Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOAN LOP 7
ĐỀ SỐ 1:
Bài 1: (3 điểm): Tính
 a) 
 b) So sánh A và B, biết: A=.
Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 3:(3 điểm) Tìm biết:
a) 	b) 	 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
Bài 5(5 điểm):Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tính và 
Bài 6: (2 điểm) Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A= Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó.
ĐÁP ÁN ĐỀ 1:
Câu 1 a) =
= = 
= 	== 	
b) : Ta có: 10A = (1)	(1)
Tương tự: 10B = (2)
Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10B
A > B
Câu 2 a)Từ suy ra a,b,c 0 và 	
 khi đó = 	
 b) Theo câu a) ta có: 
	từ 
 	hay 	vậy 	 
Câu 3
a) 
 hoặc 
Với hay 	 	
Với hay 	 
b) 	 
Câu 4
Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s
Ta có: và 	hay: 
Do đó: ;; Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 
Câu 5
 a/ Xét và có :
 AM = EM (gt )	
 AMC = EMB (đối đỉnh )
 BM = MC (gt )
Nên : = (c.g.c ) AC = EB	
Vì = 
(2 góc có vị trí slt được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE Suy raAC // BE 
 b/ Xét và có : 
AM = EM (gt )
 ( vì )
AI = EK (gt )
Nên ( c.g.c ) Suy ra 	
Mà = 180o ( tính chất hai góc kề bù )	
 ẸMK + IME = 180o   mà A,M,E thẳng hàng Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	 
c/ Trong tam giác vuông BHE (H = 90o ) có =>HBE = 50o 
=>HEB = 90o - HBE = 90o - 50o =40o =>HEM=HEB-MEB= 40o - 25o = 15o 	 
BME là góc ngoài tại đỉnh M của 
 Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 
Câu 6
 A = A lớn nhất lớn nhất 
Xét x > 4 thì < 0
Xét 4 0 A lớn nhất 4 - x nhỏ nhất x = 3 
 ĐÊ HSG TOÁN 7 ĐÊ 2
a. Thực hiện phép tính: 
b. So sánh: và .
Câu 2.
a. Tìm biết: 
b. Tìm biết: 
c. Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7
Câu 3. 
a. Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x. Từ đó áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ ....+ n.
b. Cho Chứng minh: .
Câu 4. 
Cho tam giác ABC (), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a. AE = AF;
b. HA là phân giác của ;
c. CM // EH; BN // FH.
ĐÁP ÁN 
Câu
Nội dung
Câu 1
1,5 điểm
A = 	
A=
Ta có: > = 4; > = 5
Vậy: 
Câu 2
4 điểm
Nếu x >2 ta có: x - 2 + 2x - 3 = 2x + 1 x = 6
Nếu ta có: 2 - x + 2x - 3 = 2x + 1x = - 2 loại
Nếu x< ta có: 2 - x + 3 - 2x = 2x + 1 x = 
Vậy: x = 6 ; x = 
Ta có: xy + 2x - y = 5x(y+2) - (y+2) = 3
(y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1)
y + 2
3
1
-1
-3
x - 1
1
3
-3
-1
X
2
4
-2
0
Y
1
-1
-3
-5
Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z
 = 
x = 12.= ; y = 12. = 1; z = 12. 
Câu 3 1.5 điểm
Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: (a0).
Ta có : .
Vậy đa thức cần tìm là: (c là hằng số tùy ý).
Áp dụng: 	 
+ Với x = 1 ta có : 
+ Với x = 2 ta có : 
.
+ Với x = n ta có : 
S = 1+2+3++n = = .
2bz - 3cy = 0 (1)
3cx - az = 0 (2); Từ (1) và (2) suy ra: 
Câu 4 3 điểm
Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE = AH (1)
Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH = AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF
Vì MAB nên MB là phân giác MB là phân giác ngoài góc M của tam giác MNH 
Vì NAC nên NC là phân giác NC là phân giác ngoài góc N của tam giác MNH
Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H của tam giác HMN hay HA là phân giác của .
Ta có AH BC (gt) mà HM là phân giác HB là phân giác ngoài góc H của tam giác HMN
MB là phân giác ngoài góc M của tam giác HMN (cmt) NB là phân giác trong góc N của tam giác HMN
BNAC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau). BN // HF ( cùng vuông góc với AC)
Chứng minh tương tự ta có: EH // CM
ĐỀ THI SỐ 3 
Câu 1 (4 đ). a) Thực hiện phép tính: 
 A=
 b)Cho: . Chứng minh: .
