Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Phương trình nghiệm nguyên (Có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: 
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
=> 
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
DẠNG 2: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Nhân với 4 ta được:
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 
HD: 
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
 nếu đặt 
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên:: 
HD :
	=> 
	=> 
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
	=> 
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Nhân 4 
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
, mà là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD : 
Ta có phương trình trở thành : 
=> , Vì x,y là số nguyên nên 
=> 
Bài 16: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 
HD: 
Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT=> . 
Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=4
Nếu xy=3 thì và xy=3( vô lý)
Nếu xy=4 thì 
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 
HD: 
Biến đổi: khi 
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên: 
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn: 
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết: 
Bài 22: Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z thỏa mãn : 
HD: 
Ta có , Ta có : mà 4 không chia hết cho 8
( nên không tần tại x,y,z)
Bài 23 : Tìm x, y thỏa mãn : 
Bài 24: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 
HD:
Vì x, y,z là các số nguyên nên: 
DẠNG 3 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD : 
Bài 2 :Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
	Ta có: 
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD : 
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
=> mà là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD : 
 với 
Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
=> 
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
=> 
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
=> 
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
	=> => 
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	Đặt : 
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
Có , Để phương trình có nghiệm thì :
Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
Có , để phương trình có nghiệm thì 
Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Xét : 
Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Theo vi- ét ta có :
Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Chuyển phương trình thành bậc hai với x
	, có :
, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phương
	=> 
Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : => 
Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về : 
Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	=> Vô nghiệm
Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về thành : , Vô nghiệm
Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : , Vô nghiệm
Bài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Phương trình có nghiệm , xét x, y # 0 => là 1 số chính phương
	Đặt : Tìm x
Bài 43 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình vê dạng : 
Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình thành : 
	=> 
Bài 45 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Phương trình 
	Vì VP là 1 số lẻ => là số lẻ , 
	Giả sử : => d lẻ , Mà : 
	 là số chính phương => 
Bài 46 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có :
Bài 47 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng :
	, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
	Từ đó ta có : 
Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
	Làm giống bài trên
Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	TH1 : y=0 => ...
	TH2 : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là phải là 1 số chính phương
	=> => Tìm x
	Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Để phương trình có nghiệm thì phải là 1 số chính phương
Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :
	=> 
	Cách 2 : Tính 
Bài 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Bài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
	TH1 : 
	TH2 : 
Bài 60 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Chú ý : Vì là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn 
Bài 61 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 62 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Giả sử : 
	TH1 : 
TH2 : hoặc 
Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 64 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng :
Bài 65 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 66 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 67 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 68 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 69: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 
DẠNG 4 : ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Phương trình tương đương với : 
	Với x=2 không phải là nghiệm khi đó ta có : 
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình về dạng : 
Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên : 
HD :
	Ta có : 
Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	ta có : 
Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình trở thành : 
Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình ta có :
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình ta có :
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình về dạng :
Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình trở thành :
	TH1 : y=1=>x=0
	TH2 :
Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên sao cho A có giá trị nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x,y,z biết : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
	Chứng minh k=1=>a=4, b=3
Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành: 
Bài 28 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn : 
HD:
	Biến đổi phương trinhg thành:
	 và và 
	Với 
	Với 
Bài 29 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành: 
	Tương tự ta có: , Mà , Vậy không tồn tại x,y,z
Bài 30 : Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn :  
HD:
	Xét 
	Xét còn dư 0 hoặc 1
	=> dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2=> Vô lý
Bài 31 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên : 
HD:
	Với y Phương trình vô nghiệm
	Nếu y=0,1,2,3=> Phương trình cũng vô nghiệm
	Nếu 
	=> ( Vô lý) do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
HD:
	Gọi x, y là các cạnh của hình vuông 
	Ta có: và 	(2)
	Khi đó ta có: 
	Thay vào (2) ta được
Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Đưa phương trình thành: 
