Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

MÃ KÍ HIỆU
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM 2020 (2021)
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1 (6 điểm) : Cho biểu thức A = ()
	a) Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị của biểu thức A tại x = -2 	
	b) Tìm x để 	
	c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. 	
Câu 2: ( 2 điểm)
	a) Cho a > b > 0 và 2( a2 + b2) = 5ab. Tính giá trị của biểu thức : P = 
 	b) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2 + 2bc > b2 + c2
Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình
	a, 	b, 
Câu 4: (1 điểm )
Tìm các số x, y, z biết : và 
Câu 5: (6 điểm) : Cho hình bình hành ABCD, đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD
	a, Tứ giác BEDF là hình gì?
	b, Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK
	c, Chứng minh rằng: 
Câu 6 (2 điểm): 
	a, Tìm số tự nhiên n để n+18 và n-41 là hai số chính phương
	b, Cho a, b>0 thỏa mãn a+b=1. Chứng minh rằng: 
------------Hết----------
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2020 (2021)
MÔN: TOÁN
 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(6 điểm)
a. Với , ta có: 
Thay x=-2 vào biểu thức A, ta có A=2
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
b. Để 
 hoặc hoặc 
 hoặc 
0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c. Ta có:
Giá trị nhỏ nhất của A là . 
Dấu “=” xảy ra 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2:
(2 điểm)
a. Ta có:
0,5đ
0,5đ
b. Vì a, b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên
0,5 đ
0,5 đ
3
(3 điểm)
a. (1)
+ Nếu : (1) (Thỏa mãn điều kiện ).
+ Nếu : (1) 
 (loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
0,5 đ
0,5đ
b. (ĐKXĐ: )
Đặt: = a ; = b suy ra: 
ta có:
Với a = b, ta có 
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Với a = 6b, ta có:
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={0;1;6}
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
4
( 1 điểm)
Ta có: 
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0	
x2020 = y2020 = z2020	
Khi đó: 3.z2020 = 32021
 z2020 = 32020
 z = 3
Vậy x = y = z = 3	
0,5đ
0,5đ
5
(6 điểm)
Hình 
0,25đ
a. Ta có:
 (gt); (gt) 
Chứng minh: (g-c-g)
suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b. Ta có:
Chứng minh: (g-g)
0,5đ
1đ
0,5đ
c. Chứng minh: (g-g)
Chứng minh: (g-g)
 mà CD=AB nên 
Suy ra: (đpcm)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ
0,25
6
(2 điểm)
a. Để n+18 và n-41 là 2 số chính phương 
 và 
vì 59 là số nguyên tố nên: 
Từ suy ra n=882
Thay vào n-41, ta được 882-41=841= (thỏa mãn)
Vậy n=882
0,5đ
0,5đ
b. Có: (*). Dấu “=” xảy ra khi a=b
Áp dụng (*) , có: ; 
Suy ra: 
 (vì a+b=1)
Với a,b>0, chứng minh (vì a+b=1)
Dấu “=” xảy ra khi a=b
suy ra: 
Dấu “=” xảy ra khi 
0,5 đ
0,5 đ