Câu 2(4 đ). a)Tìm để AÎ Z và tìm giá trị đó biết 
	 A = .
 b) Tìm số nguyên x ,y biết: 
Câu 3. (3đ) Tìm x, biết:
	a) 
 b) 
Câu 4(4 đ)a)Tìm các chữ số a, b sao cho là bình phương của 1 số tự nhiên
 b) Tìm x,y,z biết: và x-2y+3z = -10
Câu 5 (5đ) Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 900 . Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 900 ), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng:
	a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK.
ĐÁP ÁN ĐỀ 3
Câu 1
4 đ
a) A==
 = + = 0	
b)Ta có (1) 
 Ta lại có (2) Từ (1) và(2) => .
Câu 2:
 4 đ
a)A = - 2 để A Î Z thì x+ 3 là ước của 7.
 => x + 3 = ± 1; ±7
 * x = -2 => A = 5	 * x = 4 => A = -1
 * x = -4 => A = - 9	 	* x = -10 => A = -3
Kết luận x=-2;-4;-10;4
b) 
 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2
 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 
Vì y2 0 nên (x-2009)2 => (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1	Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) 
Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 
(do y là số nguyên) Từ đó tìm được (x=2009; y=5)	 
Câu 3:
3 đ
a)
b) 
Câu 4:
 4 đ
a)Vì 0≤≤99 và a,b Î N Þ 200700 ≤ ≤ 200799
Þ 4472 < < 4492 Þ = 4482 Þ a = 0; b= 4
b)Đặt 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau  k = -2 x= -3; y = -4; z = - 5.
Câu 5:
 5 đ
a)Vẽ AH ^ BC; Vì t.g ABC có 3 góc nhọn nên H ÎcạnhBC của DABC
+ hai tam giác vuông AHB và BID có:
BD= AB (gt)
 BAH= B1( cùng phụ với góc B2)
Þ DAHB= DBID ( cạnh huyền, góc nhọn) ÞAH= BI (1) và DI= BH
Xét hai tam giác vuông AHC và CKE có:CAH=C1( cùng phụ với C2)
AC=CE(gt) Þ DAHC= DCKE ( cạnh huyền, góc nhọn)
 ÞAH= CK ;EK=HC(2)
từ (1) và (2) Þ BI= CK và EK = HC.
b) Ta có: DI=BH ; EK = HC( Chứng minh trên)
Mà H nằm giữa B và C nên
Từ đó BC= BH +HC= DI + EK.
Đề số 4
Thời gian làm bài: 120’.
Câu 1: (4 điểm) Tính :
	a) A = .
	b) B = 1+ 
Câu 2: (5 điểm)a)Tìm x,y,z biết:x(x+y+z)=-5; y(x+y+z)=9; z(x+y+z)=5
	 b) Chứng minh rằng: .
Câu 3: (4 điểm) Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3 
Câu 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
So sánh các độ dài DA và DE.
Tính số đo góc BED.
Câu 5: ( 4điểm) Cho ABC vuông tại B, đường cao BE. Tìm số đo các góc nhọn của tam giác ABC , biết EC – EA = AB.
ĐÁP ÁN ĐỀ 4:
Câu 1
 4 đ
Câu 1: a) Ta có: ; ; ; ;
Vậy A = 1+
b) A = 1+ =
= 1+ 
= = 115.
Câu 2:
 5 đ
: a) Ta có: Cộng vế vố vế của 3 đt dã cho =>(x+y+z)2=9
 =>x+y+z= 3 hoặc -3
*Nếu x+y+z=3 => x=-5/3; y=3; z=5/3
*Nếu x+y+z=-3=>x=5/3; y=-3; z=-5/3
b) ; ; ..; .
Vậy: 
Câu 3:
 4 đ
Gọi a,b,c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm . Vì mỗi chữ số a,b,c không vượt quá 9 và ba chữ số a,b,c không thể đồng thời bằng 0 , vì khi đó ta không được số có ba chữ số, nên: 1 £ a+b+c £ 27
Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên a+b+c =9 hoặc a+b+c = 18 hoặc a+b+c=27
Theo giả thiết, ta có: Do đó: ( a+b+c) chia hết cho 6
Nên : a+b+c =18 Þ Þ a=3; b=6 ; c=9
Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn.Vậy các số phải tìm là: 396; 936.
Câu 4:
 3 đ
Xét ABD và EBD có:
 BD là cạnh chung;
 BA =BE(gt);
 ABD=EBD(gt)
 ABD =EBD (c.g.c)
 => DA = DE
b) Vì ABD =EBD nên A = BED
 Do A =900 nên BED = 900
Câu 5
 4 đ
B
 C
A
E
D
Trên tia EC lấy điểm D sao cho ED = EA.
Hai tam giác vuông ABE = DBE ( EA = ED, BE chung)
Suy ra BD = BA => BDA=BAD.
Theo giả thiết: EC – EA = A B
Vậy EC – ED = AB	Hay CD = AB	(2)
Từ (1) và (2) Suy ra: DC = BD
 C=IBD.
 Gọi C= BDA=C+IBD = 2 C =2 ( góc ngoài của BCD)
 mà A=BDA ( Chứng minh trên) nên 
A = 2 = 900 = 300 .
Do đó ; C=300 và A=600
Đề số 5
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1(5đ):
	a) Tính: A = 726
	b) Tìm n Z sao cho : 2n - 3 n + 1
Câu 2 (5đ):
	a) Tìm x biết: 3x - = 2
	b) Tìm x, y, z biết: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) và 2x+3y-z = 50.
Câu 3(2đ): 	Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.
Câu 4(3đ):	Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Câu 5(5đ):Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Dựng ra phía ngoài 2 tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE . Gọi M;N;P lần lượt là trung điểm của BC; BD;CE .
	a. Chứng minh : BE = CD và BE ^ CD
	b. Chứng minh tam giác MNP vuông cân
 ĐÁP ÁN ĐỀ 5
Câu 1:
5 đ
a) A = 762
Đặt a= =>A=(762+b).a-3b(5-a)-4ab+5.3b 
=762a+ab-15b+3ab-4ab+15b =762a=1
b) 	
n + 1
-1
1
-5
5
n
-2
0
-6
4
n= -2;0;-6;4
Câu 2
 5 đ
a) Nếu x thì : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( thảo mãn )	
Nếu x x = 1/5 ( loại )	Vậy: x = 3
b) => và 2x + 3y - z = 50	
Sử dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau=> x = 11, y = 17, z = 23
Câu 3:
2 đ
Các phân số phải tìm là: a, b, c ta có : a + b + c = 
và a : b : c = => 	
Câu 4:
3 đ
Kẻ DF // AC ( F thuộc BC )	(0,5đ )
=> DF = BD = CE (0,5đ ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1đ )
=> DIF = EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C thẳng hàng (1đ)
Câu 5
5 đ
 a) ADC = ABE ( c-g-c) => DC =BE .
Vì AE ^ AC; AD ^ AB ADC = ABE=> DC ^ BE.
b) Ta có MN // DC và MP // BE => MN ^ MP
MN = DC =BE =MP;
Vậy MNP vuông cân tại M.
Đề số 6
Câu 1( 4 điểm ). Tính giá trị các biểu thức:
a) ;
b) ;
c) 
d) D = biết và y là số nguyên dương bé nhất.
Câu 2( 4 điểm ). Tìm số hữu tỷ x, biết:
a) 
b) 
c) 
d) 
Câu 3( 4 điểm ). 
	 a) Tìm các số a, b, c biết rằng 4a = 3b = 2c và 
 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 
Câu 4( 6 điểm ).
 	Cho tam giác ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H và K cùng thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng:
	a) BH = AK;
	b) ;
	c) Tam giác MHK là tam giác vuông cân.
Câu 5 ( 2 điểm). Cho thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của tổng 
Đap an đề số 6
Câu 1( 4 điểm ). Tính giá trị các biểu thức:
a) ;
b) ;
c) 
d) D = biết và y là số nguyên dương bé nhất.
b) 
c) 
d) Vì y là số nguyên dương nhỏ nhất nên y = 1.
Với , y = 1. Giá trị của biểu thức D là: 
= 
Câu 2( 4 điểm ). Tìm số hữu tỷ x, biết:
a) 
b) 
c) 
d) 
a) ; 
; 
b) 
c) 
d) Vì nên trái dấu. Mà nên . Hay , Vì nên x = 0.
Câu 3( 4 điểm ). 
	 a) Tìm các số a, b, c biết rằng 4a = 3b = 2c và 
 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 
a) Tìm các số a, b, c biết rằng 4a = 3b = 2c và 
Vì 4a = 3b = 2c nên 
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: ( Vì )
Suy ra: a = 3.395 =1185; b = 1580; c = 2370.
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 
Vì x và y là các số nguyên nên x - 1 là ước của 1. 
Hay 
* Với x = 0 thì y = -2;
* Với x = 2 thì y = 0;
Vậy: (x; y) = (0; -2); (2; 0).
Câu 4( 6 điểm ).
 	Cho tam giác ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H và K cùng thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng:
	a) BH = AK;
	b) ;
	c) Tam giác MHK là tam giác vuông cân.
a) Xét , có: 
 ; ( Cùng phụ với góc KAC)
Suy ra: 
Do đó: BH = AK ( hai cạnh tương ứng)
b) Ta có: , mà
Do đó, 
Gọi O là giao điểm của AM và BH, ta có ( Cùng phụ với hai góc bằng nhau , mà BH = AK; BM = AM
Suy ra: 
c) Vì (câu b) nên MH = MK (1)
Do đó: (2)
Từ (1) và (2) suy ra Tam giác MHK là tam giác vuông cân tại M
Câu 5 ( 2 điểm). Cho thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của tổng 
	§¸p ¸n 	
Ta có: 
Vì nên 
Dấu bằng xảy ra khi c = 1; a = 8 - 3.1 = 5 ( TM); b = (1+3.1) : 2 = 2
Đề số 7
Câu 1 (4 điểm) Thực hiện phép tính:
A = + 
B = 
Câu 2 (4 điểm) 
Tìm x, y biết: 
Cho , chứng minh rằng: chia hết cho 27 
Câu 3 (4 điểm) 
 1) Cho và . Tính x + 2y + 3z 
 2) Cho hai đa thức: f(x) = ax2 + bx + c và g(x) = cx2 + bx + a
 Chứng minh rằng: Nếu f(x0) = 0 thì g() = 0 (với )
Câu 4 (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N và cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: 
AE = AF
BE = CF
Câu 5 (3 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:
ĐÁP ÁN ĐỀ 7
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4 điểm)
1
(2đ)
A = + 
 = =
2
(2đ)
B = 
 = 
 =
 = 
Câu 2
(4 điểm)
1
(2đ)
Ta có: và 
Suy ra: 
Phương trình đẫ cho 
2
(2đ)
Ta có: = (1)
Mặt khác là số có tổng các chữ số là 1 
Nên là số có tổng các chữ số là 3
Suy ra: 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: hay 
Câu 3
(4 điểm)
1
(2đ)
Ta có: x3 = 8 x = 2
Suy ra: 
+) 
+) 
Vây: x + 2y + 3z = 2+ 2.(-7) + 3.1 = - 9
2
(2đ)
- Ta có: f(x0) = 0 ax02 + bx0 + c = 0 
 g() = 
 = 
 = 
 = (đpcm)
Câu 4
(5 điểm)
1
(1,5đ)
- Xét ANE và ANF có :
 AN chung
 (gt)
Suy ra : ANE =ANF (g – c - g)
 AE = AF (2 cạnh tương ứng)
2
(2đ)
- Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF tại K 
- Xét BME và CMK có :
 MB = MC (gt)
 (đối đỉnh) 
 (so le trong)
 Suy ra: BME = CMK (g – c - g)
 BE = CK (2 cạnh tương ứng) (1)
- Vì AE = AF nên tam giác AEF cân tại A, suy ra: 
 Mà: (đối đỉnh) và (so le trong)
Suy ra: 
 tam giác CFK cân tại C 
 CF = CK (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BE = CF (đpcm) 
3
(1,5đ)
Ta có: AE = AB + BE
 AF = AC – FC
 Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC – FC = AB + AC
Mà: AE = AF, suy ra: 2.AE = AB + AC
 (đpcm)
Câu 5
(3 điểm)
Các số đã cho có dạng: (với k = 7, 8,  , 31)
Nếu là phân số tối giản thì cũng là phân số tối giản
Mà tối giản (n + 2, k) = 1 
n + 2 nguyên tố cùng nhau với 7, 8,,31 và n + 2 nhỏ nhất n + 2 = 37 n = 35
Đề số 8
Bài 1: (6 điểm)
a, Tính : 
b, Tìm các số nguyên tố x, y sao cho : 51x+26y=2000
c, Tìm số tự nhiên n, biết: (214:1024).2n=128
Bài 2 ( 4,0 điểm ) 
Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 108 m. Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn đó biết chúng lần lượt tỉ lệ với 4 và 3
Bài 3: (2,0 điểm)
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = (Biết rằng các tỉ số đều có nghĩa)
Bài 4: (6,0 điểm) 
Cho góc vuông xAy. C là một điểm thuộc tia phân giác Az của góc xAy. D là hình chiếu của C trên Ax, B là hình chiếu của C trên Ay. Trên các đoạn thẳng AD, AB lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng AD+AB. Trên tia Dx lấy điểm E sao cho DE=QB. Chứng minh rằng:
a, CDE=CBQ
b, PC là tia phân giác của góc DPQ.
