Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm 2021 (Có đáp án)

 MÃ KÍ HIỆU
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Mụn: Toỏn
Năm 2021 
Thời gian làm bài: 150 phỳt
(Đề thi gồm 5 cõu, 01 trang)
Cõu 1: (4 điểm). 
Cho biểu thức P = 
a) Rỳt gọn P. 
b) Tỡm a để P > 0.
c) Tỡm giỏ trị của a để biểu thức đạt giỏ trị lớn nhất.Tỡm giỏ trị lớn nhất đú.
Cõu 2: ( 4 điểm).
a). Chứng minh thỡ là hợp số.
 b) Tỡm cỏc số nguyờn x, y, z thỏa món: x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4
.Cõu 3: ( 4 điểm).
 a) Tỡm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho x - 3 dư 7; chia cho x – 2 dư 5; 
chia cho (x – 2)(x – 3) được thương là 3x và cũn dư.
 b) Giải phương trỡnh: (6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 6
 Cõu 4: (6 điể	m) 
Cho hỡnh vuụng ABCD cú 2 đường chộo AC và BD cắt nhau tại O. Trờn cạnh AB lấy M (MB<MA) và trờn cạnh BC lấy N sao cho . Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE 
 1. Chứng minh vuụng cõn 
 2. Chứng minh MN song song với BE
 3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh 
Cõu 5: (2 điểm)
 Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng: 
 b) Cho hỡnh vuụng ABCD và 2021 đường thẳng cựng cú tớnh chất chia hỡnh vuụng này thành hai tứ giỏc cú tỉ số diện tớch bằng . Chứng minh rằng cú ớt nhất 506 đường thẳng trong 2021 đường thẳng trờn đồng quy.
..Hết..
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DÂN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Năm 2021
MễN: TOÁN LỚP: 8
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Cõu
Đỏp ỏn
Điểm
1
(4 điểm)
a (2 điểm)
Điều kiện: 
Ta cú: P = 
= 
0,5 
= 
0,5
= 
0,5
= = 
Vậy P = với 
0,5
b) (1 điểm)
P > 0 khi 4a > 0 suy ra a > 0 
0,5
kết hợp với ĐKXĐ 
Vậy P > 0 khi a > 0 và 
0,5
c) (1 điểm)
Ta cú P = =
Vỡ với mọi a nờn với mọi a
0,5
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy MaxM = 1 khi a = 2.
0,5
2
(4 điểm)
(2 điểm)
Ta cú: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1)
1
=(n+1)( n2 - n + 2)
0,5
Do nờn n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số
0,5
(2điểm)
Vỡ x, y, z là cỏc số nguyờn thỏa món x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4 (*)
0,5
Mà 
0,5
 (*) 
0,5
 Kết luận: Vậy (x;y; 2; 1)z) =(1; 2; 1)
0,5
3
(4 điểm)
a) (2,0 điểm)
Vỡ đa thức (x - 2)(x – 3) cú bậc là 2 nờn phần dư khi chia P(x) cho (x - 2)(x -3) cú dạng R(x) = ax + b
 P(x) = (x - 2)(x – 3). 3x + ax + b
0,5
0,5
a =2 ; b = 1
0,5
P(x) = (x - 2)(x – 3). 3x + 2x + 1 = 3x3 - 15x2 + 20x + 41
0,5
b) (1,5 điểm)
(6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 6
Û (6x + 7)2 (6x + 8) (6x + 6) = 72
Đặt 6x + 7 = y thỡ phương trỡnh đó cho cú dạng:
	y2 (y + 1) (y - 1) = 72Û 	 
0,5
y2 (y2 - 1) = 72
Û	y4 - y2 - 72 = 0
Û (y2 + 8) (y2 - 9) = 0
Û y2 - 9 = 0 (vỡ y2 + 8 > 0 " y) 
 Û	y = ± 3
0,5
+ Với y = 3 ị 6x + 7 = 3
Û 6x = -4
Û x = 
0,5
+ Với y = -3 ị 6x + 7 = -3Û 6x = -10Û x = 
Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm: x = và x = 
0.5
4
(6 điểm)
a) (2,5 điểm):
-Ta cú ;
0,25
vỡ 
0,25
-Ta cú BD là phõn giỏc gúc ABC 
0,25
Tương tự ta cú Vậy ta cú 
0,5
Xột và 
cú OB=OC ; ;
1,0
*Xột cú vuụng cõn
0,25
b) (2,0 điểm):
-Ta cú 
0,5
mà AB=BC
0,5
Ta cú AB//CD 
0,5
Vậy ta cú ( theo định ký ta lột đảo )
0,5
c) (1,5 điểm):
Vỡ MN//BE ( đồng vị và cú tam giỏc MON vuụng cõn)
 ( vỡ cú )
0,25
Xột cú ; 
0,25
Vỡ KH//OM mà , mà 
0,25
Xột cú là phõn giỏc trong của, mà là phõn giỏc ngoài của . 
0,25
Chứng minh tương tự ta cú 
0,25
Vậy ta cú 
0,25
5
(2 điểm)
(1,0 điểm)
 (1)
Đặt x = ; y = ; z = 
0,25
 Ta có (1) 
Với x + y + z ≤ 1 và x , y, z > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú:
3. đẳng thức xảy ra x = y = z
0,25
3. . đẳng thức xảy ra 
 Mà x + y + z ≤ 1 
0,25
 => đẳng thức xảy ra x = y = z = 
 a = b = c = (đpcm)
0,25
b) 1,0 điểm)
0,25
Gọi E, F, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC và AD. Trờn EF lấy cỏc điểm I, G sao cho ấF = EI = 3GF. Gọi M, N là giao điểm của một đường thẳng bất kỡ qua G và cắt hai cạnh của hỡnh vuụng.
Ta cú: 
Vỡ EG là đường trung bỡnh của hỡnh thang MNAB, Vỡ FG là đường trung bỡnh của hỡnh thang MNDC nờn 
 MC + ND = 2FG; AN +BM = 2EG
Do đú SMNDC = AB . FG; S MNAB = AB .EG
0,25
Lại cú EF = 3GF nờn EF – GF = 2GF suy ra EG = 2 GF
Vậy SMNDC = 0,5S MNAB . Ta được 1 đường thẳng thỏa món đề bài.
Chứng minh tương tự ta cũng được 1 đường thảng đi qua I thỏa món đề bài.
0,25
Suy ra từ một đường trung bỡnh sẽ cú 2 sẽ cú 2 điểm nằm trờn nú mà cỏc đường thẳng đi qua nú căt 2 cạnh của tam giỏc thỏa món đề bài. MÀ hỡnh vuụng cú 2 đường trung bỡnh nờn sẽ cú 4 điểm mà cỏc đường thẳng đi qua cú tớnh chất trờn.
Vỡ vậy cỏc đương thẳng thỏa món yờu cầu đề bài phải đi qua một trong 4 điểm trờn là: 2021 : 4 = 505 ( dư 1). Theo nguyờn lớ Diricle cú ớt nhất 506 đường thẳng đồng qui tại 1 trong số 4 điểm.
0,25