CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) Bài 1: (2 điểm) Cho 2 x 3x 1 0 Tính giá trị của biểu thức: 4 3 2 4 2 4 2 4 2 x x 10x x 2015 x x 1 x 3x 1 A x x 1 Bài 2: (2 điểm) Tìm m để phương trình: 2mx 2 m 1 x m 2 0 1 x 2 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ;x Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) 4 2 3x x x 1 x x b) 2 2 2 4x 2xy y 4y 1 1 2x y 1 2 4x 1 Bài 3: (4 điểm) a) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 a c b c a b 4abc 9 b a c a b c b c a c a b b) Tìm giá trị lớn nhất của: 2 2 433 A x x 143 x x 17 với 0 x 1 Bài 5: (4 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC), có H, I, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp. Giả sử bốn điểm B, C, I, O cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng: IH IO Bài 6: (4 điểm) Cho ABC có phân giác trong AD. Ở miền trong BAD và CAD lần lượt vẽ hai tia AM, AN sao cho MAD NAD (M thuộc đoạn BD, N thuộc đoạn CD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AC; P, Q lần lượt là hình chiếu của N lên AB, AC. a) Chứng minh rằng: 4 điểm E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng: 2 2 AB BM.BN CM.CNAC HẾT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRẦN ĐẠI NGHĨA LỚP 9 – LẦN 1 (T1/2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) Bài 1: (2 điểm) Cho 2 x 3x 1 0 Tính giá trị của biểu thức: 4 3 2 4 2 4 2 4 2 x x 10x x 2015 x x 1 x 3x 1 A x x 1 Ta có: 2 2 x 3x 1 0 x 3x 1 ; 3 2 2x x.x x 3x 1 3x x 3 3x 1 x 8x 3 4 3 2x x.x x 8x 3 8x 3x 8 3x 1 3x 21x 8 Vậy 21x 8 8x 3 30x 10 x 2015 21x 8 3x 1 1 21x 8 9x 3 1 A 21x 8 3x 1 1 2014 24x 8 30x 10 16112 3x 1 10 3x 1 24x 8 8 3x 1 16122 3x 1 8061 48 3x 1 Bài 2: (2 điểm) Tìm m để phương trình: 2mx 2 m 1 x m 2 0 1 x 2 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ;x Điều kiện: 1 x 2 Do vậy pt đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ;x 2mx 2 m 1 x m 2 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ;x lớn hơn 1 2 . 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 m 0a m 0 m 0 4m 1 0 ' m 1 m m 2 0 4m 1 1 1 1 x x 0 x x 1 0 x 2 2 2 1 1 1 1 x x x x 01 x x 0 2 4x 2 22 m 0 m 0 1 1 m m 4 4 2 m 1 m 2 1 0 0 m m m 122 m 1m 2 1 1 0 . 0 m m 2 m 4 1 m 0,m ,m 2,m 12 4 m 12 1 m 0,m ,m 2,m 12(vô ly)ù 4 Vậy với m > 12 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ,x . HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRẦN ĐẠI NGHĨA LỚP 9 – LẦN 1 (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) 4 2 3x x x 1 x x Điều kiện: x 1;0 x 1 Ta có: 4 2 3 3 4 2 x x x 1 x x x x x x x 1 2 2 3 4 2 x x x x x 1 2 3 4 2 3 4 2x x x x x 1 2 x x x x 1 4 3 2 4 2 2x x x 1 2 x 1 x x 2x 1 x 4 3 2 2 4 3 2 2 x x x 1 2 x x 1 1 x x 1 x x x x 1 2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 4 3 3 3 4 3 4 3x x x 1 2 x 1 x 1 x x x 1 x 2 x x 1 x 2 2 4 3 4 3 4 3 x x 1 x 4 x x 1 x x x 1 x 0 2 4 3 4 3 x x 1 x 0 x x 1 x 0 4 2 3 2 2 2 2 2x x x x x 1 0 x x 1 x x 1 x 1 0 2 2 2x 1 x x 1 0 x x 1 0 1 5 1 5x ;x 2 2 Vậy 1 5 1 5 S ; 2 2 b) 2 2 2 4x 2xy y 4y 1 1 2x y 1 2 4x 1 2 2 2 4x 1 2xy y 4y 0 y 2x y 2 4x 1 2 2 2 4x 1 2xy y 2y 2y 0 y 2x y 2 4x 1 2 2 2 2y y 1 2x y 2 2. 