Bài 34 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành: 
Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đôi phương trình thành: 
Bài 36 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành:
	 Vì 
Bài 37 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành:
Bài 38 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến dổi phương trình thành: 
Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD: 
Biến đổi phương trình thành:
Bài 40 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành:
	, Đặt: 
	Khi đó phương trình trở thành: 
Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành:
Bài 42 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành: 	(1)
	Phương trình đã cho có nghiệm: 
	Xét: từ (1) => là 1 số chính phương
	Đặt => Tìm đc x
	=> (0; 0), (4; -1), (4; 2), (-4; -1), (-4; -2)
Bài 43 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành:
Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 
DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn : 
HD:
Ta có: 	(1)
Mặt khác 	(2)
Từ (1) và (2) ta có: 
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	Mặt khác : 
	Khi đó : 
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 	(1)
	mặt khác : 
	Khi đó : 
	TH1 : 
	TH2 : 
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	Mặt khác : 
	Khi đó : 
Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương : 
HD :
	Đặt 
	(1)
	Vậy ta cần chứng minh 
	Thật vậy : 
Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	Mà => Tìm x => Tìm y
Bài 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : mà 5 :2 dư 1=> x2 chia 2 dư 1=> x2 chia 8 dư 1=>2y2 +x2 chia 8 dư 1 hoặc 3
	mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lý
	vậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn
Bài 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
	Nhân với 4 ta có: => 
	Do , mà => Vô lý
	vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
	Ta có: 
 là số lẻ 
Bài 10 : Tìm x, y nguyên sao cho : 
HD:
	Xét 
	Xét Vô lý
	Với dư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=> dư 1 (vl)
	Vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 11 : Tìm x, y nguyên sao cho : 
HD :
	TH1 : x là số lẻ :
	=> chia 3 dư 2
	VP là 1 số chính phương chia 3 không dư 2
	TH2 : x là số chẵn :
	Thấy và 
	 hoặc 
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Ta có: 
	Ta cần chứng minh: 
	Khi đó: 
	Vậy 
	 hoặc 
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Giả sử: 
	TH1: Với x=1=> 
	=> Nếu y=1=> Z không có giá trị, Nếu y=2=> z=3
	TH2 : Với x=2 làm tương tự
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Giả sử: 
	Làm tương tự bài trên
Bài 15 : Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : 
Có giá trị nguyên
HD:
	Ta có: có cùng tính chẵn lẻ:
	Giả sử : Nếu 
	Nếu a=1=> thay a=1 và A=2 vào ta được:
	 hay 
	Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) và các hoán vị
Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Ta có:
	Giả sử: 
	Khi đó: 
	Với => tự làm
Bài 17 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ước tự nhiên của là số chính phương
HD:
	Ta có:
	 => 
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
	Biến đổi thành: 
Bài 19 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đổi thành: 
	Xét các TH=> x
Bài 20: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình : 
HD:
	Biến đổi thành: 
	Lại có: , Với và 1959=3.653
Bài 21 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Phương trình đã cho 
	Cô si ta có: , Do 
và x,y,z nguyên nên ta có các nghiệm là:
	(1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) và các hoán vị
Bài 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Với x=0=> y= 1 hoặc y=-1
	Với x # 0=> 
Bài 23: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Từ phương trình ta có :
Bài 24: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD :
	Giả sử : 
	Với 
	TH1 : 
	Giải các TH và với t=2
Bài 25: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Giả sử : 
Bài 26: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD :
	Giả sử : 
Bài 27: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD :
	Giả sử : 
=> 
Bài 28: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng 
HD :
	Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :
	, Giả sử : 
	Với 
	Với 
	Với 
Bài 29: Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn phương trình : 
HD :
	Ta có : 
	Với x=0=> Vô lý
	Với x=1 đúng
	Với 
Bài 30: Chứng min rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên x sao cho 
HD :
	Ta có : 	
	Do 	(1)
	và 	(2)
	=> Vô lý
Bài 31: Tìm x nguyên để biểu thức sau là 1 số chính phương : 
HD :
	Đặt 
	Ta cần chứng minh : với 
Bài 32: Tìm 3 số nguyên dương đôi 1 khác nhau thỏa mãn : 
HD :
	Giả sử : và không xảy ra đấu =
	, mà 
	Kết hợp với phương trình đầu=> 
Bài 33: Tìm tất cả các bộ 3 số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của 2 số bất kỳ cộng với 1 chia hết cho số còn lại
HD :
	Giả sử 3 số đẫ cho là : 
	Nhân theo vế ta được : 
	Vì 
	nếu k=4=>a=b=c=1 (t/m)
	Nếu k=3 thì 
	nếu k=2, hoặc k=1 xét tương tự
Bài 34 : Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
HD :
	Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là x,y,z, ta có :
	Giả sử : 
	Xét các TH của xy
Bài 35: Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
HD :
	Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là : 
	Giả sử : 
	Xét các TH của xyz
Bài 36 :Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương: 
HD :
Giả sử : và 
=> 
vậy x>17=> x=y=18
 thử lại ta thấy x=y=18 không thỏa mãn => Phương trình không có nghiệm nguyên dương
Bài 37 :Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho và đều là số chính phương
HD :
	Giả sử : y < x, Ta có : 
	Vậy không tồn tại hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu 
Bài 38: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương: 
HD :
	Giả sử : 
	, Nên :
Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD :
	ta có : , 
	Đặt 
	Thấy ngày : 
	Chứng minh phương trình sau không có nghiệm
Bài 40 : Chứng minh rằng chỉ có 1 số hữu hạn nghiệm nguyên dương
HD :
	Giả sử : , Ta có : 
	=> x có hữu hạn giá trị
	Với mỗi giá trị của x => giá trị
	=> Tương ứng với z
Bài 41: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 
HD: 
Bài 42: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD: 
Phương trình đã cho viết lại thành: 
Ta thấy x=2 là nghiệm của phuong trình:
Nếu x>2 thì 
Nếu x<2 thì dễ thấy x=0 và x=1 không phải là nghiệm của phương trình
Nếu x<0 ta đặt nên y, Ta có : ,
 Phương trình này vô nghiệm vì vế phải lớn hơn 1 do y1
Bài 43: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 
HD:
	Phương trình 
	Giả sử x, y nguyên thỏa mãn VT 0
	 , Do x, y nguyên nên 
	Với: ( vô nghiệm)
	Với