c, Góc PCQ có số đo bằng 450.
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho đa thức f(x)= ax2+bx+c với a, b, c là các số thực thỏa mãn 13a+b+2c=0. Chứng tỏ rằng: f(-2).f(3)0
ĐÁP ÁN ĐỀ 8
Câu
Nội dung cấn đạt
Điềm
Bài 1
6,0đ
a,
2,0đ
b,
2,0đ
Ta có: 51x+26y=2000; 26x2; 20002 suy ra 51x2
 mà 51 và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau nên x2.
Mặt khác x là số nguyên tố nên x=2
Do đó, ta có: 51.2+26y=2000=>y=73 là số nguyên tố
Vậy x=2; y=73
c, 
2,0đ
(214:1024).2n=128
(214:210).2n=128
24.2n=27
24+n=27
4+n=7
n=3
Bài 2
4,0 điểm
Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ta có:
=>a=4k; b=3k
Diên tích mảnh vườn là: a.b=4k.3k=12k2=108
=> k2=9=>k=3
=>a=12;b=9
Bài 3
2,0điểm
b2 = ac=>
Do đó: = 
Bài 4
6,0 đ
a,
1,75
a, Xét CDE và CBQ, có:
DC=CB(T/c điểm thuộc tia phân giác)
DE=QB(gt)
Do đó CDE=CBQ(c.g.c)
b, 
2,0
b, Ta có : AP+PQ+AQ=AD+AB(GT)(1)
EP+AP+AQ=DP+AP+AQ+QB=AD+AB(2)
Từ (1)(2)=>EP=PQ
Xét CEP và CQP, có:
CP chung
CE=CQ(Cạnh tương ứng của hai tg bằng nhauCDE=CBQ)
EP=PQ(c/m trên)
Vậy,CEP=CQP(c.c.c)
=>=>PC là tia phân giác của góc DPQ
c,
2,0
c, Kẻ CIPQ
Chứng minh được các cặp tam giác bằng nhau:
CDP=CIP(Cạnh huyền-góc nhọn);CBQ=CIQ(Cạnh huyền-Cạnh góc vuông)
Từ đó chứng minh được CP,CQ lần lượt là tia phân giác của các góc DCI, ICB
Chứng minh được 
Bài 5
2,0điểm
Ta có: f(-2)=a.(-2)2+b(-2)+c=4a-2b+c;f(3)=a.32+b.3+c =9a+3b+c
=>f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0=>f(-2)=-f(3)
=>f(-2).f(3)=-[f(3)]2 0 
Đề số 9
1. Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau :
	a, 
	b, , | x – 5 | = 5- x 
	2. Chứng minh đa thức x2 + 2x + 2 không có nghiệm.
Câu 2 ( 4 điểm )
	Cho: . Chứng minh: 
	a, 	b, 	c, 
Câu 3 ( 4 điểm )
Chứng minh rằng với mọi a,b Q ta có : | a + b | ≤ | a | + | b |
So sánh 12723 và 51318
Câu 4 ( 5 điểm )
	Cho tam giác ABC vuông ở C, đường cao CD. Các tia phân giác của các góc ACD và DCB cắt cạnh huyền AB theo thứ tự ở K và M.
	a, Chứng minh: ∆ ACM cân.
	b, Chứng minh điểm cách đều 3 đỉnh của ∆KCM thì cũng cách đều ba cạnh của ∆ABC.
