Đề thi học sinh giỏi năm học 2015 - 2016 môn: Toán 8 thời gian làm bài: 120 phút

PHềNG GD&ĐT
 THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HềA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
Mụn: Toỏn 8
Thời gian làm bài: 120 phỳt.
Cõu 1( 6 điểm): Cho biểu thức :
 P = 
a) Rỳt gọn P
b) Tớnh giỏ trị của P khi 
c) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để P đạt giỏ trị nguyờn.
d) Tỡm x để P cú trị dương.
Cõu 2 (2,0 điểm): Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và . 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Cõu 3 (3,0 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chớnh phương.
Cõu 4 (6 điểm): Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. 
 a) Tớnh tổng 
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: .
Cõu 5(3,0 điểm):
a. Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 
Tinh: a2011 + b2011
PHềNG GD&ĐT
 THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HềA
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Toỏn 8
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Toỏn 8
Cõu 1: Phõn tớch : 
 4x2 -12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 
 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
 Điều kiện : 0,5đ
Rỳt gọn P = 2đ
 hoặc 
 +) khụng TMĐKXĐ
 +) (TMĐKXĐ ) P = 1đ
P == 1+2/2x-5
Ta cú : 
 Vậy P khi 2 x – 5 Ư(2)
 Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
 2 x – 5 = -2 x = 3/2 (KTMĐK)
 2x – 5 = -1 x = 2 (TMĐK)
 2 x – 5 = 1 x = 3 (TMĐK)
 2x – 5 = 2 x = 7/2 (KTMĐK)
KL: x {2; 3} thỡ P nhận giỏ trị nguyờn. 1đ
 P = 0,25đ
Ta cú : 2 x – 3 > 2 x – 5
Cú P > 0 khi : 
 *) 2 x – 5> 0 2x > 5 x > 5 /2 
 hoặc*) 2 x – 3<0 2x<3 x< 3/2 0,5đ
 Kết hợp ĐKXĐ => x > 5 /2 ; x ≠ 4 hoặc x< 3/2 ; x ≠ ẵ; x ≠-3/2 ; x≠7/4
thỡ P > 0. 0,25đ
Cõu 2 (2,0 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,5điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đú: ( 0,5điểm )
Tớnh đỳng A = 1 ( 0,5 điểm )
Cõu 3 (3 điểm): 
 Gọi là số phải tỡm (a, b, c, d N, ) (0,5điểm) 
 với k, mN, 
 (0,5điểm)
 Ta cú: 
 (0,25điểm)
 Do đú: m2–k2 = 1353 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
 hoặc 
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 
hoặc 
 m = 67 m = 37 
 k =56 k = 4 (0,25điểm) 
 Kết luận đỳng = 3136 (0,25điểm) 
 Cõu (6 điểm):
 Vẽ hỡnh đỳng (0,5điểm)
a) ; (0,5điểm)
 Tương tự: ; (0,5điểm)
 (0,5điểm) 
 b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC:
 (0,5điểm ) 
(1điểm ) 
(0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm)
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm)
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều) (0,25điểm)
 Cõu 5:(3 điểm) 
a. Từ: a + b + c = 1 	
 (1,5 điểm)
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Vỡ a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Vỡ b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 (1,5 điểm)