Đề thi Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2013 - 2014 môn: Toán (chuyên tin) thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Bài 1. (2,0 điểm) 
	Cho biểu thức: 
	a) Tìm điều kiện của để M xác định và rút gọn M.
	b) Tính giá trị của M khi .	
Bài 2. (2,0 điểm) 
	Cho phương trình , m là tham số.
	a) Tìm điều kiện của để phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
	b) Tìm giá trị của m để .
Bài 3. (4,0 điểm)
	Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tùy ý trên d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.
	a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
	b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh .
	c) Các đường thẳng MD và AB cắt nhau tại K. Chứng minh .
	d) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d.
Bài 4. (1,5 điểm) 
	Cho 3 số thực thoả mãn và biểu thức .
	a) Chứng minh .
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 5. (0,5 điểm)
	Giải phương trình: .
HẾT
Họ và tên thí sinh: .................................................Số báo danh: .................................
Chữ ký của giám thị 1: ............................. Chữ ký của giám thị 2: ..............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN (Chuyên Tin)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(2,0đ)
a) 
 ĐK xác định của M: 
0,25
0,25
0,5
b) Ta có . Với 
0,25
0,25
 Vậy 
0,25
 Từ đó ta có 
 0,25
 Câu2
(2,0đ)
a) 
0,25
 Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
0,25
 Điều kiện là
0,5
b) Ta có 3 nghiệm của pt (1) là trong đó là 2 nghiệm của
 pt (*) 
0,25
 Khi đó 
0,25
 Áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có 
 Vậy (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy là giá trị cần tìm.
0,5
Câu 3
(4,0đ)
A
M
D
B
O
H
C
K
I
Q
d
a) MA, MB là các tiếp tuyến của (O) 
0,25
 I là trung điểm của CD OI CD 
0,25
 A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO
0,25
 Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO.
0,25
b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB 
 MO là đường trung trực của AB 
 MO AB
 MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1) 
0,25
 sđ
 đồng dạng với (g.g)
 MC.MD = MB2 (2)
0,25
 Từ (1) và (2) MH.MO = MC.MD 
 đồng dạng với (c.g.c)
0,5
c) (chứng minh trên)
 tứ giác HCDO nội tiếp 
0,25
Như vậy (vì cân tại O)
 (vì tứ giác HCDO nội tiếp)
0,5
 HK là đường phân giác của 
 ( tính chất đường phân giác trong tam giác).
0,25
d) Gọi Q là giao điểm của AB và OI.
 Hai tam giác vuông MIO và QHO có chung
 đồng dạng với 
0,25
 (R là bán kính (O) không đổi)
0,25
 O, I cố định độ dài đoạn OI không đổi 
 độ dài đoạn OQ không đổi
 lại có Q thuộc tia OI cố định
 Q là điểm cố định đpcm.
0,5
Câu 4
(1,5đ)
a) Ta có
0,25
 Vì vì theo giả thiết. Vậy bđt (1) đúng. 
 Ta có đpcm
0,5
b) Theo câu a) ta có 
 (vì theo giả thiết), hay 
0,25
 Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có
 (2)
0,25
 Do đó 
 Dấu “=” xảy ra khi các dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra 
 Vậy GTNN của P là 3, đạt được khi 
0,25
Câu 5
(0,5đ)
 Ta có . Với điều kiện trên, bình phương 2 vế 
 của phương trình ta được 
 Đặt , pt trở thành 
0,25
 Ta có pt (3) vô nghiệm vì VT(3)do còn VP(3) do 
 Xét pt (2) 
 Kết luận: Pt đã cho có nghiệm duy nhất 
0,25
Lưu ý: Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương theo từng phần như hướng dẫn chấm.