Câu 5 ( 1 điểm ) Cho các số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết :
	 và af – be = 1
	Chứng minh : d ≥ b + f
__________________________________________________________
ĐÁP ÁN ĐỀ9
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(6 điểm)
1. a, ( 2x + 3)2 = => x = hoặc x= 
 b, | x – 5| = 5 – x = - ( x – 5 ) x – 5 ≤ 0 x ≤ 5
 2. x2 + 2x + 2 = x2 + x + x +1 + 1 = (x + 1)2 + 1 > 0 -> đpcm
Câu 2
(4 điểm)
 Chứng minh câu a, câu b mỗi câu cho 1 điểm
 c, -> => 
Câu 3
(4 điểm)
1. a, Nếu a +b ≥ 0 -> | a + b| = a + b
 Do: a ≤ |a| ; b ≤ | b| ( a,b є Q )
 -> | a+ b | = a + b ≤ | a | + | b| (1)
 b, Nếu a + b | a+b | = - a – b
 mà – a ≤ | a | , - b ≤ | b |
 -> | a+b | = - a - b ≤ | a | + | b | . (2)
 Từ (1), (2) -> đpcm dấu = xảy ra ó ab ≥ 0
2. 12723 < 12823 = (27)23 = 2161
 51318 > 51218 = (29)18 = 2162 -> 51318 > 12723
Câu 4
(5 điểm)
1, AMC = , ACM = ACD + 
 Do = , = ACD -> ACM = AMC
 -> ∆ACM cân.
2. CM tương tự ta có BC = 8K.
 Vậy đường thẳng chứa tia phân giác của góc A cũng là đường trung trực của CM. 
 Và đường thẳng chứa tia phân giác của góc B cũng là trung trực của CK.
 => Giao điểm 3 đường trung trực của ∆KCM trùng với giao điểm 3 đường phân giác của ∆ABC -> đpcm
Câu 5
(1 điểm)
 d = d( af – be ) = adf – bed
 = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed )
 = f( ad – bc ) + b ( cd – ed )
 ≥ f.1 + b.1 = f + b.
ĐỀ 11
Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:
	1/ A = 
	2/ B = 
Câu 2: (3đ) 
	a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16
	b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 + - 10 đạt giá trị nhỏ nhất.
	c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị
Câu 3: (1,5đ) 
Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời . Chứng minh 
Câu 4: (2,5đ)
	Cho DABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E.
	a/ Chứng minh DAMN và DBME là những tam giác cân.
	b/ Chứng minh BM = CN
	c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c.
Câu 5: (1,0đ) 
	Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh:
	MA2 + MC2 = MB2 + MD2
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1a/
1,5đ
A = 
0,5đ
0,5đ
1b/
1,5đ
B = 
 = 
0,5đ
0,5đ
2a/
1,0đ
M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1
 = 4xy – 2(x + y) + 1
M = 45 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
2b/
1,0đ
Lí luận (x + 2)2010 ≥ 0; 
Þ N ≥ -10. GTNN của N là -10
Tìm được x = -2; y = 1/5
0,25đ
0,25đ
0,5đ
2c/
1,0đ
Ta có f(-2) = 0 Þ 4a – 2b + c = 0 
 f(2) = 0 Þ 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3
 4b = 0 Þ b = 0
Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 Þ a = 3/5 ; c = -12/5
0,25đ
0,25đ
0,5đ
3/
1,5đ
Vì b là trung bình cộng của a và c Þ b = (a + c)/2 Þ 2b = a + c
Từ 
Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d)
Þ ad = bc Þ 
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
4/
2,5đ
DAMN cân (đ/c vừa là p/g)
BE // AC Þ 
 (DAMN cân tại A)
Þ Þ DBME cân tại B
0,25đ
0,5đ
4b/
0,75đ
DBED = DCND (g.c.g) Þ BE = NC
Þ BM = NC (= BE)
0,5đ
0,25đ
4c/
1,0đ
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC
Þ AB + BM = AC – BM Þ 2BM = AC – AB Þ BM = (b – c):2
AM = AB + BM Þ AM = (b + c):2
0,5đ
0,5đ
5/
1,0đ
Qua M kẻ HK // BC (H Î AB; K Î CD)
MA2 = MH2 + HA2
MC2 = MK2 + KC2
Þ MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2
MB2 = MH2 + HB2
MD2 = MK2 + DK2
Þ MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 
Ta có AH = DK; HB = KC
Þ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