Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học : 2014 - 2015 môn thi : Toán thời gian làm bài: 150 phút

Phßng GD & §T Thanh Oai
®Ò thi häc sinh giái líp 9
Tr­êng THCS Thanh Thïy
N¨m häc : 2014 -2015
M«n thi : To¸n
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
 Bµi 1.( 6 ®) Cho biÓu thøc
 P = - + ( víi x≥ 0 ; x≠ 1)
 a) Rót gän biÓu thøc P
 b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc víi x = + + 2
 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P
Bµi 2( 4 ®)
Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
x + 4x + 5 = 2 
 x - x - x = 
 2)T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph­¬ng tr×nh.
 x + y + 1 = xyz
Bµi 3( 4®) a) Cho x;y;z lµ 3 sè tháa m·n ®iÒu kiÖn
 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0
 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = (x- 4) + ( y - 4) + (z - 4) 
b) Cho x,y,z > 0; x + y + z = 1
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = + + 
Bài 4 ( 5 đ ) Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A( R > R’). Vẽ dây AM của đường tròn (O) và dây AN của đường tròn ( O’) sao cho AM AN. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O)và (O’) với B(O)và C (O’)
	1. Chứng minh OM // O’N.
	2. Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui.
	3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Bµi 5( 1®) Kh«ng dïng m¸y tÝnh, b¶ng sè víi 4ch÷ sè thËp ph©n
 CMR sin75 = 
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9
N¨m häc 2014 - 2015
M«n thi : To¸n
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6 đ )
 a. P = - + 
 = 
 = 
 = =.....
 = 
 = 
 b. §Æt y = + 
 Û y = 7+5 + 7 - 5 + 3( + ). 
 Û y = 14 - 3y
 Û y +3y -14 = 0 
 Û (y- 2)( y + 2y + 7) 
 Û ..Û y = 2 Þ x = 4
Thay x =4 vµo biÓu thøc rót gän cña P ta ®­îc
P = 4
 c. P = = . = +3 + - 6
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ®èi víi 2 sè d­¬ng ta cã
 P = +3 + - 6 ≥ 2 - 6
P ≥ 10 - 6 = 4 VËy Min P = 4 Û +3 = Û x = 4
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5®
0,75đ.
0,25đ.
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,5®
0,5®
0,5®
0,25®
Bài 2
(4đ
 2) Gi¶i pt
a. x + 4x + 5 = 2 ®k : 2x+ 3≥ 0 Þ x ≥ 
 ..Û ( x +1) + ( - 1) = 0 ..
 Gi¶i pt t×m ®­îc x = 1
KL .
0,25®
0,25đ.
0,5đ.
0,25đ
 b. x - x - x = Û 3x - 3x - 3x = 1 
 Û 4x = x + 3x + 3x + 1
 Û 4x = ( x + 1) 
 Û x = x + 1 Û x( - 1) = 1
 Û x = = 
 2)T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph­¬ng tr×nh.
 x + y + 1 = xyz (*)
 Ta thÊy x, y b×nh ®¼ng nªn gi¶ sö x ≥ y ta cã 
x = y ta cã (*) Û 2x + 1 = x z 
Û x(xz - 2) = 1
x = 1 vµ z = 3
x > y Ta cã (*) Û 2x +1 > xyz Þ 2x ≥ xyz
Û 2≥ yz ( v× x ≠0)
y = 1 ; z = 2 Þ x = 2 hoÆc y =2 ; z =1 Þ x =3
 nghiÖm cña pt lµ (x ;y ;z) = ( 1 ;1 ;3) ; ( 2 ;1 ;2) ;(1 ;2 ;2) ; (3 ;2 ;1) ;(2 ;3 ;1)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25đ.
0,25®
0,25đ.
0,5đ
0,5®
0,5®
Bài 3
(2đ)
a. 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0
 Û 4x + y + z - 4xy -4xz + 2yz + y - 6y + 9 + z - 10z +25 = 0 
( 2x - y -z) + ( y - 3) + ( z - 5) = 0 
 2x-y-z =0 x =4
 y- 3 =0 Û y = 3
 z- 5= 0 z =5
 VËy ( 4- 4) + ( 3 - 4) + ( 5 - 4) = 0 
b. Do x + y+ z = 1 nªn
 B = ( x + y + z) .B = ( x + y + z) ( + + )
 = 1 + 4+ 9 + ( + ) + ( + ) + ( + )
1đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ
0,5®
Áp dụng bất đẳng thức Cosi víi 2 sè d­¬ng ta ®­îc
 + ≥ 4 ; + ≥ 12 ; + ≥ 6 
Þ B ≥ 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 = 36
0,25®.
0,25®.
 Min B = 36 Û y = 4x y = 2x x = 
 4z = 9y Û z = 3x Û y = 
 z = 9x x + y + z = 1 z = 
 x + y + z = 1 : 
VËy Min B = 36 khi vµ chØ khi x =  ; y =  ; z = 
0,5®
0,25®
Bài 4
(5đ
 1. = = ( 180 - => OM //O’N
2. Gọi P là giao điểm của MN và OO’
 Có : 
 Gọi P’ là giao điểm của BC và OO’
 Do OB // O’C => 
 => P = P’ -> đpcm
3. MNO’C là hình thang có 
 S = 
 Dấu “ = “ xảy ra ó H O ó OM OO’ và O’N OO’
 Vậy Max S = 
2,0đ.
0,75đ.
0,75đ.
1,0đ.
0,5đ.
Bµi 5
( 1®)
 A H
1.VÏ tam gi¸c ABC cã = 90 ; I
 = 15 vµ BC = 2a ( a tïy ý ; a > 0) B 
Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC , ta cã C 
 IA = IB + IC = a vµ = 30
 KÎ AH ^ BC Th× IH = AIcos = a cos 30 = 
 AH = AI sin = a sin 30 = 
 CH = CI + IH = a + = 
 AC = CH + AH = + = a (2 + )
 Þ AC = a 
 Sin 75 = SinB = = = = = . = 
0,25®
0,25®
0,25®
0,5đ.
0,25đ
 D Chó ý: HS lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a