Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HUYỆN YÊN MÔ
 (ĐỀ CHÍNH THỨC)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
 (Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) .
b) .
Câu 2 (4,0 điểm). Cho biểu thức với .
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để .
Câu 3 (3,0 điểm). 
a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức
.
b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức .
Câu 4 (6,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
c) Tứ giác BEDF là hình gì? Vì sao? 
b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK.
c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2.
Câu 5 (3,0 điểm).
a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
.
--------------Hết--------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.........................................
Số báo danh:........................................
Chữ ký của giám thị 1:..................................
Chữ ký của giám thị 2:.........................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN MÔ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 02 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
Nếu hay thì .
Nếu hay thì .
0,25
* TH1: Với , PT đã cho trở thành (t/m).
0,75
* TH2: Với , PT đã cho trở thành (loại).
0,75
Vậy PT đã cho có nghiệm .
0,25
b) (2,0 điểm)
Vì với mọi x nên BPT đã cho tương đương với 
1,0
. Vậy nghiệm của BPT ban đầu là .
1,0
Câu 2
(4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
1,0
1,0
b) (2,0 điểm)
Với điều kiện ta có
.
Vậy với thì .
Câu 3
(3,0 điểm)
a) (1,5 điểm)
1,0
Thay số, ta được .
0,5
b) (1,5 điểm)
1,0
.
Vậy B = 2.
1,0
Câu 4
(6,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
Ta có BE và DF cùng vuông góc với AC. Do đó (1)
0,5
Xét hai tam giác vuông AFD và CEB có AD = BC và nên bằng nhau. Suy ra BE = DF (2)
1,0
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành.
0,5
b) (2,0 điểm)
Ta có ; mà nên suy ra .
1,0
Xét hai tam giác vuông CHB và CKD có nên đồng dạng với nhau. Do đó ta có .
1,0
c) (2,0 điểm)
Xét hai tam giác vuông ACH và ABE có góc A chung nên đồng dạng với nhau. Suy ra .
Xét hai tam giác vuông AKC và AFD có góc A chung nên đồng dạng với nhau. Suy ra .
1,0
Vậy .
Mặt khác theo cmt thì AF = EC. Do đó ta có
 (đpcm).
1,0
Câu 5
(3,0 điểm)
0,5
0,5
0.5
0,25
Đặt ta được 
Vì x, y là những số nguyên nên và cũng là những số nguyên. Do đó ta có hai trường hợp sau:
0,5
* TH1: và . Suy ra và .
Với thì hoặc .
0,25
* TH2: và . Suy ra và .
Với thì hoặc .
0,25
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên là 
0,5
--------------Hết--------------