Đề thi hsg lớp 9 – Năm học 2015 – 2016. Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THI HSG LỚP 9 – LỘC HÀ – NĂM HỌC 2015 – 2016.
Thời gian làm bài 90 phút.
( Từ câu 1 đến câu 10 chỉ ghi đáp số. Từ câu 11 đến câu 12 trình bày lời giải đầy đủ)
Câu 1: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2y2 – x2 – 3y2 – 2x – 1 = 0
Câu 2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn a2 + 2b + 1 = b2 + 2c + 1 = c2 + 2a + 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = a2015 + b2015 + c2015.
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 
Câu 3: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a và một điểm E trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AE cắt cạnh CD tại F, đường thẳng AE cắt CD tại M. Kẽ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K. Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G.
a) Tứ giác EGFK là hình gì? b) Tính .
Câu 5: Cho tam giác ABC, Gọi Mlaf một điểm bất kỳ nằm trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tính giá trị của 
Câu 6: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: để cho tích xy đạt giá trị lớn nhất.
Câu 7:Cho tam giác đều ABC, gọi O là trung điểm của cạnh BC. Vẽ góc xOy bằng 600 sao cho Ox cắt cạnh AB tại M, Oy cắt cạnh AC tại N. Tính tỉ số BC2:(BM.CN)
Câu 8: Tìm một số có 3 chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái của số gồm hai chữ số còn lại thì được một số có 3 chữ số lớn hơn chữ số ban đầu 765 đơn vị.
Câu 9: Cho đa thức f(x) = x4 + mx3 + 29x2 + nx + 4 (x nguyên). Tìm số nguyên dương m, n để giá trị của f(x) là một số chính phương.
Câu 10. Trong hình vẽ bên mỗi cạnh hình vuông
đều được chia thành 3 đoạn bằng nhau.
Tính tỉ số giữa diện tích phần được tô đậm với diện 
tích hình vuông lớn.
 Câu 11: a) Giải phương trình: 
 b) Cho x, y, z hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
 là một số hữu tỉ.
Câu 12: a) Cho tam giác ABC đều, E là một điểm thuộc cạnh AC (E khác A), K là trung điểm của AE, đường thẳng EF đi qua E và vuông góc với đường thẳng AB (F thuộc AB) cắt đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng BC tại D. Chứng minh rằng: Tứ giác BCKF là hình thang cân và KE.EC = ED.EF
b) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Giả sử . Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3