ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC: 2013 – 2014. MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Câu 1 (4đ). Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Chứng minh với và . Câu 2 (4đ). a) Cho đường thẳng (d): . Tìm m để (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3. Tính khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) ứng với m vừa tìm được. b) Cho M(a; b) là một điểm nguyên bất kỳ trên đường thẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 3 (4đ). Cho . Tìm GTNN của biểu thức: Câu 4 (4đ) a) Cho cân tại A. Trên đáy BC lấy điểm D sao cho . So sánh số đo và b) Từ một điểm A ở ngoài (O) dựng các tiếp tuyến AB, AC với (O). Gọi H là giao điểm của OA với BC. Trên đường trung trực của AH lấy điểm M bất kỳ sao cho M nằm ngoài (O) và dựng tiếp tuyến MF với (O). Chứng minh: . (B, C, F là các tiếp điểm) Câu 5 (4đ) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn: ----------------------------HẾT---------------------------- Câu 1: a) Với Vậy: P = với b)Cách 1 xét hiệu: Vì nên: và . Do đó: . Vậy ta có điều phải chứng minh: Cách 2: Ta có : P = = với Áp dụng BĐT Co – si cho 2 số dương ta có: Vì nên dấu "=" không xảy ra Suy ra: . Vậy Câu 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Xét đường thẳng (d) Vì d cắt hai hệ trục toạ độ nên m khác 0 và m khác 1 Cho x = 0 suy ra y = (m khác 0) ta được A(0; ) thuộc Oy Cho y = 0 suy ra x = (m khác 1) ta được B(;0) thuộc Ox Khi đó: OA = ; OB = Để đường thẳng d tạo với hai trục toạ độ Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 3 thì: OA.OB = 6. tức là: giải phương trình ta được m = - 1 ; m = 2 Với m = -1 khi đó AB = Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng Với m = 2 khi đó AB = Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng 2) Vì M (a;b) là 1 điểm nguyên bất kỳ trên đường thẳng 4x +5y = 7 nên ta có: 4a + 5b = 7 suy ra . Do đó 3 – b = 4k (k thuộc Z) hay từ đó ta tính được a = 5k – 2 Khi đó: Lập bảng xét dấu: k 5k - 2 - 0 + + 3 – 4k + + 0 - Xét TH1: k mà k thuộc Z nên k 0. Ta có Q = (1 – 13 k) 1 TH2: mà nên không tồn tại k TH3: mà nên . Ta có Q = (13k – 1) 12 Gộp cả 3 trường hợp ta được: Q 1. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi k = 0. khi đó M(-2;3). Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1. giá trị ấy đạt được khi M(-2;3). Câu 3: Ta có = Tiếp đó ta dễ dàng chứng minh: . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5 . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5 Suy ra . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5. Vậy GTNN của A bằng Câu 4: 1)Cách 1: Đặt AB=AC=a (a>0)BC =3m (m>0) suy ra: CD=2m,BD=m Kẻ đường cao AH, phân giác AKcủa góc CAD, ta có DH = Ta tính được AH = ;AD = Vì AKlà phân giác của góc CAD ta có: suy ra: Xét hiệu: DI-DK = m-DK= vì a;m >0 nên Từ đó suy ra K nằm giữa Dvà I, hay I nằm giữa Kvà C. Do đó góc AKD > góc AIK mà góc AIK = góc ADK nên góc AKD >góc ADK. Suy ra ADB > góc AKC A B D F C E Vậy: góc BAD < góc DAK. Tức là góc BAD < góc CAD Cách 2: Gọi E là trung điểm của DC, ta có BD = DE = EC Khi đó tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau (c-g-c) Suy ra góc BAD = góc CAE (1) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = EA Ta chứng minh được tam giác CAE = tam giác DEF (c-g-c) Từ đó: AC = DF; góc DFE = góc CAE * Vì góc ADC = gócABD +gócBAD, nên ADC >góc ABD mà góc ABD = góc ACD Suy ra: góc ADC >góc ACD.Do đó AC>AD, Mà AC = DF suy ra: góc DAE > gócDEF suy ra: DAE+CAE>2DEF Hay: 1/2DAC>DE F. Vậy BAD<1/2DAC Gọi I là trung điểm của AH. Dễ chứng minh AO là đường trung trực của BC + Trong các tam giác: FMO ;OMI,AMI,ABO ta có Vậy: MF = MA Câu 5 a) nếu với giới hạn của chương trình hiện tại là hết tuần 16 thì ta nênlàm như sau + Ta có : . Rõ ràng x = 2 không thể là nghiệm. nên chia cả hai vế cho x – 2 ta được Do x, y là số nguyên nên x – 2 là ước của -4 mà Ta có bảng: x-2 -1 -2 -4 4 2 1 x 1 0 -2 6 4 3 y 0 -3 -6 0 -3 -6 đối chiếu với các điều kiện ở đề bài thì các cặp số sau thoả mãn (x;y) = 2)Giả sử (x,y)là nghiệm nguyên dương của phương trình: Rõ ràng x,y<2012 (1). Không mất tính tổng quát giả sử . Do Suy ra: Từ đó ta có hay mà nên (2) Tương tự ta có: y > 2010 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra 2010 < x, y < 2012. Từ đó chỉ có thể x = y = 2011 Nhưng cặp số (x, y) này không thoả mãn phương trình đã cho (vì vế phải chia hết cho 4 còn vế trái không chia hết cho 4) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Tài liệu đính kèm: