TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 11 NĂM HỌC : 2015 – 2016 Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1. (1.5 điểm) Giải phương trình : 2 cos2 cos4 6 2sin3x x x Câu 2. (1.5 điểm) Cho tam giác ABC và 5 đường thẳng song song với AB, 6 đường thẳng song song với BC, 7 đường thẳng song song với CA. Hỏi có bao nhiêu hình thang tạo bởi các đường thẳng đã cho. Câu 3. (1.5 điểm) Cho dãy số nx xác định như sau 1 * 1 3 3 2 ,n n x x x n N Chứng minh nx có giới hạn và tính giới hạn đó. Câu 4. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : 24 4 9 3 4 2 2 3 3 x x x y xy y x x y x Câu 5. (1.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Tính góc tạo bới hai đường thẳng AG và SD. Câu 6. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm 8 ;0 3 G nội tiếp đường tròn (C) tâm I. Biết 0;1 , 4;1M N lần lượt là điểm đối xứng với với I qua các đường thẳng AB, AC; đường thẳng BC đi qua 2; 1K . Viết phương trình đường tròn (C). Câu 7. (1.0 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 OA OB OC bc ca ab , với , ,a BC b AC c AB . Câu 8. (1.0 điểm) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 1x y z . Chứng minh rằng : 1 x y z P x x yz y y zx z z xy . ------------------ HẾT ------------------ THÁNG 03 NĂM 2016 ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 11 THÁNG 03 NĂM 2016 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 Giải phương trình : 2 cos2 cos4 6 2sin3x x x 2 24sin 3 .sin 6 2sin3 *pt x x x 2 2 sin 3 1 * 4 * sin 1 * 4 sin3 1 sin3 1 2 , cos 0 2 x VT x VP x x x k k Z x 1.5 Câu 2 Cho tam giác ABC và 5 đường thẳng song song với AB, 6 đường thẳng song song với BC, 7 đường thẳng song song với CA. Hỏi có bao nhiêu hình thang tạo bởi các đường thẳng đã cho. * Hình thang có 2 cạnh song song AB, 1 cạnh song song BC, 1 cạnh song song CA : Có 2 1 15 6 7. . 420C C C hình * Hình thang có 2 cạnh song song BC, 1 cạnh song song CA, 1 cạnh song song AB : Có 2 1 16 7 5. . 525C C C hình * Hình thang có 2 cạnh song song CA, 1 cạnh song song AB, 1 cạnh song song BC : Có 2 1 17 5 6. . 630C C C hình * Hình thang có 2 cạnh song song AB, 2 cạnh song song BC : Có 2 2 5 6. 150C C hình * Hình thang có 2 cạnh song song BC, 2 cạnh song song CA : Có 2 2 6 7. 315C C hình * Hình thang có 2 cạnh song song AB, 2 cạnh song song BC : Có 2 2 7 5. 210C C hình Vậy tất cả có : 420 525 630 150 315 210 2250 hình 1.5 Câu 3 Cho dãy số nx xác định như sau 1 * 1 3 3 2 ,n n x x x n N * Chứng minh 1n nx x bằng qui nạp nx tăng Chứng minh 3nx bằng qui nạp nx bị chặn trên Vậy nx có giới hạn * Giả sử lim 3 3nx a a , ta có 3 2 3a a a Vậy lim 3nx 1.5 Câu 4 Giải hệ phương trình : 24 4 9 3 1 4 2 2 3 3 2 x x x y xy y x x y x ĐK : 2 0, 0 4 4 9 0 x y x x x y 2 2 1 4 4 9 2 0 8 4 9 0 4 4 9 2 x x x y y xy y x y x y y x y xy yx x x y y 2 0 8 4 9 0 3 4 4 9 2 x y