Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 10 năm học 2015 - 2016 thời gian làm bài: 180 phút

TRƯỜNG THPT
NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
------------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 10 
Năm học 2015- 2016
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (4 điểm):
1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d): cắt đồ thị hàm số tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng (O là gốc tọa độ).
Câu II (4 điểm):
1. Giải phương trình: 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu III (4 điểm): 
1. Xét các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2. Giải bất phương trình: 
Câu IV (4 điểm): 
1. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt hai đường thẳng lần lượt tại A, B sao cho AB.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): và đường thẳng D: x – y + m = 0. Tìm m để trên D có đúng 3 điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến với (C) và mỗi cặp tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc 600.
Câu V (4 điểm):
1. Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AD, BC sao cho . Chứng minh rằng .
2. Cho với Tính giá trị của biểu thức: . 
------Hết------
Học sinh không sử dụng máy tính. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh.
TRƯỜNG THPT
NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
------------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016
Thời gian làm bài: 180 phút
Đề thi gồm 01 trang
Câu I (4 điểm):
1 (2 điểm). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
Nội dung cần đạt
Điểm
- Tọa độ đỉnh I(2;-1) Trục đối xứng x= -1 
- Đồ thị cắt trục Oy tại M(0;3) Đồ thị cắt Ox tại N(1;0) và P(3;0) 
- Bảng biến thiên: x - 2 + 
 + + 
 y
 -1 
- Đồ thị :
 y
 3
 O 1 2 3
 -1 	 x
 I 
0,5
0,5
0,5
0,5
2 (2 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng (O là gốc tọa độ).
Nội dung cần đạt
Điểm
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là:
 (1).
Để d cắt (Cm) tại A và B Û pt (1) có 2 nghiệm phân biệt 
0,5
Gọi 2 nghiệm của (1) là . Theo Viet ta có .
Khi đó , 
, 
0,5
Do đó 
 (TM).
0,75
 Vậy 
0,25
Câu II (4 điểm):
1 (2 điểm). Giải phương trình: 
Nội dung cần đạt
Điểm
Đk : 
pt 
0,5
đặt ( đk ). 
Ta có phương trình: . Kết hợp với điều kiện ta được t = 2
0,5
Với t =2 (TM).
0,75
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = - 4.
0,25
2 (2 điểm). Giải hệ phương trình: 
Nội dung cần đạt
Điểm
ĐK: y ³ -1. Xét (1): . Đặt 
Phương trình (1) trở thành: 
0,5
D = (1 – y)2 + 4(x2 + 2y2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1)2
0,5
Với , thay vào (2) ta có:
 Þ (vô nghiệm)
Với , ta có hệ: 
0,25
0,5
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
0,25
Câu III (4 điểm): 
1 (2 điểm). 
Xét các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Nội dung cần đạt
Điểm
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
0,5
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được (1)
Mặt khác, do nên (chia hai vế cho 4) (2)
0,5
Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được 
0,5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức L bằng 13, đạt được khi 
0,5
2 (2 điểm). Giải bất phương trình: 
Nội dung cần đạt
Điểm
 BPT 
0,5
TH1: 
0,5
TH2: 
0,5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 
0,5
Câu IV (4 điểm): 
1 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt hai đường thẳng lần lượt tại A, B sao cho AB.
Nội dung cần đạt
Điểm
Ta nhận thấy . Chọn N(3; 1) thuộc và M sao cho MN.
Suy ra MN// nên là một vectơ chỉ phương của .
0,5
0,5
Với 
Với 
0,5
Vậy hoặc 
0,5
2 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): và đường thẳng D: x – y + m = 0. Tìm m để trên D có đúng 3 điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến với (C) và mỗi cặp tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc 600.
Nội dung cần đạt
Điểm
Gọi M là điểm nằm trên D mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và tạo với nhau một góc 600, gọi A, B là hai tiếp điểm.
+) Nếu góc = 600, thì IM = 2IA = 6 do đó M là giao của D với đường tròn (C1) tâm I, bán kính R1 = 6
0,5
+) Nếu góc = 1200, thì IM = = do đó M là giao của D với đường tròn (C2) tâm I, bán kính R2 = 
0,5
Để trên D có 3 điểm M như thế thì D phải có đúng 3 giao điểm với (C1) và (C2), đây là hai đường tròn đồng tâm nên điều này xảy ra khi và chỉ khi D tiếp xúc với (C2).
0,5
Do đó . Vậy 
0,5
Câu V (1,0 điểm):
1 (2 điểm). Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AD, BC sao cho . Chứng minh rằng .
Nội dung
Điểm
Theo bài ra ta có ; 
0,5
Ta có (1)
và (2)
0,5
Cộng theo vế của (1) và (2) ta được 
0,5
.
0,5
2 (2,0 điểm). Cho Tính giá trị của: 
Nội dung
Điểm
Vì nên 
0,5
Suy ra hoặc . Do.
0,5
Thay vào ta có 
0,75
Vậy P = 2
0,25
Lưu ý: Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.