Đề thi HSG cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 (Có đáp án)

PHÒNG GD-ĐT .......... ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG – NĂM HỌC: 2021-2022
TRƯỜNG THCS .................... MÔN: TOÁN LỚP 8
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi: 14/02/ 2022
 	 _____________________________________________
Bài 1: ( 4,0 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2020x2 + 2019x + 2020.
b) Tìm giá trị nguyên của x để đa thức f(x) = x3 - 3x2 - 3x - 1 chia hết cho g(x) = x2 + x + 1 
Bài 2: ( 4,0 điểm)
Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức M
Chứng minh rằng biểu thức M luôn có giá trị dương với mọi 
Bài 3: ( 4,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Cho a + b + c = 0 (a, b,c). Tính giá trị của biểu thức:
Bài 4: ( 4,0 điểm)
	Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, Trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
Chứng minh tam giác EDF vuông cân.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng
ba điểm I, O, C thẳng hàng.
Bài 5: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, M là một điểm di chuyển trên cạnh BC . Gọi E và F lần lượt là hai điểm đối xứng với M qua AB và AC.
Chứng minh tam giác AEF cân tại A.
Tìm vị trí của M trên cạnh BC để EF có độ dài ngắn nhất.
 	________________________________________________
PHÒNG GD-ĐT PHÙ CÁT ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG – NĂM HỌC: 2019-2020
TRƯỜNG THCS CÁTMINH MÔN: TOÁN LỚP 8
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi: 14/01 2020
 	 _____________________________________________
Đáp án
Điểm
 Bài 1
( 4,0 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
 x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 
= 
= 
= 
 = 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) Tìm giá trị nguyên của x để đa thức f(x) = x3 - 3x2 - 3x - 1 chia hết cho g(x) = x2 + x + 1 
Thực hiện phép chia ta có:
	 x3 - 3x2 - 3x - 1 x2 + x + 1 
	 x3 + x2 + x 
 - 4x2 - 4x – 1 x - 4
 - 4x2 - 4x – 4
 3
Để f(x) g(x) thì 3 x2 + x + 1 
Vậy 	
Do x2 +x + 1 = (x+ + > 0 nên loại x2 + x + 1 = -1 và x2 + x + 1 = -3 
Suy ra 
Vậy có 4 giá trị của x là 0 ; -1 ; 1 ; -2 thì f(x) chia hết cho g(x) 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 2
( 4,0 điểm)
a.
0,5 đ
1,5 đ
b) Với mọi thì 
vì với mọi 
nên M > 0 với mọi 
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3
( 4,0 điểm)
a)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b. Ta có:
Tương tự 
Ta có a + b + c = 0 nên a3 + b3 +c3 = 3abc ( Theo bài 1). Do đó:
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 4
4,0 điểm)
0,5 đ
a) 
Ta có: 
Vậy tam giác DEF vuông cân tại D.
1,5 đ
b) Ta có OB = OD; CB = CD ( Do ABCD là hình vuông)
Lại có IB = ID ( hai tam giác DEF và BEF vuông có DI và BI là hai đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Do đó O, C, I cùng nằm trên đường trung trực của BD nên chúng thẳng hàng.
2,0 đ
0,5 đ
a) E và M đối xứng qua AB nên AB là đường trung trực của EM.
Suy ra AE = AM (1)
 F và M đối xứng qua AC nên AC là đường trung trực của AC.
Suy ra AF = AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE = AF.
Vậy tam giác AEF cân tại E
1,5 đ
b) Kẻ AH BC tại H. 
Tam giác AEF cân tại A có không đổi.
Do đó:
 EF có độ dài ngắn nhất 
AE ngắn nhất
AM ngắn nhất
AM trùng AH
Vậy khi M trùng H thì EF có độ dài ngắn nhất
2 đ