x y y xy yx x x y y 2 2 2 2 9 3 2 16 2 2 9 3 8 4 4 2 3 9 1 8 4 9 9 1 0 0 4 2 4 2 x x x y x x y x x x x y x x x Suy ra (3) vô nghiệm Với y x thay vào (2) được : 24 3 2 3 3 13 14 27 1x x x x x x Vậy hệ có nghiệm duy nhất ; 1;1x y 1.5 Câu 5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Tính góc tạo bới hai đường thẳng AG và SD. 1.0 G J I NM O A D B C S Từ giả thiết suy ra ,SO ABCD ABCD là hình vuông cạnh 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Do 0 0 0 60 , 60 120 MSN SAB SCD MSN Gọi I là trung điểm của BC, J là giao của ID và AC Ta có 1 3 IG IJ IS ID GJ song song SD , ,AG SD AG GJ TH1 : 060MSN 2 21 1 5 3 3 2, , 5 3 3 3 4 2 a a GJ SD SN ND AJ AC AI a SAI cân tại A có 5, 2AI AS a SI a . Tính được 37 3 a AG 2 2 2 3 3 cos , arccos 2 . 4 185 4 185 AG GJ AJ AGJ AG SD AGGJ TH2 : 0120MSN 2 21 1 21 3 3 2; 3 3 9 4 2 a a GJ SD SO OD AJ AC 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 2. . 7 103 2 . .cos 27 SA SI AI ASI SA AI a AG SA SG AS SG ASI 2 2 2 23 cos 2 . 4 2163 23 cos , arcos 4 2163 AG GJ AJ AGI AGGJ AG SD Câu 6 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm 8 ;0 3 G nội tiếp đường tròn (C) tâm I. Biết 0;1 , 4;1M N lần lượt là điểm đối xứng với với I qua các đường thẳng AB, AC; đường thẳng BC đi qua 2; 1K . Viết phương trình đường tròn (C). 1.0 Gọi H, E lần lượt là trung điểm của MN và BC 2;1H Từ giả thiết ,IAMB IANC là các hình thoi ,AMN IBC là các tam giác cân bằng nhau AHEI là hình bình hành G cũng là trọng tâm tam giác HEI HG cắt IE tại trung điểm F của IE Ta có BC song song MN và BC qua K : 1 0pt BC y Theo hệ thức Ơ-le 3 1 3; 2 2 HF HG F : 3 0 3; 1 3;0EF BC pt EF x E I Bán kính của C : 5R IA HE Vậy phương trình 2 2: 3 5C x y Câu 7 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 OA OB OC bc ca ab , với , ,a BC b AC c AB . 1.0 Gọi M, N, P lần lượt là các tiếp điểm của O với AB, AC, BC Ta có ,AM AN OM ON nên G F E H I C NM B A B O A C M N P 2 2 2 2 2 1 1 .sin sin 2 2 1 1 .sin .sin 2 2 AMONS AM A OM MON AM OM A OA A Tương tự : 2 2 1 1 sin ; sin 2 2 BPOM CPONS OB B S OC C Khi đó : 2 2 2 2 2 2.sin .sin .sin .sin .sin .sin OA OB OC OA A OB B OC C bc ca ab bc A ca B ab C 2 2 1 2 2 AMON BPOM CPON ABC ABC ABC S S S S S S Câu 8 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 1x y z . Chứng minh rằng : 1 x y z P x x yz y y zx z z xy . 2 2 2 2 x yz x x y z yz x x y z yz x x yz yz x yz x x x x yz x yz Tương tự : ; 2 2 y y z z y y zx y zx z z xy z xy Suy ra 2 2 2 x y z P x yz y zx z xy Mặt khác : 1 1 2 1 1 1 . . 2 2 2 22 2 2 2 yzx x yz x yz x yz x yz x yz yz Dẫn đến 1.0 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2 2 1 2 2 2 2 1 . 2 2 2 2 1 1 . 2 2 x y z x yz y zx z xy yz zx xy x yz yz y zx zx z xy xy yz zx xy x yz yz y zx zx z xy xy yz zx xy yz zx xy Vậy 3 1 1 2 2 P P , dấu = xảy ra khi 1 3 x y z
Tài liệu đính kèm: