Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 8 môn: Toán năm học: 2014 - 2015 thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

UBND HUYỆN GIA VIỄN
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI KHẢO SÁT
CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Mụn: Toỏn
Năm học: 2014- 2015
Thời gian: 150 phỳt ( khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: . 
a) Tỡm x để giỏ trị của A được xỏc định. Rỳt gọn biểu thức A. 	
b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn.
Cõu 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau: 
a) = 0
b) 
c) 
Cõu 3. (3 điểm) 
1) Tỡm số tự nhiờn n để số p là số nguyờn tố biết: p = n3 - n2 + n - 1
2) Tỡm a,b sao cho chia hết cho đa thức 
3) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0.Tính: 
Cõu 4. (6,5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn tia đối của tia CD lấy điểm M bất kỡ (CM < CD), vẽ hỡnh vuụng CMNP (P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP cắt BD tại K. 
a) Chứng minh: DH vuụng gúc với BM. 
b) Tớnh Q = 
c) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2
Cõu 5. (1,5 điểm) 
1) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng: 
2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
---------------- Hết ----------------
UBND HUYỆN GIA VIỄN 
PHềNG GD&ĐT GIA VIỄN 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8
Năm học 2014 - 2015
Mụn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phỳt khụng kể thời gian giao đề
(Hướng dẫn này gồm 05 cõu, 05 trang)
CHÚ í : 
 - Nếu HS làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đú 
 - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đú
Cõu
Đỏp ỏn
Biểu điểm
1
(5 điểm)
Cho biểu thức: . 
a) (3,5 điểm)
* ĐKXĐ: 1,0 điểm
Giỏ trị của A được xỏc định Û 
Û ÛÛ
- ĐKXĐ : 
(Nếu HS chỉ nờu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm) 
* Rỳt gọn : 3,0 điểm 
Ta cú 
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,75 điểm
0,75 điểm
0,75 điểm
0,75 điểm
b) (1,0 điểm) 
Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn.
* ẻ Z Û x +1 2x ị 2x + 2 2x Mà 2x 2x 
ị 2 2x ị 1 x ị x = 1 hoặc x = -1 
* Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) 
Vậy A= ẻ Z Û x = 1 hoặc x = -1
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2
(4 điểm)
Giải các phương trình sau: 
a) (1,5 điểm) = 0
 Û (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + 1 = 0 
 Û (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 = 0 
 Û (x2 + 2x + 1)2 = 0
 Û (x+1)4 = 0 Û x + 1 = 0 Û x = -1
Vậy PT đó cho cú 1 nghiệm duy nhất x = -1 
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
b) (1,5 điểm) 
 Û 
 Û 
 Û y + 1 = 0 hoặc = 0
 Û y = -1 hoặc x = 0
Vậy PT đó cho cú 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (0; -1)
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
c) (1,0 điểm) (1)
- ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8
- PT (1) Û 
Û 
Û 
Û 
Û 
Û x = 0 hoặc = 
Û x = 0 hoặc x2 + 6x + 8 = x2 + 14x + 48
Û x = 0 hoặc 8x = - 40 Û x = - 5 (thỏa món ĐKXĐ) 
Vậy PT đó cho cú 2 nghiệm : x1 = 0; x2 = - 5
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
3
(3 điểm)
1) (1,0 điểm) Tỡm số tự nhiờn n để số p là số nguyờn tố biết:
 p = n3 - n2 + n - 1
- HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) 
- Nếu n = 0; 1 khụng thỏa món đề bài
- Nếu n = 2 thỏa món đề bài vỡ p = (22 + 1)(2 - 1) = 5
- Nếu n > 3 khụng thỏa món đề bài vỡ khi đú p cú từ 3 ước trở lờn là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1
 - Vậy n = 2 thỡ p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyờn tố
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2) (1,0 điểm) Tỡm a,b sao cho chia hết cho đa thức 
* = (x -1)(x - 2) 
* 
Û = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi xẻ R)
- Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta cú: 
 a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0
ị a = 2 và b = -8
Vậy Û a = 2 và b = -8
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
3) (1,0 điểm) 
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0.Tính: 
- HS biến đổi được : 
 4a2 + b2 = 5ab Û (4a - b)(a -b) = 0 Û b = 4a hoặc b = a
- Mà 2a > b > 0 ị 4a > 2b > b nờn a = b 
- Ta cú : =
- Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0 thỡ 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
4
(6,5 điểm)
- Hỡnh vẽ 0,25 điểm 
(2,25 điểm) Chứng minh: DH vuụng gúc với BM
- HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900
- CM: D DPC = D BMC (cgc)
- Chứng minh được BHP = 900 
0,75 điểm
0,75 điểm
0,75 điểm
(2,0 điểm) Tớnh Q = 
- HS CM : MP ^ BD 
- ; 
Tương tự : 
ị Q = 
0,5 điểm 
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2
- CM: D MCP ~ DMKD (g.g) 
 ị MP . MK = MC . MD (1)
- CM: DDBC ~ DDKM (g.g) 
 ị DK . BD = DC. DM (2) 
- Từ (1) và (2) ị MP . MK + DK . BD = DM .(MC + DC)
 ị MP . MK + DK . BD = DM2
0,5 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
5
(1,5 điểm)
1) (0,75 điểm) 
- HSCM: ≥ 2 với mọi x, y > 0
ị -2 ≥ 0; - 1 ≥ 1
ị (-2)( -1) ≥ 0 
ị 
ị 
Dấu “=” xảy ra Û x = y > 0
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2) (0,75 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
*) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 ị x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x ẻ R (1)
 y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 ị y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y ẻ R (2)
+ 
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009
 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3)
+ Từ (1) ; (2) và (3) ị B ≥ 2.3 + 2009 ị B ≥ 2015
*) B = 2015 Û x = 1 và y = -3
*) Min B = 2015 Û x = 1 và y = - 3
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
---------------- Hết ----------------