0 4x 1 4x 1 y 2x y 2 4x 1 2 2 1 2x y 2 2 2x y 2 0 y 2x y 2 4x 1 2 2 2x y 2 1 0 y 2x y 2 4x 1 2 2x y 3 0 y 1 4x 1 2 y 2x 3 2x 3 4x 1 2 y 2x 3 y 2x 3 x 1 2x x 1 0 1 x 2 x 1;y 5 1 x ;y 2 2 Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm 1 x;y 1;5 ; ;2 2 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) Bài 4: (4 điểm) a) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 a c b c a b 4abc 9 b a c a b c b c a c a b Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương, ta có: 2 2 2 1 1 1 a c b c a b 4abc b a c a b c b c a c a b 2 2 2 4ab 4bc 4ca a b b c c a 2 2 2 b a c b a c a b b c c a 2 2 2 2 2 2 a b b c c a4ab 4bc 4ca 6 ab bc ca a b b c c a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a4ab 4bc 4ca 4ab 4bc 4ca a b b c c a 3 a b 3 b c 3 c a 6 4ab 4bc 4ca 2 2 2 2 2 2 a b b c c a4ab 4bc 4ca 2 . 2 . 2 . 4ab 4bc 4ca a b b c c a 3.4ab 3.4bc 3.4ca 6 4ab 4bc 4ca 2 2 2 3 3 3 6 9 Vậy BĐT đã được chứng minh. Dấu " " xảy ra khi a b c b)Tìm GTLN của: 2 2 433 A x x 143 x x 17 với 0 x 1 Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương, ta có : 2 2 433 433.12 1 143.12 289 A x x 143 x x x 1 x x 1 x 17 17 144 17 144 433.12 1 1 143.12 1 289 . . x 1 x . . x 1 x 17 2 144 17 2 144 433.12.143 433.12 143.12.433 143.12 3456 .x .x 17.2.144 17.2 17.2.144 17.2 17 3456 A 17 Dấu " " xảy ra khi 7 x 1 x 144144 x 145289 x 1 x 144 Vậy GTLN của A là 3456 17 khi 144 x 145 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) Bài 5: (4 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC), có H, I, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp. Giả sử bốn điểm B, C, I, O cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng: IH IO E I H D O B C A Ta có: I là tâm đường tròn nội tiếp ABC (gt) nên BI, CI lần lượt là tia phân giác của ABC;ACB Do đó: 0 ABC ACB 180 BAC IBC ICB 2 2 0 0 0 0 180 BAC BAC BIC 180 IBC ICB 180 90 2 2 Ta có: BOCBAC gnt và góc ở tâm cùng chắn BC của (O) 2 BOC 2BAC Ta có : 0 0 0 BIC BOC tư ù giác BIOC nội tiếp BAC BAC BIC 90 cmt 2BAC 90 BAC 60 2 2 BOC 2BAC cmt Gọi D là giao điểm của BH và AC. E là giao điểm của CH và AB. Ta có : H là trực tâm của ABC BD AC tại D BH AB tại E . Nên 0 0 0 0 ABD 90 BAC 90 60 30 Ta có: 0 0 BHC BEH ABD 120 BOC 2BAC 120 BHC BOC Tứ giác BHOC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh với hai góc bằng nhau) Vậy B, I, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Mà OB = OC (=R) OBC cân tại O 0 0OBC OCB OBC 180 BOC :2 30 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 6 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) Ta có : ABI CBI ABD IBH OBC IBO IBH IBO Xét BIHOC , ta có: IBH IBO IH IO IH IO Bài 6: (4 điểm) Cho ABC có phân giác trong AD. Ở miền trong BAD và CAD lần lượt vẽ hai tia AM, AN sao cho MAD NAD (M thuộc đoạn BD, N thuộc đoạn CD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AC; P, Q lần lượt là hình chiếu của N lên AB, AC. Q P F E NM D A B C a) Chứng minh rằng: 4 điểm E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Ta có: MAD NAD gt BAD CAD AD là tia phân giác của BAC BAM MAD CAN NAD BAM CAN Xét AEM và AQN , ta có: 0 AEM AQN 90 AEM QAN g g BAM CAN cmt ∽ AE AM tsđd 1 AQ AN Ta có: MAF BAM NAP CAN BAC MAF NAP BAM CAN cmt Xét AFM và APN , ta có: 0 MAF NAP cmt AFM APN 90 AFM APN g g ∽ AF AM 2 AP AN Từ (1) và (2) ta có: AE AF AP AF AQ AP AQ AE Xét APF và AQE , ta có: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 7 Học Sinh Giỏi Lớp 9(Lần 1) –Tr.TĐN (14-15) PAF góc chung APF AQE c g c AP AF cmt AQ AE ∽ APF AQE Tứ giác PFQE nội tiếp. Vậy bốn điểm E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng: 2 2 AB BM.BN CM.CNAC Ta có: AM ME AEM AQN ME MF AMAN NQ ME.NP MF.NQ NQ NP ANAM MF AFM APN AN NP ∽ ∽ Do đó: NABMAB MAC NAC 1 1 AB.ME .AB.NP SSBM.BN BM BN 2 2 . . . 1 1CM.CN CM CN S S .AC.MF .AC.NQ 2 2 2 2 2 2 AB ME.NP AB . Vì ME.NP = MF.NQ MF.NQAC AC Vậy 2 2 AB BM.BN CM.CNAC HẾT
Tài liệu đính kèm: