Đề thi học sinh giỏi văn hóa lớp 9 môn : Toán năm học: 2015 – 2016 thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
ĐỀ CHÍNH THỨC
 MÔN : TOÁN
 NĂM HỌC: 2015 – 2016
 Khóa ngày: 15/10/2015
 Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0đ) Cho biểu thức:
	(với )	
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm các giá trị của x để Q = 1
Bài 2: (2,5đ) Cho x,y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x. 
	Tính giá trị của biểu thức sau: A = 
Bài 3: (2,5đ) Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không? 
Bài 4: (3,0đ) Cho x, y > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
	P = 
Bài 5: (2,0đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
xy - y = x2 + 2
Bài 6: (6,0đ) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M là trung điểm của cạnh AB. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau. 
Chứng minh: DH.GB = BM.DA
 Tính số đo góc .
PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ 
HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9.
MÔN : TOÁN. NĂM HỌC: 2015 - 2016
Bài 1: (4,0đ) a) 
(1 đ)
(0.5 đ)
(0.5 đ)
(1 đ)
	b) Với : 
(1 đ)
Bài 2: (2,5đ) Ta có: x2 + y = y2 + x
	 x2 - y2+ y – x = 0	(0,5 đ)
	 (x – y)(x + y – 1) = 0	(0,5 đ)
	Vì x ≠ y nên x + y – 1= 0 x + y = 1	(0,5 đ)
	A = = 	(1,0 đ)
(Vì x + y = 1=> xy ≠1)
Bài 3: (2,5đ) Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng : 5k+1	(0,25 đ)
	số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng : 5q+2 (k,q Î Z)	(0,25 đ)
Ta có: (5k+1)2 + (5q+2)2 = 25k2 + 10k + 1 + 25q2 + 20q + 4 	(0,5 đ)
	= 25k2 + 10k + 25q2 + 20q + 5	(0,5 đ)
	= 5(5k2 + 2k + 5q2 + 4q + 1) 	(0,5 đ)
Vậy tổng bình phương của hai số đó chia hết cho 5. 	(0,5 đ)
Bài 4: (3,0đ) 
 Đặt a = , ta có a2 = => a2 – 2 = 	(0,5đ)
Thay vào P ta có: P = = a2 – 3a + 2= (a-1)(a-2) 	(0,75đ)
Vì x > 0, y > 0 => a = ≥ 2 	(0,5đ)
=> a – 2 ≥ 0; a – 1> 0	(0,25đ)
=> P = (a-1)(a-2) ≥ 0	(0,5đ)
Bài 5: (2,0đ)
	 xy – y = x2 + 2	
	 y(x -1) = x2 + 2	(0,25đ)
	=> y = =	(0,5đ)
Vì x,y ÎΖ nên x - 1 ÎƯ(3) = {-1;1;-3;3)	(0,5đ)
	=> x Î {0;2;-2;4)	(0,25đ)
 Với x =0 => y = -2
	x = 2=> y = 6
 x = -2 => y = -2
 x = 4 => y = 6
Vậy phương trình có 4 nghiệm: (0;-2) ; (2;6) ; (-2 ;-2) ;(4;6).	(0,5đ)
Bài 6: (6,0đ) 
Chứng minh: DH.GB = BM.DA
DADH và DGBM có:
 = (=900)
 = ( cặp góc có cạnh tương ứng song song)
DADH DGBM (g-g)	(1,0đ)
	(0,75đ)
DH.GB = BM.DA	(0,75đ)
 Tính số đo góc .
Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a) 
DMBO vuông cân tại M => BM = BO.	 (0,5đ)
 DADO vuông cân tại O => AD = DO. 	(0,5đ)
DH.GB = BM.DA = BO.. DO.=BO.DO	(0,5đ)
 mà = (=450)	 (0,5đ)
DODH DGBO (c-g-c)	 (0,5đ)
 = 	 (0,25đ)
 + + =++(=1800) 	 (0,25đ)
 = = 450 	 (0,5đ)
Chú ý: HS làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa