định AQ dưới một góc vuông nên quỹ tích các điểm K là đường tròn (C) đường kính AQ.
Do I là trung điểm của MM’ nên .(1)
Mà K là trung điểm của PP’ nên (2)
Từ (1),(2) suy ra nên I là ảnh của K qua phép vị tự tâm A, tỉ số 2. 
Vậy quỹ tích các điểm I là đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm A, tỉ số 2.
1
1
Câu 8
(2đ)
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là hai điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng và không trùng sao cho Chứng minh rằng khi thay đổi, đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. 
Đặt và 
Khi đó 
Gọi là điểm thỏa mãn cố định.
Mặt khác và nên mà 
Suy ra 
Do đó thẳng hàng đpcm.
0.5
0.5
1